2017年高二文科数学专题五双曲线

专题六---双曲线
一、知识点汇总

定义

MF1 ? MF 2 ? 2a (其中 0 ? 2a ? F1 F2 )
x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

标准方程

图形

范围 对称性 焦点 顶点 性 质 轴长

x≥a 或 x≤-a

y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴,对称中心:原点 F1(-c,0),F2(c,0) (-a,0),(a,0) F1(0,-c),F2(0,c) (0,-a),(0,a)

焦距=2c,实轴长=2a,虚轴长=2b c2=a2+b2 c e=a且 e>1 b y=± ax x2-y2=λ(λ≠0). ①渐近线方程为:y=± x.②离心率为:e= 2. a y= ± bx

a, b, c 三者间关系
离心率 渐近线

等轴双曲线 二、课前热身:

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 平面内到两定点的距离的差等于常数 ( 小于两定点间距离 ) 的点的轨迹是双曲 线.( ) )

(2)点 A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点 C 的轨迹是双曲线.(

(3)到两定点 F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是两条射 线.( ) )

(4)双曲线方程中 a,b 分别为实、虚轴长.(

y2 x2 b (5)方程 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± ax.( a b

) )

x2 y2 (6)离心率 e 越大,双曲线 2- 2=1 的渐近线的斜率绝对值越大.( a b 【答案】(1)× 三、典例分析 题型一:双曲线定义的应用 (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√

例 1. (1)设动点 M 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)的距离的差等于 6,则 P 点的 轨迹方程是(
2 2

) x2 y2 x2 y2 C. - =1(x<0) D. - =1(x>0) 9 16 9 16

x y y2 x2 A. - =1 B. - =1 9 16 9 16

? ?2c=10, 【解析】 由双曲线的定义得,P 点的轨迹是双曲线的一支.由已知得? ?2a=6, ?

x2 y2 ∴a=3,c=5,b=4.故 P 点的轨迹方程为 - =1(x>0),因此选 D.【答案】 D 9 16

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点分别是 F1,F2,双曲线上一点 P 到 F1 的距离 (2) 双曲线 25 39
是 12,则 P 到 F2 的距离是( A.17 B.22 C.7 或 17 ) D.2 或 22

x2 y2 【解析】 由双曲线方程 - =1 得 a=5,∴||PF1|-|PF2||=2×5=10. 25 9 又∵|PF1|=12,∴|PF2|=2(舍)或 22.故选 B【答案】 B x2 y2 (3)已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴,则 6 3 F1 到直线 F2M 的距离为( 3 6 A. 5 5 6 B. 6 6 C. 5 ) 5 D. 6

【解析】 不妨设点 F1(-3,0),

容易计算得出|MF1|=

3 6 5 = ,|MF2|-|MF1|=2 6.解得|MF2|= 6. 2 2 2

1 1 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中,由 |MF1|· |F1F2|= |MF2|· d, 2 2 6 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 .故选 C 5 变式训练 1: (1)已知圆 M1:(x+4)2+y2=25,圆 M2:(x-4)2+y2=1,一动圆 P 与这两个圆都外切,则动圆圆心 P 的轨迹方程为___________ 【解】 设动圆的半径是 R, 则由题意知?
?|PM1|=R+5, ? ? ?|PM2|=R+1,

两式相减得|PM1|-|PM2|

=4<|M1M2|=8,所以动圆圆心 P 的轨迹是以点 M1(-4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲

x2 y2 ? ? 1( x ? 2) 线中靠近焦点 M2(4,0)的一支. 4 12
x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,点 A(1,4),P 是双曲线右支上的动点, 4 12 则|PF|+|PA|的最小值为________. 【答案】 9【解析】 设右焦点为 F′,依题意,

|PF|=|PF′|+4, ∴|PF|+|PA|=|PF′|+4+|PA|=|PF′|+|PA|+4≥|AF′|+4=5+4=9. 题型二:双曲线的标准方程 例 2. 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; x2 y2 (2)与椭圆 + =1 有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为 4; 27 36 (3)求经过点(3,0),(-6,-3)的双曲线的标准方程. 5 (4)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (5)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (6)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2). y2 x2 【解】 (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上, 所以可设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a a b

