22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)


一课一案 创新导学

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
第 2 课 时

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学习目标
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式.

学习重点
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的解析式.

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心理学家发现,在一定范围内,学生对概念的接受能 力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系: (其中0≤x≤30)
提出概 念所用 时间(x) 对概念 的接受 能力(y) 2 5 7 10 12 13 14 17 20

47.8

53.5

56.3

59

59.8

59.9

59.8

58.3

55

其实学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时

间x(单位:min)之间是二次函数关系,你会根据上述表格
中的数据求这个二次函数的解析式吗?今天我们一起来研 究如何用待定系数法求二次函数的解析式.

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1.解决“问题导引”中的问题.

在表格中选取三个点 2 (5,53.5),(10,59),(20,55)代入 y=ax +bx+c + + = . , = - ., 中 , + + = ,解得 = . , + + = , = . 2 所以 y=-0.1x +2.6x+43.

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2.解二次函数的时候,有时候并不直接告知点的坐标,

而是告诉你对称轴(或顶点的横坐标)x=m,要用公式
m= ,有时告知顶点的纵坐标(或顶点到x轴的距 4- 2 4 . 离)为n要用公式n=


-



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3.一般有三个点的条件是用 一般式 ,有顶点的条件用 顶点式 ,有三个点其中两个点为(x ,0),(x ,0),
1 2

用 交点式 .例如:(1)已知一个二次函数的图象经过 (1,4),(2,1),(0,1)三点;(2)已知二次函数的顶点(2,3)和

另一点(-4,6);(3)已知二次函数经过(3,0),(-1,0),(5,3).
请列出相关方程或简述解法.
(1) + + = , + + = ,(2)把点(-4,6)代入 = , 2 y=a(x-2) +3;(3)把点(5,3)代入 y=a(x-3)· (x+1).

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1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点, 5 则该函 数的解析式是( D ) A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2


C.y=x2-2x+3

D.y=x2-3x+2
0 .

2.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为 3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和点(-1,-6), 则a+c= -2 .

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4.已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,-3),且经

过点P(2,0),求这个函数的解析式.
解 : 依题意设所求的二次函数解析式为 2 y=a(x-1) -3. ∵图象经过点 P(2,0), 2 ∴ 0=a×(2-1) -3,∴a=3. 2 ∴该函数的解析式为 y=3(x-1) -3, 2 即 y=3x -6x.

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已知关于 x 的二次函数 y1 和 y2,其中 y1 的图象开口向下, 与 x 轴交于 A(-2,0),B(4,0)两点,对称轴平行于 y 轴,其 顶点与点 B 的距离为 5,而 y2=- x - x+ .

2





(1)求二次函数 y1 的解析式 ;(2)把 y2 化为 y2=a(x2 h) +k 的形式; (3)y1 的图象经过怎样平移能得到 y2 的图象?

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解 :(1)如图,对称轴为 x=
-+

=1,BN=3,NM= - =4,


∴顶点为 M(1,4),用待定系数法求得 y 1 =- (x-1) +4. (2)y2=- x - x+ =- (x+2) +2.

2 2







2

(3)把 y1 的图象向下平移 2 个单位,再向左平 移 3 个单位能得到 y2 的图象.

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1.画二次函数图象的时候先在坐标中标出顶点、对称
轴和函数与y轴的交点(0,c),然后用光滑曲线连接顶点 和(0,c),再在对称轴的另一边画对称的函数图象即可. 2.用三种方式表示二次函数的实际问题时,经常忽略自 变量的取值范围,所以在实际问题中要先考虑自变量的

取值范围.
3.要熟记根据图象判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的 取值各决定着图象的哪些特征.


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