排列组合中的分组分配问题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 排列组合中的分组分配问题 作者:靳志远 来源:《中学生导报· 教学研究》2013 年第 17 期 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题,谈谈自己在教学中 的体会和做法。 一、 提出分组与分配问题,澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向 分配两种问题;将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组,称为分组问题.分组问题有不平均分 组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间 只要元素个数相同是不区分的;而后者即使 2 组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分 的.对于后者必须先分组后排列。 二、基本的分组问题 例 1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组两本. (2)一组一本,一组二本,一组三本. (3)一组四本,另外两组各一本. 分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是 C26C24C22=90(种) ,这 90 种分 组实际上重复了 6 次。我们不妨把六本不同的书写上 1、2、3、4、5、6 六个号码,考察以下 两种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的, 三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入 了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数 A33,所以分法是 C26C24C22A33=15(种)。(2)先分组,方法是 C16C25C33,那么还要不要除以 A33?我们 发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有 C16C25C33=60 (种) 分法。 (3)分组方法是 C46C12C11=30(种) ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其 中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一 样,不可能重复。所以实际分法是 C46C12C11A22=15(种)。 通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 结论 1:一般地,n 个不同的元素分成 p 组,各组内元素数目分别为 m1 ,m2 ,…, mp ,其中 k 组内元素数目相等,那么分组方法数是 Cm1nCm2n-m1Cm3n-m1m2…CmpmpAkk。 三、基本的分配的问题 (一)定向分配问题 例 2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)甲两本、乙两本、丙两本. (2)甲一本、乙两本、丙三本. (3)甲四本、乙一本、丙一本. 分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计 数原理不难解出:分别有 C26C24C22=90(种),C16C25C33=60(种), C46C12C11=30 (种)。 (二)不定向分配问题 例 3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每人两本. (2)一人一本、一人两本、一人三本. (3)一人四本、一人一本、一人一本. 分析:此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给三 人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再将这 三组分给甲、乙、丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以 A33,即 C26C24C22A33A33=90 (种), C16C25C33A33=360(种) C46C12C11A22A33=90(种)。 结论 2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元 素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列 数。 通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例 4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法? 分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手。因此,考虑先分 组,后排列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、 二本、三本(3)两组各一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是 C26C24C22A33+C16C25C33+C46C12C11A22=90(种)。再考虑排列,即再乘以 A33。所以一 共有 540 种不同的分法。 四、分配问题的变形问题 例 5 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少 种? 分析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为 1,1,2。实际上可转化为先将四 个不同的小球分为三组,两组各 1 个,另一组 2 个,分组方法有 C14C13C22A22(种),然后 将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的 3 个的排列问题,即共有 C14C13C22A22A34=144(种)。 例 6 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人 承担这三项任务,不同的选法有多少种? 分析:先考虑分组,即 10 人中选 4 人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共有 C110C19C28A22(种)分法。再考虑排列,甲任务需 2 人承担,因此 2 人的那个组只能承担甲 任务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有 C110C19C28A22A22=2520 (种)不同的选法。 例 7 设集合 A={1,2,3,4},B={6,7,8},A 为定义域,B 为值域,则从集合 A 到集合 B 的不同的函数有多少个? 分析:由于集合

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