? ?a=2 5, >0,b>0).由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,所以?25 4 ? ? a2 -b2=1,
y2 x2 解得 a2=20,b2=16.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 20 16 x2 y2 (2)椭圆 + =1 的两个焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为 27 36 y2 x2 ( 15,4)或(- 15,4).设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b ? 2 ? ? ?42-? 15 ?a =4, 2 =1, y2 x2 a b 则? 解得? 2 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 ?b =5. ? ? ?a2+b2=32, (3)设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3),
?9m+0=1, ? ∴? 解得 ? ?36m+9n=1,
2 2

?m=9, ? 1 ?n=-3.

1

x2 y2 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 3

x2 y2 y2 x2 (4)设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0).由题意知 2b=12, a b a b c 5 x2 y2 y2 = 且 c2=a2+b2, ∴b=6, c=10,a=8.∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - a 4 64 36 64 x2 =1. 36 b 3 x2 4y2 9 (5)当焦点在 x 轴上时, 由a= 且 a=3 得 b= .∴所求双曲线的标准方程为 - = 2 2 9 81 a 3 y2 x2 1.当焦点在 y 轴上时,由b= 且 a=3 得 b=2.∴所求双曲线的标准方程为 - = 2 9 4 1. x2 x2 (6)设与双曲线 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y2=k,将点(2,-2)代 2 2 y2 x2 22 入得 k= -(-2)2=-2.∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 2 4 x2 y2 变式训练 2.已知方程 + =1 表示的曲线为 C.给出以下四个判断: 4-t t-1

①当 1<t<4 时,曲线 C 表示椭圆;②当 t>4 或 t<1 时,曲线 C 表示双曲线;③

5 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< ;④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的 2 双曲线,则 t>4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号). 5 【解析】 ①错误,当 t= 时,曲线 C 表示圆;②正确,若 C 为双曲线,则(4-t)(t 2 -1)<0,∴t<1 或 t>4;③正确,若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-t>t-1>
?4-t<0 ? 5 0.∴1<t< ;④正确,若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线,则? ,∴t>4. 2 ? ?t-1>0

【答案】 ②③④ 题型三:双曲线中的焦点三角形问题 x2 y2 例 3. (1)如图 221,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点为 F1,F2,过点 F1 作直线 a b 交双曲线的左支于点 A,B,且|AB|=m,则△ABF2 的周长为________.

图 221 (1)4a+2m ,因为?
?|AF2|-|AF1|=2a, ? ? ?|BF2|-|BF1|=2a,

所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a.又因

为|AF1|+|BF1|=|AB|=m,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.所以△ABF2 的周长为|AF2|+ |BF2|+|AB|=4a+2m. x2 y2 (2)若 F1,F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 是双曲线上的点,且|PF1|· |PF2| 9 16 =32,试求△F1PF2 的面积. 双曲线 【 精 彩点 拨 】 余弦定理 平方 双曲 线方 程 ― ― → |PF1| - |PF2| = ± 2a ― ― → |PF1|2 + |PF2|2 的 值 的定义 面积公式

― ― → ∠F1PF2=90° ― ― → S△F1PF2 x2 y2 【自主解答】 由双曲线方程 - =1,可知 a=3,b=4,c= a2+b2=5. 9 16 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=± 2a=± 6,将此式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-

2|PF1|· |PF2|=36,∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2|=36+2×32=100. 如图所示,在△F1PF2 中,由余弦定理,得

