吉林省长白山一高2013学年高二数学必修5第一章基础巩固1-2-3

第 1章
一、选择题

1.2
基础巩固

第 3 课时

1. 在某测量中, 设 A 在 B 的南偏东 34° 27′, 则 B 在 A 的( A.北偏西 34° 27′ C.北偏西 55° 32′ B.北偏东 55° 33′ D.南偏西 55° 33′

)

3 2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为 ,设 α 为坡角,那么 4 cosα 等于 ( A. 3 5 ) 4 B. 5 4 D. 3

3 C. 4

3.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) B.北偏西 10° D.南偏西 10°

A.北偏东 10° C.南偏东 10° 二、填空题

4.两个探险小分队于早上 8 时同时离开营地,两队所行方向的 夹角为 60° ,其速度每小时分别为 3.5 公里、2.5 公里,则中午 12 时 两队之间的距离是________公里. 5.从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视为 α,同时 测得建造物顶部仰角为 β,则山顶的仰角为________. 三、解答题 6.如图,甲船在 A 处,乙船在甲船的南偏东 45° 方向,距 A 9 海里的 B 处,并以 20 海里 /时的速度沿南偏西 15° 方向行驶,若甲船

以 28 海里/时的速度行驶,应沿什么方向,用多少小时能最快追上乙 船? (精确到度)

能力提升 一、选择题 1.如下图所示,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯 塔 P 的南偏西 75° 距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东 南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( )

A.

17 6 海里 /小时 2

B. 34 6海里 /小时 D. 34 2海里 /小时

17 2 C. 海里 /小时 2

2.当两人共提重为 |G|的书包时,夹角为 θ,用为 |F|,则三者的 关系为( )

A. |F|= C. |F|=

|G| 2cos θ |G| θ 2cos 2

B. |F|= D. |F|=

|G| 2sinθ |G| θ 2sin 2

二、填空题 3. 一只蚂蚁沿东北方向爬行 xcm 后, 再向右转 105° 爬行 20cm, 又向右转 135° ,这样继续爬行可回到出发点处,那么 x=________. 4.有一长为 100 米的斜坡,它的倾斜角为 45° ,现在要把倾斜 角改成 30° ,则坡底要伸长________米. 三、解答题 5.半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上一点,且 OA=2.B 为 半圆上任意一点, 以 AB 为边向外作等边△ABC, 则 B 点在什么位置 时,四边形 OACB 的面积最大?求出这个最大面积. 6.国庆节期间一游客在东湖的游船上仰看空中一飞艇的仰角为 15° , 又俯看飞艇在湖中的映影俯角为 45° , 已知该游客在船上距湖面 的高度为 5 米,求飞艇距湖面的高度(不考虑水的折射 ). 7.平面内三个力 F1、F2、F3 作用于同一点且处于平衡状态.已 知 F1、F2 的大小分别为 1N、 6+ 2 N,F1 与 F2 的夹角为 45° ,求 2

F3 的大小及 F3 与 F1 的夹角的大小. 1[答案 ] A 2[答案 ] B sinα 3 3 [解析 ] 由题意,得 tanα= ,∴ = , 4 sinα 4 sin2α 9 1- cos 2α 9 ∴ 2 = ,即 = ,∵α 为锐角, cos α 16 cos 2α 16

4 ∴ cosα= . 5 3[答案 ] B [解析 ] 如图,由题意知

∠ ACB= 180° - 40° - 60° = 80° , ∵ AC= BC,∴∠ ABC= 50° , ∴ α= 60° - 50° = 10° . 4[答案 ] 2 39 [解析 ] 如图所示,设营地所在位置为点 A,中午 12 时两队分 别到达 B、 C 两点,

由题意,得 AB= 3.5× 4= 14 公里, AC= 2.5×4= 10 公里. 又∠ A= 60° , 由余弦定理,得 BC = AB2+ AC2- 2AB· AC· cosA = 142+ 102- 2×14×10× 1 2

