第二章 函数质量评估 单元测试(北师大版必修1)

章末质量评估(二)
(时间:100 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) |x| 1.函数 f(x)=x+ x 的图像是( ). 满分:120 分)

|x| ?x+1,x>0, 解析 f(x)=x+ x =? ?x-1,x<0. 答案 C 2.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2), 则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 C.a≥-2 ). B.a≤-2 或 a≥2 D.-2≤a≤2

解析 易知 y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(a)≥f(2)?f(|a|)≥f(2)?|a|≥2,选 B. 答案 B 3.已知函数 f(x)= A.A∪B=B C.A∩B=? 1+x 的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 B,则( 1-x B.A∪B=A D.A∩B=A 1+x ≠1}={x|x≠1 且 x≠0},∴B?A, 1-x ).

解析 易求 A={x|x≠1},B={x|x≠1 且 A∩B=B,A∪B=A,选 B. 答案 B

4.如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增加的,且最小值为 5,则在区间[-7,- 3]上( ).

A.增加的且有最小值-5 B.增加的且有最大值-5 C.减少的且有最小值-5 D.减少的且有最大值-5

解析 由奇函数的性质,知 y=f(x)在区间[-7,-3]上是增加的,有最大值-5, 选 B. 答案 B 5.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x+b+1(b 为常数), 则 f(-1)=( A.3 ). B.1 C.-1 D.-3

解析 ∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,求得 b=-1, ∴f(-1)=-f(1)=-(1+2-1+1)=-3.选 D. 答案 D 6.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 0,则( ). B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f?x2?-f?x1? <0, 则 x2-x1 与 f(x2)-f(x1) x2-x1 f?x2?-f?x1? < x2-x1

A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3)

解析 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有

异号,因此函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数.又 f(x)在 R 上是偶函数,故 f(-2) =f(2).由于 3>2>1,故有 f(3)<f(-2)<f(1). 答案 A 7. 已知二次函数 y=f(x)的图像对称轴是 x=x0, 它在[a, b]上的值域是[f(b), f(a)], 则( ). B.x0≤a D.x0?[a,b]

A.x0≥b C.x0∈[a,b]

解析 开口向上时,区间[a,b]在对称轴 x=x0 的左侧;开口向下时,区间[a, b]在对称轴 x=x0 的右侧,故 x0?[a,b],选 D. 答案 D 8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶 函数,则( A.f(6)>f(7) ). B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 解析 由 y=f(x+8)为偶函数, 可知 y=f(x)的图像关于直线 x=8 对称, 而 y=f(x) 在(8,+∞)上为减函数,则 y=f(x)在(-∞,8)上为增函数,所以 f(9)=f(7)>f(6) =f(10). 答案 D 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足;对任意的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2- x1)(f(x2)-f(x1))>0,则当 n∈N+时,有( ).

A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析 对任意 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,因此 x2-x1 和 f(x2)-f(x1)同号,所以 f(x)在(-∞,0]上是增函数.由于 n∈N+,且 n+1>n >n-1,所以-n-1<-n<-n+1≤0, 即 f(n+1)=f(-n-1)<f(-n)<f(-n+1)=f(n-1). 答案 C 10.对某种产品市场产销量情况如图所示,其中:l1 表示产品各年年产量的变化 规律;l2 表示产品各年的销售情况.下列叙述:

(1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量; (4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增. 你认为较合理的是( A.(1),(2),(3) C.(2),(4) 解析 ). B.(1),(3),(4) D.(2),(3)

对于(2),由图只能看出;产品已经出现了供大于求的情况,而看不出价

格问题.其余都正确,选 B. 答案 B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11.设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)=________. 解析 g(x+2)=f(x-1)=2(x-1)+3=2x+1, ∴g(x)=2x-3. 答案 2x-3 12.将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形 与圆的面积之和最小,正方形的周长应为________. 解析 设正方形周长为 x(0<x<1),面积和为 S,
2 2 ? x? ?1-x? ?π+4?x -8x+4 则 S=?4?2+ 4π = . 16π ? ?

令 g(x)=(π+4)x2-8x+4(0<x<1). 由二次函数图像知,当 x= 4 长为 . π+4 答案 4 π+4 4 时,g(x)取得最小值,此时,S 最小.∴正方形周 π+4

13.已知二次函数 f(x)同时满足条件:(1)对称轴是 x=1;(2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)的两根立方和等于 17.则 f(x)的解析式是________. 解析 设 f(x)=a(x-1)2+15,(a<0), 设 f(x)=0 的二根为 x1,x2, 15 则 x1+x2=2,x1x2=1+ a , 45? ? 3 2 ∴x1 +x3 2=(x1+x2)[(x1+x2) -3x1x2]=2?1- a ?=17, ? ? 解得 a=-6, ∴f(x)=-6x2+12x+9. 答案 f(x)=-6x2+12x+9 ?|x+1|,x<1, 14 .设函数 f(x) = ? 使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是 ?-x+3,x≥1, ________. 解析 作出图像,由图像观察得 x≤-2 或 0≤x≤2.

