湖南省岳阳县一中2016届高三上学期第一次阶段考试理科数学试卷

湖南省岳阳县一中 2016 届高三第一次阶段考试

数 学(理科)
时量:120 分钟 总分:150 分 命题人:周兴国 审题人:高丽丽 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|x -x-2<0},集合 B ? {x | y ? lg(1 ? x ) ,则下列结论正确的是 (
2

2

)

A.A=B

B. A ? ?B

C.B ? ?A

D.A∩B= ?

2.已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ( , A. B.-

1 2

2 ) ,则 log 2 f (2) 的值为( 2
C.2 D.-2 )

)

3.下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是 ( A.f(x)= C. f ( x) ? 2
?x

B.f(x)= ? x

? 2x
1 2

D.f(x)=-tanx ( )

4. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ,命题 p:?x∈[0,+∞),f(x)≤1,则 A.p 是假命题, p: ? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 B.p 是假命题, p: ? x∈[0,+∞),f(x)≥1 C.p 是真命题, p: ? x0∈[0,+∞),f(x0)>1 D.p 是真命题, p: ? x∈[0,+∞),f(x)≥1 5.设 p : f ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1 在(-∞, +∞)内单调递增, q:m ?
3 2

4 , 则p是q的 ( 3

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?(a ? 3) x ? 5, x ? 1 ? 6.已知函数 f(x)= ? 是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是( 2a , x ? 1 ? x ?
A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]

)

7.如图甲所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A-B-C-M 运动时,以点 P 经过的路程 x 为自变量,三角形 APM 的面积为函数的图象形状大致 是图乙中的 ( )

8.现有四个函数:①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2 的图象(部分) 如下,则按照从左到右图象对应的函数序号正确的一组是 ( )

x

A.①④③② C.①④②③

B.④①②③ D.③④②① )

9.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8) 10. 已知下列四个命题: ①命题“若α = ,则 tanα =1”的逆否命题为假命题; ②命题 p:?x∈R,sinx≤1,则 p:?x0∈R,使 sinx0>1; ③“φ= +kπ (k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件; B.f(5)<f(8)<f(2) D.f(8)<f(2)<f(5)

④命题 p: “?x0∈R,使 sinx0+cosx0=” ;命题 q: “若 sinα >sinβ ,则α >β ” ,那么(p)∧q 为真命题. 其中正确的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

11.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4-x),且当 x≠2 时其导函数 f′(x) 满足 xf′(x)>2f′(x),若 2<a<4,则 ( A.f(2 )<f(3)<f(log2a)
a

)
a

B.f(3)<f(log2a)<f(2 )

C.f(log2a)<f(3)<f(2 )

a

D.f(log2a)<f(2 )<f(3)

a

12.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对任意 x,都有 f(-x)+f(x)=0 恒成立,如果实数 m, n 满足不等式 f(m -6m+21)+f(n -8n)<0,那么 m +n 的取值范围是 ( A.(9,49) B.(13,49) C.(9,25) D.(3,7)
2 2 2 2

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f(x)= ?

? ?

lg x, x ? 0
a

2 ? x ? ?0 3t dt , x ? 0 ?

f(f(1))=8,则 a 的值是

. . .

14.若函数 y=|log3x|在区间(0,a]上单调递减,则实数 a 的取值范围为 15.函数 y=lnx 在 x=e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 16.给出下列四个命题: ①函数 f(x)=lnx-2+x 在区间(1,e)上存在零点; ②若 f′(x0)=0,则函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极值;
2 2

a ? ex ③“a=1”是“函数 f ( x) ? 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件; 1 ? ae x
④函数 y=f(1+x)的图象与函数 y=f(1-x)的图象关于 y 轴对称. 其中正确的命题是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(12 分)函数 y= log 2 ( x ? 3 x ? 3) 的定义域为集合 A,B=[-1,6),C={x|x<a}.
2

(1)求集合 A 及 A∩B. (2)若 C ? A,求 a 的取值范围.

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ?

4 (a>0 且 a≠1)是定义在 R 上的奇函数. 2a ? a
x

(1)求 a 的值及函数 f(x)的值域. (2)当 x∈[1,+∞)时, tf ( x) ? 2 ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围.
x

19.(12 分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种 趋势,假设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千套)与销售价格 x(单位:元/套)满足的关 系式 y ?

m ? 4( x ? 6) 2 ,其中 2<x<6,m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出 x?2

套题 21 千套. (1)求 m 的值. (2)假设网校的员工工资, 办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数).试确定 销售价格 x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

20.(12 分) f ( x) ? a ln x ? (a ? 1) x ?