= 2 39(公里 ). 故中午 12 时两队之间的距离为 2 39公里. 5[答案 ] β-α 6[解析 ] 假设用 t 小时,甲船在 C 处追上乙船,在△ ABC 中, AC= 28t, BC= 20t, ∠ ABC= 180° - 45° - 15° = 120° . 由余弦定理,得 AC2= AB2+ BC2- 2AB· BC· cos∠ ABC, 1 (28t)2= 81+ (20t)2- 2×9×20t× (- ), 2 整理,得 128t2- 60t- 27= 0,即 (4t- 3)(32 t+ 9)= 0. 3 9 ∴ t= 或 t=- (舍去 ). 4 32 3 3 ∴ AC= 28× = 21, BC= 20× = 15. 4 4 由正弦定理,得 3 15× BCsin∠ ABC 2 5 3 sin∠ BAC= = = . AC 21 14 又∠ ABC= 120° , ∴∠ BAC 为锐角,∠ BAC≈38° . ∴ 45° - 38° = 7° . 3 答:甲船应沿南偏东 7° 方向用 小时最快追上乙船. 4 能力提升 1[答案 ] A [解析 ] 由题意知 PM= 68,∠ MPN= 120° ,∠ N= 45° PM MN 3 由正弦定理知 = ? MN= 68× × 2= 34 6 sin45° sin120° 2

34 6 17 6 ∴速度为 = (海里 /小时 ). 4 2 2[答案 ] C [解析 ] 如图,由平行四边形法则可知,

→ |OA|= |G|, → 在△ AOB 中, 由余弦定理, 得 |OA|2= |F|2+ |F|2- 2|F|· |F |cos(π- θ) → ∵ |OA|= |G|, ∴ 2|F|2(1+ cos θ)= |G|2. 即 |F| =
2

|G | ,∴ |F|= . θ 2θ 4cos 2cos 2 2 20 6 cm 3

|G |2

3[答案 ]

[解析 ] 如图△ ABC 中,∠ A= 45° + 15° = 60° ,∠ B= 45° + 30° x 20 20 6 = 75° ,∠ ACB= 45° ,由正弦定理知 = ,∴x= . 3 sin∠ ACB sinA

4[答案 ] 50( 6- 2) [解析 ] 如图所示,

在△ ABC 中,∠ C= 90° ,∠ ABC= 45° , AB= 100,∴ AC= 50 2. 又在△ ACD 中,∠ ADC= 30° , ∴∠ DAB= 45° - 30° = 15° . sin15° = sin(45° - 30° )= 6- 2 . 4

BD AB 在△ ABD 中,由正弦定理,得 = , sin∠ DAB sin∠ ADB 100×sin15° ∴ BD= = sin30° 100× 1 2 6- 2 4

= 50( 6- 2)(米 ).

5[解析 ] 设 AB= x,∠ AOB= θ,在△ AOB 中,由余弦定理, 得 x2= 12+ 22- 2×1×2cosθ= 5- 4cos θ. 又设四边形 OACB 的面积是 S,则 ①

S= S△ AOB+ S△ ABC= sinθ+ 式①代入式②得 S= sinθ- 3cos θ+

3 2 x. 4



5 3 π 5 3 = 2sin(θ- )+ . 4 3 4

π π 2π ∵ θ∈ (0, π),∴- <θ- < . 3 3 3 8+ 5 3 π π 5π ∴当且仅当 θ- = ,即 θ= 时, Smax= . 3 2 6 4 5π 即以 OA 为始边,OB 逆时针方向旋转 时,四边形 OACB 面积 6 8+ 5 3 最大,最大值为 . 4 6[解析 ] 如图所示,设 CF= x 米,则飞艇距湖面 (x+ 5)米,

则 ED= (x+ 5)米,∴ AF= BD= EF= (x+ 10)米, x ∴ = tan15° = 2- 3,∴ x= 5( 3- 1)米, x+ 10 ∴ CD= 5+ x= 5 3(米 ). 7[解析 ] 如下图,设 F1 与 F2 的合力为 F,则 F3=- F. ∵∠ BOC= 45° , ∴∠ ABO= 135° .

在△ OBA 中,由余弦定理,得 |F |2= |F1|2+ |F2|2- 2|F1|· |F2 |cos135° = 4+ 2 3. ∴ |F|= 1+ 3,即 |F3|= 3+ 1. |F2 |sin∠ ABO 1 又由正弦定理,得 sin∠ BOA= = . |F | 2 ∴∠ BOA= 30° ,∴∠BOD= 150° . 故 F3 的大小为 ( 3+ 1)N, F1 与 F3 的夹角为 150° .

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