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 100-100 cos ∠F1PF2= = =0, 2|PF1|· |PF2| 2|PF1|· |PF2| 1 1 ∴∠F1PF2=90° ,∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|= ×32=16. 2 2 变式训练 3. (1)若 F1,F2 是双曲线 8x2-y2=8 的两焦点,点 P 在该双曲线上, 且△PF1F2 是等腰三角形,则△PF1F2 的周长为________. y2 【解析】 双曲线 8x2-y2=8 可化为标准方程 x2- =1,所以 a=1,c=3, 8 |F1F2|=2c=6.因为点 P 在该双曲线上, 且△PF1F2 是等腰三角形, 所以|PF1|=|F1F2| =6,或|PF2|=|F1F2|=6,当|PF1|=6 时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6 -2=4,所以△PF1F2 的周长为 6+6+4=16;同理当|PF2|=6 时,△PF1F2 的周 长为 6+6+8=20. 【答案】 16 或 20 (2).如图 222,已知双曲线中 c=2a,F1,F2 为左、右焦点,P 是双曲线上的点, ∠F1PF2=60° ,S△F1PF2=12 3.求双曲线的标准方程.

图 222 x2 y2 【解】 由题意可知双曲线的标准方程为 2- 2=1. a b 由于||PF1|-|PF2||=2a, 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos 60° = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 = 2|PF1|· |PF2|

?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1|· |PF2|-|F1F2|2 , 2|PF1|· |PF2|

所以|PF1|· |PF2|=4(c2-a2)=4b2, 1 3 所以 S△F1PF2= |PF1|· |PF2|· sin 60° =2b2· = 3b2, 2 2 从而有 3b =12 3,所以 b =12,c=2a,结合 c =a +b ,得 a =4. 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 题型四:双曲线的几何性质 例 4. (1)求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心 率和渐近线方程. x2 y2 x2 y2 【解】 将原方程转化为 - =1,即 2- 2=1,∴a=3,b=2,c= 13, 9 4 3 2 因此顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, c 13 离心率 e=a= , 3 2 渐近线方程 y=± x. 3 y2 (2)已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. b y2 b 【解析】 由双曲线 x2- 2=1,得 a=1,∴ =2,b=2. b 1 【答案】 2 (3)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 1 A. 2 B. 2 2 C.1 D. 2 )
2 2 2 2 2 2

x2

y2

(3)双曲线 x2-y2=1 的顶点坐标为(± 1,0),渐近线为 y=± x,∴x± y=0,∴顶点到 渐近线的距离为 d= |± 1± 0| 2 = . 2 2 选B )

x2 y2 x2 y2 (4)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 16 5-k 16-k 5 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

x2 y2 (4)因为 0<k<5,所以两曲线都表示双曲线,在 - =1 中 a2=16,b2=5-k; 16 5-k

x2 y2 在 - =1 中 a2=16-k,b2=5.由 c2=a2+b2 知两双曲线的焦距相等,故选 16-k 5 D. (5)已知 F1,F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该双曲线上一点,若△PF1F2 为等 腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( A. 3+1 B. 2+1 C.2 3 )

D.2 2

(5)不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.∵△PF1F2 是等腰直角三角 形,∴只能是∠PF2F1=90° ,∴|PF2|=|F1F2|=2c,∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c, ∴(2a+2c)2=2· (2c)2,即 c2-2ac-a2=0,两边同除以 a2,得 e2-2e-1=0. ∵e>1,∴e= 2+1 选 B (6)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲 线的离心率为________. c 2 a 【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得 = , ∴ =3, 即 e=3. 【答 a 6 c 案】 3 y2 变式训练 4: (1)已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线 3 → → 右支上一点,则PA1· PF2的最小值为________. → 【解析】 由题意得 A1(-1,0),F2(2,0),设 P(x,y)(x≥1),则PA1=(-1-x,-y), → → → PF2=(2-x,-y),∴PA1· PF2=(x+1)(x-2)+y2=x2-x-2+y2, → → 1?2 81 由双曲线方程得 y2=3x2-3,代入上式得PA1· PF2=4x2-x-5=4? ?x-8? -16,又 → → x≥1,所以当 x=1 时,PA1· PF2取得最小值,且最小值为-2.【答案】
2 2

-2

x y (2)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1,F2,若双曲线上存在点 P, a b 使|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围. 【解】 由题意知在双曲线上存在一点 P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示.