1 2 x (a ? 0) 2

(1)若直线 l 与曲线 y=f(x)相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程. (2)讨论 f(x)的单调性.

21.(12 分)已知函数 f1 ( x) ?

1 2 x , f 2 ( x) ? a ln x (其中 a>0). 2

(1)求函数 f ( x) ? f1 ( x) f 2 ( x) 的极值. (2)若函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( , e) 内有两个零点,求正实数 a 的取值 范围. (3)求证:当 x>0 时, ln x ?

1 e

3 1 ? x ? 0 .(说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828?) 2 4x e

请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ,
A E F H C

?B ? 60? , F 在 AC 上,且 AE ? AF . (Ⅰ)证明: B, D, H , E 四点共圆: (Ⅱ)证明: CE 平分 ?DEF .

B

D

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , 已知曲线 C1 : ? (t 为参数), C2 : ? (? 为参数). ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,
(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ) 若 C1 上 的 点 P 对 应 的 参 数 为 t ?

? , Q 为 C2 上 的 动 点 , 求 PQ 中 点 M 到 直 线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? (t 为参数)距离的最小值. ? y ? ?2 ? t

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点,
O 0 A 1

C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距 离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (Ⅰ)将 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

B 2

M 3

理数参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) CACCC DACBB CA 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 14. 0 ? a ? 1 15. e 2 16.①③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17.【12 分】(1)由题意得 log2(x2-3x-3)≥0, 即 x2-3x-3≥1,即 x2-3x-4≥0, 解得 x≥4 或 x≤-1. 所以 A={x|x≥4 或 x≤-1}. 因为 B=[-1,6), 所以 A∩B={x|4≤x<6 或 x=-1}. (2)因为 A={x|x≥4 或 x≤-1},C={x|x<a}. 又因为 C?A, 所以 a 的取值范围为 a≤-1. 18.【12 分】(1)因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x). 又 f(x)= 所以 =, ,

即(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0 对任意 x 恒成立, 所以 a=2. (或者利用 f(0)=0,求得 a=2,再验证是奇函数) 因为 f(x)=1=1.

又因为 2x>0,所以 2x+1>1, 所以 0< -1<1<2, <1.

所以函数 f(x)的值域为(-1,1).

(2)由题意得,当 x≥1 时, t 即 t· ≤2x-2, ≤2x-2 恒成立,

因为 x≥1,所以 2x≥2, 所以 t≤ 设 u(x)= =2x(x≥1). (x≥1)恒成立,

下证 u(x)在当 x≥1 时是增函数. 任取 x2>x1≥1, 则 u(x2)-u(x1) = =( + >0,

)·1+

所以当 x≥1 时,u(x)是增函数, 所以 u(x)min=u(1)=0, 所以 t≤u(x)min=u(1)=0, 所以实数 t 的取值范围为 t≤0. 19.【12 分】(1)因为 x=4 时,y=21, 代入关系式 y= +4(x-6)2,

得 +16=21,解得 m=10. (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y= 所以每日销售套题所获得的利润 f(x)=(x-2) =10+4(x-6)2(x-2) +4(x-6)2,

=4x3-56x2+240x-278(2<x<6), 从而 f′(x)=12x2-112x+240 =4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 令 f′(x)=0,得 x= ,且在 增;在 上,f′(x)>0,函数 f(x)单调递

上,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,

所以 x= 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当 x= ≈3.3 时,函数 f(x)取得最大值, 故当销售价格为 3.3 元/套时, 网校每日销售套题所获得的利润最大. 20.【12 分】(1)因为 P(2,0)在函数 f(x)的图象上,所以 f(2)=0, 所以 aln2-2(a+1)+2=0, 即(ln2-2)a=0, 因为 ln2-2≠0,所以 a=0. 所以 f(x)=x2-x, 所以 f′(x)=x-1,所以 f′(2)=1, 所以直线 l 的方程为 y=x-2, 即 x-y-2=0. (2)f(x)的定义域为{x|x>0}. f′(x)=-(a+1)+x = ,