答案 x≤-2 或 0≤x≤2 15.定义域为[a2-3a-2,4]的函数 f(x)是奇函数,则 a=________. 解析 奇函数的定义域关于原点对称, ∴a2-3a-2+4=0, 即 a2-3a+2=0, 解得 a=1 或 a=2. 答案 1 或 2 16. 定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= 解析 x+m , 则常数 m、 n 的值分别为________. x +nx+1
2

由 f(0)=0 知 m=0.由 f(x)是奇函数知 f(-x)=-f(x),即

-x+0 =- x -nx+1
2

x+0 , x +nx+1
2

∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0. ∴f(x)= x . x +1
2

答案 0,0 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17.(1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x2+1)的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1),求 f(1-3x)的定义域. 解 (1)f(x2+1)是以 x2+1 为自变量,f 为对应关系的函数, ∴0≤x2+1≤1. ∴-1≤x2≤0. ∴x=0. ∴函数 f(x2+1)的定义域为{x|x=0}. (2)f(2x-1)的定义域为[0,1), 即-1≤2x-1<1, ∴f(x)的定义域为[-1,1),

2 即-1≤1-3x<1,0<x≤3. 2? ? 故函数 f(1-3x)的定义域为?0,3?. ? ? 18.设 f(x)=x2-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求函数 f(x)的最小值 g(t)的解析式. 解 由 f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],知对称轴为直线 x=2. ∴当 t≤2≤t+1, 即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-8; 当 t+1<2,即 t<1 时, f(x)在[t,t+1]上是减函数, ∴g(x)=f(t+1)=t2-2t-7; 当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4.

?t -2t-7,t<1, 综上,可得 g(t)=?-8,1≤t≤2, ?t2-4t-4,t>2.
19.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y∈(-1,1),都有 f(x)+f(y)= ? x+y ? ?. f? ?1+xy? (1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)若当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是减函数. 证明 (1)函数 f(x)定义域是(-1,1), ? x+y ? ?, 由 f(x)+f(y)=f? ?1+xy? ?0+0? ?, 令 x=y=0,得 f(0)+f(0)=f? ?1+0? ∴f(0)=0. ? x-x ? 令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f? 2?=f(0)=0, ?1-x ? ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减,令 0<x1<x2<1,

2

? x1-x2 ? ? 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f? ?1-x1x2? ? x2-x1 ? ?, =f?- ? 1-x1x2? ∵0<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,1-x1x2>0. x2-x1 ∴ >0. 1-x1x2 又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0, ∴0<x2-x1<1-x1x2. ∴-1<- x2-x1 <0, 1-x1x2

? x2-x1 ? ?>0, 由题意,知 f?- ? 1-x1x2? ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,1)上为减函数. 又 f(x)为奇函数, ∴f(x)在(-1,1)上也是减函数. 20.设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a,b∈[-1,1],当 a+b≠0 时, f?a?+f?b? 都有 >0. a+b (1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; ? 1? ? 1? (2)解不等式 f?x-2?<f?x-4?; ? ? ? ? (3)如果 g(x)=f(x-c)和 h(x)=f(x-c2),这两个函数的定义域的交集是空集,求 c 的取值范围. 解 (1)任取 x1,x2∈[-1,1],当 x1<x2 时, 由奇函数的定义和题设不等式,得 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) f?x2?+f?-x1? = · (x2-x1)>0, x2+?-x1? ∴f(x)在[-1,1]上是增函数.

∵a,b∈[-1,1],a>b, ∴f(a)>f(b). (2)∵f(x)是[-1,1]上的增函数, ? 1? ? 1? ∴不等式 f?x-2?<f?x-4?等价于 ? ? ? ?

? ? 1 ?-1≤x-4≤1 1 ? ?x-1 2<x-4

1 -1≤x-2≤1

? ? 1 1 ??x-2<x-4, ? ?x-1 4≤1,
? ?

1 -1≤x-2,

(舍去了多余因素)

? 1 5? ∴原不等式的解集是?x|-2≤x≤4?.

(3)设函数 g(x)、h(x)的定义域分别是 P 和 Q, 则 P={x|-1≤x-c≤1}={x|c-1≤x≤c+1}, Q={x|-1≤x-c2≤1}={x|c2-1≤x≤c2+1}, ∵P∩Q=?, ∴c+1<c2-1 或 c2+1<c-1, 即 c2-c-2>0 或 c2-c+2<0(无解), 即 c>2 或 c<-1. 综上 P∩Q=?,则 c>2 或 c<-1.


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