又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点 P,使得|PF2|= 2a,即|AF2|≤2a.∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,∴c≤3a.又∵c>a,∴a<c≤3a,∴1 c < ≤3,即 1<e≤3. a 四、课后巩固 x2 y2 1.双曲线 - =1 的焦点坐标为( 16 9 A.( ? 7,0) B.(0, ? 7)

) C.( ? 5,0) D.(0, ? 5)

【解析】 由双曲线的标准方程,知 a=4,b=3,所以 c=5.又由于焦点在 x 轴上, 故选 C.【答案】 C )

x2 y2 2.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( 1+k 1-k A.-1<k<1 【解析】 方程 B.k>0 C.k≥0 D.k>1 或 k<-1

x2 y2 - =1 表示双曲线,则(1+k)(1-k)>0,∴(k+1)(k-1) 1+k 1-k

<0,∴-1<k<1.故选 A.【答案】 A x2 y2 3. 双曲线 - =1 上一点 A 到点(5,0)的距离为 15, 则点 A 到点(-5,0)的距离为( ) 16 9 A.7 B.23 C.7 或 23 D.5 或 25

易知双曲线的焦点坐标分别为 F1(-5,0),F2(5,0),||AF1|-|AF2||=8,所以|AF1|=7 或 23.【答案】C 4.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( y2 A.x2- =1 3 【解析】 x2 B. -y2=1 3 x2 C.y2- =1 3 x2 y2 D. - =1 2 2 )

由双曲线定义知,2a= ?2+2?2+32- ?2-2?2+32=5-3=2,∴a=

y2 1.又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为 x2- =1. 3 【答案】 A

x2 y2 5.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 9 16 A.4x± 3y=0 B.16x± 9y=0

) C.3x± 4y=0 D.9x± 16y=0

【解析】 由题意知,双曲线焦点在 x 轴上,且 a=3,b=4,∴渐近线方程为 y 4 =± x,即 4x± 3y=0.【答案】 A 3 6.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线 方程是(
2 2

) B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4

A.x -y =8

【解析】 令 y=0,得 x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),∴c=4, 1 1 a2=b2= c2= ×16=8,故选 A.【答案】 2 2 A

x2 y2 7.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线 a b 方程为( ) B.y=± 2x 2 C.y=± x 2 1 D.y=± x 2

A.y=± 2x

【解析】 由已知,得 b=1,c= 3,a= c2-b2= 2.因为双曲线的焦点在 x 轴 b 2 上,所以渐近线方程为 y=± ax=± 2 x.【答案】 C )

x2 y2 8.已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1

【解析】 由题意得 e= =1.【答案】 D

a2+3 2 2 2 2 a =2,∴ a +3=2a,∴a +3=4a ,∴a =1,∴a

x2 y2 x2 y2 9.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( a 2 4 a 1 A. 2 B.1 或-2 1 C.1 或 2 D.1

)

【解析】 由于 a>0,0<a2<4,且 4-a2=a+2,所以可解得 a=1,故选 D.【答 案】 D x2 y2 10.双曲线 + k =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 )

A.(-10,0)

B.(-12,0)

C.(-3,0)

D.(-60,-12)

4-k x2 y2 c 【解析】 双曲线方程化为 - =1, 则 a2=4, b2=-k, c2=4-k, e=a= , 4 -k 2 又∵e∈(1,2),∴1< 4-k <2,解得-12<k<0.【答案】 B 2

x2 y2 x2 y2 11. 与曲线 + =1 共焦点, 且与曲线 - =1 共渐近线的双曲线的方程为( ) 24 49 36 64 y2 x2 A. - =1 16 9 x2 y2 B. - =1 16 9 y2 x2 C. - =1 9 16 x2 y2 D. - =1 9 16

x2 y2 【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0,-5),(0,5).设所求双曲线方程为 - 36 64 =λ(λ<0),即 y2 x2 1 - =1.由-64λ+(-36λ)=25,得 λ=- .故所求双曲线的 4 -64λ -36λ A

y2 x2 方程为 - =1.【答案】 16 9

12.已知 F1,F2 分别为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2 =60° ,则|PF1||PF2|=( A.2 B.4 C.6 ) D.8

