高二数学第二次月考试题(理科)

高二数学试卷 一、选择题(共 12 小题,共 60 分) 1.命题“若 a?A,则 b∈B”的否命题是( A.若 a?A,则 b?B C.若 b∈B,则 a?A 2.下列说法中正确的是( ). ). B.若 a∈A,则 b?B D.若 b?B,则 a?A

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B. “a>b”与“a+c>b+c”不等价 C. “若 a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a +b ≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 3. “|x|=|y|”是“x=y”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 4.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2
x-1
2 2 2 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ). B.?x∈N ,(x-1) >0 D.?x0∈R,tan x0=2 ).
* 2

>0

C.?x0∈R,lg x0<1 5.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 x,使 x ≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2
2

x

6.若抛物线 y =8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10,则点 P 的坐标为( A.(8,8) C.(8,±8) B.(8,-8) D.(-8,±8)

2

).

7.如图所示,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率为 ( A. C. 1 5 5 5
2 2

). B. D. ). C. 2 2 2 D. 3 2 5 2 5 5

8.椭圆 x +4y =1 的离心率为( A. 3 2 3 B. 4

9. .已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 方程为( A. +y =1 3 C. + =1 3 2 ). B.x + =1 3 D. + =1 2 3
2

6 ,则椭圆 C 的 3

x2

2

y2

x2 y2

x2 y2

10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、BC1 的中点, 则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) A.45° B.60° C.90° D.120°

11.设 l , m , n 均为直线,其中 m , n 在平面 ? 内, “ l ? ? ”是 l ? m 且“ l ? n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
' ' ' ' 0 ' 12 .已知平行六面体 ABCD ? A B C D 中, AB=4 , AD=3 , AA ? 5 , ?BAD ? 90 ,

?BAA' ? ?DAA' ? 600 ,则 AC ' 等于
A. 85 B.85

() C. 5 2 D.50

二、填空题(共 4 题,每题 5 分) 13.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线y 2 =4x 的焦点,则实数 a=________. 14.命题 p:?x0∈R,x0+2x0+4<0 的否定为:________.
2

15. 如图,在正四棱柱 ABCD- A?B ?C ?D ? 中

(底面是正方形的直棱柱),侧棱 AA? = 3 , AB ?

2,

则二面角 A? ? BD ? A 的大小为 16. 在正四面体 ABCD 中, E 为棱 AD 的中点, 则 CE 与平面 BCD 所成角的正弦值为_________ 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 40 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。) 2 2 17 已知:p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根;q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无 实数根,若“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题,求实数 m 的取值范围.

18.(本题 10 分)已知椭圆焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率 e=

2 2 ,过左焦点 F1 倾斜角 3



? 的直线交椭圆于 A、B 两点。求: 。 6

(1 求)椭圆的方程 (2)求弦 AB 的长 19..已知空间三点 A(-2, -1, 1), B(-1, 1, 2), C(-3, 0, -1), 设 a = AB , b ? AC . (本题 10 分)

(1)求 a 和 b 的夹角的余弦; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 20. ( 本 题 10 分 ) 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中:
(1) 求异面直线 BC1 与 AA 1 所成的角的大小; (2) 求证: B1 D ? 平面A1C1 B 。

一、选择题(每小题 5 分共 60 分) 1-5.B,D,B,B,B 6-10.C,D,A,A,B 11-12.A,A 二、填空题(每题 5 分共 20 分) 2 13.-1. 14.?x∈R,x +2x+4≥0 15.

? 3

16

2 3

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 40 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。) Δ =m -4>0 ? ?-m<0 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根?? ?m>2. m ? ?-2<0
2 2

17.解

q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根
?Δ =16(m-2) -16<0?1<m<3.
2

∴綈 p:m≤2,綈 q:m≤1 或 m≥3. ∵“p∨q”为真命题,且“p∧q”是假命题, ∴p 为真且 q 为假,或 p 为假且 q 为真. (1)当 p 为真且 q 为假时,即 p 为真且綈 q 为真, ∴?
? ?m>2,

?m≤1或m≥3 ?

解得 m≥3;

(2)当 p 为假且 q 为真时,即綈 p 为真且 q 为真 ∴?
? ?m≤2, ?1<m<3 ?

解得 1<m≤2.

综上所述,实数 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).

a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 2 18【答案】?
? 直 线 AB的 方 程 为 y ? 代 入 x 得 4x
2 2

3 3

(x ? 2

2 )

? 9 y ? 12
2

2

? 9 ? 0 15 4 15? ? 2 4 ? ?

2 x ? 15 ? 0. 2 , x1? x
2 2

则 x1 ? x ? | A B |? ? ? x ?

? ?3 (1 ? k (1 ? 1 3
2

?
2

)( x

2

? x1) 2 ) 3
2

? )?(3 ? ? ?

? 4?

M 19.解: (1)∵ 2 a ? AB =(1 2 ,2,1), b ? AC =(-1,1,-2)

x1 ? x

3

∴cosθ =

a?b | a || b |

?

?1? 2 ? 2 6 6

1 ?? , 6

(2)∵向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直, ∴(k a + b )∪(k a -2 b )=0 即(k-1)(k+2)+(2k+1)(2k-2)+(k-2)(k+4)=0, 2 化简得:6k +k-12=0,

4 3 或 k= ? 3 2 20.(1)解:∵AA1∥BB1, ∴异面直线 BC1 与 AA1 所成的角就是 BC1 与 BB1 所成的角,即∠B1BC1=45o, 故异面直线 BC1 与 AA1 所成的角为 45o (3)证明:如图,连结 BD、B1D1 , ∵A1B1C1D1 是正方形, ∴A1C1⊥B1D1, 又∵BB1⊥底面 A1B1C1D1,A1C1 ? 底面 A1B1C1D1,
解得:k=

∴A1C1⊥BB1, ∴A1C1⊥平面 BB1D1D, ∴B1D⊥A1C1,同理可证:B1D⊥BC1,且 A1C1∩BC1= C1 故 B1D⊥平面 A1C1B


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