由 f′(x)=0 得 x=1 或 x=a, ①当 a=1 时,f′(x)≥0 在(0,+≦)上恒成立, 当且仅当 x=1 时,f′(x)=0,

所以 f(x)的单调递增区间是(0,+≦); ②当 a=0 时,f′(x)>0?x>1,f′(x)<0?0<x<1, 所以 f(x)的单调递增区间是(1,+≦),f(x)的单调递减区间是(0, 1); ③当 0<a<1 时,f′(x)>0?0<x<a 或 x>1,f′(x)<0?a<x<1, 所以 f(x)的单调递增区间是(0,a)和(1,+≦),f(x)的单调递减区 间是(a,1); ④当 a>1 时,f′(x)>0?0<x<1 或 x>a,f′(x)<0?1<x<a, 所以 f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a,+≦),f(x)的单调递减区 间是(1,a). 21.【12 分】(1)f(x)=f1(x)·f2(x) =ax2·lnx, 所以 f′(x)=axlnx+ax =ax(2lnx+1)(x>0,a>0), 由 f′(x)>0,得 x> 故函数 f(x)在 ,由 f′(x)<0,得 0<x< 上单调递减,在 , 上单调递增,

所以函数 f(x)的极小值为 f =- ,无极大值.

(2)函数 g(x)=x2-alnx+(a-1)x, 则 g′(x)=x-+(a-1) = = ,

令 g′(x)=0,

因为 a>0,解得 x=1,或 x=-a(舍去), 当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+≦)上单调递增.函数 g(x)在区间 内有两个零点, 只需



所以

故实数 a 的取值范围是 (3)问题等价于 x2lnx> -. 由(1)知 f(x)=x2lnx 的最小值为 - . 设 h(x)= -,h′(x)=≦)上单调递减. 所以 h(x)max=h(2)= -. 因为- =- - =

.

,得 h(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+

=

>0,

所以 f(x)min>h(x)max, 所以 x2lnx> -,故当 x>0 时,lnx+ - >0.

请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.【解】(Ⅰ)在 ?ABC 中,因为 ?B ? 60? , 所以 ?BAC ? ?BCA ? 120? ,因为 AD, CE 是角平分线, 所以 ?HAC ? ?HCA ? 60? ,故 ?AHC ? 120? , 于是 ?EHD ? ?AHC ? 120? ,即 ?EBD ? ?EHD ? 180? , 所以 B, D, H , E 四点共圆.…………………………5 分 (Ⅱ)连结 BH ,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD ? 30? , 由(Ⅰ)知 B, D, H , E 四点共圆,所以 ?CED ? ?HBD ? 30? . 又 ?AHE ? ?EBD ? 60? ,又由 AE ? AF ,且 AH 平分 ?BAC ,可得 EF ? AD , 可得 ?CEF ? 30? ,所以 CE 平分 ?DEF . ………………………………………………10 分 23.【解】(Ⅰ)由题知 C1 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1, C2 : 其中 C1 是以 (?4,3) 为圆心,以 1 为半径的圆.
E A F H C

B

D

x2 y 2 ? ?1, 64 9

C2 是以坐标原点为中心,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.…………4 分
(Ⅱ)当 t ?

?
2

时, P (?4, 4) ,又 Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4cos ? , 2 ? sin ? ) ,

3 2

又 C3 为直线 l : x ? 2 y ? 7 ? 0 , M 到 C3 的距离 d ? 即d ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | , 5

4 5 | 5sin(? ? ? ) ? 13 | ,其中 tan ? ? ,又 ? ? R , 3 5
8 5 , 5

故 ? ? 5sin(? ? ? ) ? 13 ? 18 ,即当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, d min ? 从而当 cos ? ? ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值

4 5

3 5

8 5 .…………………………………10 分 5

24.【解】(Ⅰ)依题意得 y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30 ,………………………………4 分(Ⅱ)依 题意, x 满足 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70,0 ? x ? 30 , ①当 20 ? x ? 30 时,即 4( x ? 10) ? 6( x ? 20) ? 70 ,得 x ? 23 ,即此时 20 ? x ? 23 ; ②当 10 ? x ? 20 时,即 4( x ? 10) ? 6( x ? 20) ? 70 ,得 x ? 5 ,即此时 5 ? x ? 20 ; ③当 0 ? x ? 10 时,即 ?4( x ? 10) ? 6( x ? 20) ? 70 ,得 x ? 9 ,即此时 9 ? x ? 10 综上①②③得, x ? [9, 23] ,即求. ……………………………………………………………10 分


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