2018年高考数学复习感知高考刺金四百题:第366—370题(含答案解析)高考

感知高考刺金 366 题 已知点 A, B 是双曲线 ??? ? ??? ? OA? OB 的最小值为 x2 y 2 ? ? 1 右支上两个不同的动点, O 为坐标原点,则 2 2 . 解法一:韦达定理 当 k AB 存在时,设 lAB : y ? kx ? b ? x2 y 2 2kb b2 ? 2 ?1 ? ? , x1 x2 ? 2 ? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 2 ? 0 x1 ? x2 ? 2 ?2 2 1? k k ?1 ? y ? kx ? b ? ??? ? ??? ? OA? OB ? x 1 x 2 ? y1 y2 ? x 1 x 2 ? ? kx1 ? b?? kx2 ? b ? ? ? k 2 ? 1? x 1 x 2 ?kb ? x 1 ? x 2 ? ? b2 ? ?1 ? k 2 ? b 2 ? 2 2k 2 b 2 2 ? 2k 2 4 2 ? ? b ? ?2? 2 ?2 k 2 ?1 1? k 2 k 2 ?1 k ?1 当 k AB 不存在是, ? 综上, OA?OB ? 2 解法二: ??? ? ??? ? ? x2 ? y 2 ? 2 ?x ? m ,则 OA? OB ? x 1 x 2 ? y1 y2 ? m2 ? 2 ? m2 ? 2 ??? ? ??? ? 由于 A, B 两点运动,故采取“一定一动”的原 则,不妨先在 B 点确定的情况下,让 A 点运动到最 小值,然后再让 B 点运动,即取最小值的最小值。 如图,不妨设直线 OB : y ? kx ? k ? 0? ? x2 y 2 2k 2 ? ?1 2 2 2 y ? 由? ,可得 , x ? 2 ?2 B B 1? k2 1? k2 ? y ? kx ? 故 OB ? 2 ? k 2 ? 1? 2 2k 2 ? ? 1? k2 1? k2 1? k2 ??? ? 显然点 A 运动到,在点 A 处的双曲线的切线(即 AC )与 OB 垂直时,此时 OA 在 OB 上的投影达到最小值 ??? ? 此时切线 AC 的方程为 x ? ky ? 2 ?1 ? k 2 ? ? 0 故 OA 在 OB 上的投影等于点 O 到直线 AC 的距离为 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 ?1 ? k 2 ? 2 ? k 2 ? 1? 故 OA? OB ? OC ? OB ? ? ?2 1? k2 1? k2 ??? ? ??? ? 2 ?1 ? k 2 ? 1? k2 解法三:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ??? ? ??? ? 2 2 2 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? x12 ? 2 ? x2 ? 2 ? x1 x2 ? x12 x2 ? 2 ? x12 ? x2 ??4 2 ? x1 x2 ? x12 x2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? x1 x2 ? x1 x2 ? 2 又因为 x1 ? 2 , x2 ? 2 ,所以 x1 x2 ? 2 所以 OA? OB ? x1 x2 ? ? x1x2 ? 2? ? 2 解法四:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 2 2 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ?2 ??? ? ??? ? 2 2 两式相乘得 ? x12 ? y12 ?? x2 ? y2 ??4 2 2 2 2 即 x12 x2 ? y12 y2 ? 4 ? x12 y2 ? x12 y2 等式两边同时加上 2 x 1 x 2 y1 y2 ,得 ? x 1 x 2 ? y1 y2 ? ? 4 ? ? x 1 y2 ? y1x 2 ? ? 4 2 2 故 OA? OB ? x 1 x 2 ? y1 y2 ? 2 解法五:三角换元 设 A ? 2 sec? , 2 tan ? ? , B ? 2 sec ? , 2 tan ? ? 所以 OA?OB ? ??? ? ??? ? 2 2sin ? sin ? 1 ? sin ? sin ? ? ? 2? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? cos ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? sin ? sin ? 1 ? sin ? sin ? 1 ? sin ? sin ? 1 ? sin ? sin ? OA? OB ? 2 ? ? 4? ? 4? ? 4? ?2 2 2 2 2 cos ? cos ? cos ? ? cos ? 2 ? 2sin ? sin ? 2 ? ? sin ? ? sin ? ? 解法六:前同解法五,令 y ? 1 ? sin ? sin ? ,则 y cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 cos ? cos ? 故 y2 cos2 ? ? sin2 ? cos ?? ? ? ? ? 1 故 y 2 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 即 y 2 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 故 y 2 ? 1 ,又因为 y ? 0 ,所以 y ? 1 , OA? OB ? 2 y ? 2 感知高考刺金 367 题 设关于 x 的方程 x2 ? ax ? 1 ? 0 和 x 2 ? x ? 2a ? 0 的实根分别为 x1 , x2 和 x3 , x4 ,若 x1 ? x3 ? x2 ? x4 ,则 a 的取值范围是 ??? ? ??? ? . 解: x2 ? ax ? 1 ? 0 ? a ? x ? x 2 ? x ? 2a ? 0 ? a ? x2 ? x 2 1 x 在同一个坐标系中画出 y ? x ? 和 y ? 图象如图所示 由x? ? 1 x 1 x x2 ? x 的 2 x2 ? x ,化简得 x3 ? 3x 2 ? 2 ? 0 2 显然有

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