高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式评析诱导公式的解题功能素材北师大版4教案

分类解析诱导公式的解题功能
诱导公式是三角变换中重要公式, 共有九组, 角可统一表示为 变偶不变,符号看象限”,即当 k 为奇(或偶)数时,角

k? ± ? 的三角函数值等于角 ? 的余 2 k? (或同)名三角函数值,前面加上一个把角 ? 看成锐角时,角 ± ? 的三角函数值的符号. 2
利用诱导公式求任意角的三角函数值时, 往往结合三角函数的性质灵活运用, 下面举例说明. 1.已知角求三角函数值 例 1 求值:sin 315? sin(- 1260? )+cos 570? sin(- 840? ). 分析: 可以把各角都化为锐角三角函数来求. 解:sin 315? sin(- 1260? )+cos 570? sin(- 840? ) = sin( 360? - 45 ? )sin(-4? 360? + 180? )+cos( 360? + 210? )sin(- 840? ) =sin(- 45 ? )sin 180? -cos( 180? + 30 ? )sin(2? 360? + 120? ) =-sin 45 ? ?0+cos 30 ? sin( 180? - 60 ? ) = cos 30 ? sin 60 ? =

k? ±? . 同时简记为 “奇 2

3 4

评析:对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三,化为正角的三角函数,若化 了以后的正角大于 360? ,再利用诱导公式一,化为 0? ~ 360? 间的角的三角函数,若这时 的角是 90 ? ~ 360? 间的角,再利用 180? - ? 或 180? + ? 的诱导公式化为 0? ~ 90 ? 间的角 的三角函数.给角求值,要分析“特殊角”和“待求角”之间的联系,设法用“特殊角”通 过诱导公式表示“待求角” . 练习: 求下列三角函数值: (1) sin2010°
2

(2) cos(-1230°) (3) cos(-
2



(4) sin (42°+θ )-2tan(45°+θ )?tan(45°-θ )+cos (138°-θ ) 解: (1)先利用诱导公式一,再用公式二得 sin2010°=sin(5?360°+210°) =sin210°=sin(180°+30°)= -sin30°=- ; (2) 解法一: cos(-1230°)=cos(-4?360°+210°)=cos(180°+30°)= -cos30°=- ; ;

解法二:cos(-1230°)=cos(1230°)=cos(3?360°+150°)=cos150°=- (3) 解法一:cos(- 解法二:cos(- )= cos(-14π + )=cos = ; =cos(12π + )=cos(2π - )=cos = ;

)= cos

(4) ∵ 138°-θ =180°-(42°+θ ) , 2 2 ∴ cos (138°-θ )=cos (42°+θ ). 又∵ 45°-θ =90°-(45°+θ ) ,
1

∴ sin(45°-θ )=cos(45°+θ ) , cos(45°-θ )=sin(45°+θ ).

=cot(45°+θ ) . 2 2 原式=sin (42°+θ )+cos (138°-θ )-2tan(45°+θ )?tan(45°-θ )=1 -2=-1. 点评: 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角三角函数, 一般步骤是: 负角→正角 →0°~360°的角→0°~90°的角.但有时也可以变通.如(2) 、 (3)中的另解. 有一类特殊的互补、互余的角,如(4)中的 42°+θ 与 138°-θ ,45°+θ 与 45° -θ ,应引起我们注意. 2.给式求值 例2 已知 f ( x ) =

7? sin(n? ? x) ? cos(n? ? x) tan( x ? n? ) ). ? (n ? Z),求 f ( 6 cos[(n ? 1)? ? x] tan(n? ? x)

解:当 n = 2k (k ? Z)时,

f ( x) =

sin(2k? ? x) ? cos(2k? ? x) tan( x ? 2k? ) ? cos[(2k ? 1)? ? x] tan(2k? ? x)

=

sin(? x) ? cos x tan x ? tan x cos(? ? x)
? sin x ? cos x ? cos x

=

=sinx

7? 7? ? ? 1 ) = sin = sin( ? + )=-sin =- . 6 6 2 6 6 当 n = 2k+1 (k ? Z)时,
故 f(

f ( x) =

sin[(2k ? 1)? ? x) ? cos[(2k ? 1)? ? x) tan[ x ? (2k ? 1)? ] ? cos[(2k ? 2)? ? x] tan[(2k ? 1)? ? x]