【解析】 由题意, 得||PF1|-|PF2||=2, |F1F2|=2 2.因为∠F1PF2=60° , 所以|PF1|2 + |PF2|2 - 2|PF1|· |PF2|· cos 60°= |F1F2|2 , 所 以 (|PF1| - |PF2|)2 + 2|PF1||PF2| - 1 2|PF1||PF2|× =8,所以|PF1|· |PF2|=8-22=4.【答案】 B 2 13.已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点, → → → → 且MF1· MF2=0,|MF1|· |MF2|=2,则该双曲线的方程是( x2 A. -y2=1 9 【解析】 y2 B.x2- =1 9 )

x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 7 7 3

由双曲线定义 ||MF1| - |MF2|| = 2a ,两边平方得: |MF1|2 + |MF2|2 -
2

→ → 2|MF1||MF2|=4a , 因为MF1· MF2=0, 故△MF1F2 为直角三角形, 有|MF1|2+|MF2|2 → → =(2c)2=40,而|MF1|· |MF2|=2,∴40-2×2=4a2,∴a2=9,∴b2=1,所以双曲 x2 线的方程为 -y2=1.【答案】 A 9 14. 若点 P 到点(0, -3)与到点(0,3)的距离之差为 2, 则点 P 的轨迹方程为________.

【解析】 由题意并结合双曲线的定义,可知点 P 的轨迹方程为双曲线的上支, x2 且 c=3,2a=2,则 a=1,b2=9-1=8,所以点 P 的轨迹方程为 y2- =1(y≥1). 8 x2 【答案】 y2- =1(y≥1) 8 y2 15.若直线 x=2 与双曲线 x2- 2=1(b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B,且△ b AOB 的面积为 8,则焦距为________. y2 【解析】 由双曲线为 x2- 2=1 得渐近线为 y=± bx, 则交点 A(2,2b), B(2, -2b). b 1 ∵S△AOB= ×2×4b=8,∴b=2.又 a2=1,∴c2=a2+b2=5.∴焦距 2c=2 5. 2 【答案】 2 5 16.(1)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为 5∶ 4,则双曲线的标准方程为________. 【解析】 由题意得双曲线的焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 x2 y2 5∶4,即 c∶b=5∶4,解得 c=5,b=4,∴双曲线的标准方程为 - =1. 9 16 【答案】 x2 y2 - =1 9 16

(2)经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7)的双曲线的标准方程是________.
?9m+28n=1, ? 【解析】 设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),则? 解得 ? ?72m+49n=1,

?m=-75, ? 1 ?n=25,
【答案】 (3)以椭圆

1

y2 x2 故双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 y2 x2 - =1 25 75 x2 y2 + =1 短轴的两个端点为焦点,且过点 A(4,-5)的双曲线的标 16 9

准方程为_____________ x2 y2 【解】 由 + =1,得 a=4,b=3,所以短轴两端点的坐标为(0,± 3),又 16 9 双曲线过 A 点,由双曲线定义得

2a=| ?4-0?2+?-5-3?2- ?4-0?2+?-5+3?2| =2 5,∴a= 5,又 c=3, 从而 b2=c2-a2=4, 又焦点在 y 轴上, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 y2 x2 5 (4)已知双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),离心率 e= ,顶点到渐 a b 2 2 5 近线的距离为 ,则双曲线 C 的方程为___________________ 5 【解】 依题意,双曲线的焦点在 y 轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为 a y=± by=0, bx,即 ax± 所以 ab ab 2 5 2 2= c = 5 . a +b

c 5 又 e= = , a 2 所以 b=1,即 c2-a2=1,

? 5a?2-a2=1, ?2 ?

y2 解得 a2=4,故双曲线方程为 -x2=1. 4 (5)中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,经过点(3,-2),且一条渐近线的倾斜 π 角为 的双曲线的方程为_____________ 6 3 【解】 渐近线方程为 y=± x,设双曲线方程为 x2-3y2=λ.将(3,-2)代入 3 x2 求得 λ=-3,所以双曲线方程为 y2- =1. 3


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