=

sin(? ? x) ? cos(? ? x) tan( x ? ? ) ? cos(? x) tan(? ? x)
sin x ? (? cos x) tan x ? cos x tan x 7? 7? ? ? 1 ) =-sin =-sin( ? + )=sin = . 6 6 6 6 2

=

=-sinx 故 f(

评析:这类问题求解一般应从变形化简开始,当三角函数的角中含有 n? (n ? Z)时,不 能直接应用诱导公式变形与化简,需对 n 分奇偶整数(或设 n = 2k 和 n = 2k+1 (k ? Z))进 行讨论. 练习:设函数 f ( x) ? a sin(

?x
2

? ? ) ? b cos(

?x
2

? ? ) ? 4 ,其中 a, b, ? , ? 为非零实数,已

2

) ? 5, 求 f (103) 的值. 知 f (101
? ? ) ? 4 ,又 f (101 ) ? 5, 2 2 101? 101? ? ? ) ? b cos( ? ? ) ? 4 =5 ∴ f (101) ? a sin( 2 2
解: ∵ f ( x) ? a sin( ∴ a sin( ∴ a sin(

?x

? ? ) ? b cos(

?x

?

?

2

? ? ) ? b cos( ? ? ) ? b cos(

?

?

2

? ? ) ? 4 =5, ? ? ) =1,

103? 103? ? ? ) ? b cos( ? ?) ? 4 2 2 3? 3? ? ? ) ? b cos( ? ?) ? 4 = a sin( 2 2
又 f (103) ? a sin( = a sin[? ? ( = a sin[? ? ( = ? a sin(

2

2

? ?

2 2

? ? )] ? b cos[ ? ? ( ? ? )] ? b cos[ ? ? (

? ?

2 2

? ? )] ? 4 ? ? )] ? 4

?
2

? ? ) ? b cos(

?
2

? ?) ? 4

∴ f (103) =-1+4=3. 3.给值求值 例 3 (1)若 sin(3π +α )=,且|tan(3π -α )|=-tanα ,求 cos(α -3π )

的值; (2)已知 cos(α +β )+1=0,求 sin(2α +β )+sinβ 的值. 分析: 第(1)问应先将已知条件化简,实际上是已知角 α 的正弦值,求其余弦值;第 (2)问应注意到 α +β 可求出,只要抓住等式中的角 2α +β 、β 与 α +β 间关系,联 想诱导公式便可求解. 解:(1)由 sin(3π +α )=-sinα =得 sinα = >0.

又由|tan(3π -α )|=|tanα |=-tanα 得 tanα <0. 故 α 为第二象限的角,于是 cos(α -3π )=-cosα = = .

(2)由 cos(α +β )+1=0 得 α +β =2kπ +π (k∈Z), 从而 2α +2β =4kπ +2π . 于是 sin(2α +β )+sinβ =sin[(2α +2β )-β ]+sinβ =sin(4kπ +2π -β )+sinβ =-sinβ +sinβ =0. 评析:本题的(2)并未给出使用诱导公式的明显条件,要善于抓住题目特点展开联想.
3

练习: 已知 cos( 75 ? + ? ) = - 105? )的值.

1 , 其中 ? 为第三象限的角, 求 cos( 105? - ? )+sin( ? 3

1 , 3 sin( ? - 105? ) =-sin( 105? - ? ) =-sin[ 180? -( 75 ? + ? )] =-sin( 75 ? + ? ). 1 ∵cos( 75 ? + ? ) = >0, ? 为第三象限的角, 3 ∴ 75 ? + ? 为第四象限的角,
解:cos( 105? - ? ) = cos[ 180? -( 75 ? + ? )] =-cos( 75 ? + ? ) =-
2 2 则有 sin( 75 ? + ? ) =- 1 ? cos (75? ? ? ) =- 1 ? ( ) =-

1 3

2 2 , 3

所以 cos( 105? - ? )+sin( ? - 105? ) =-

1 2 2 1? 2 2 - =- . 3 3 3

评析: 整个过程既需要诱导公式又需要用到同角三角函数关系式. 解题关键是寻求 75 ? + ? 与 105? - ? 之间的关系.解答问题的实质就是由未知向已知的转化过程,在这个转化 过程中一定要抓住关键和要害. 用诱导公式求值顺序是:任意角的三角函数 ? 任意正角的三角函数 ? 0 到 2? 范围内 的角的三角函数 ? 锐角的三角函数.

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