高二椭圆专题复习

椭圆经典例题分类汇总
一、 椭圆第一定义的应用
例 1 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

例2 已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 2 k ?8 9

例3

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. 已知方程 k ?5 3? k

例4

2 已知 x s i n ? ? y2 c o ? s ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范

围.

例 5 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动
2

圆圆心 P 的轨迹方程.

二、第二定义应用
例 1 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 ,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为 16 12

? ?

最小值时,求点 M 的坐标.

例 2 已知椭圆 离.

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距 4b 2 b 2

例 3 已知椭圆 椭圆上一点.

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是 9 5

P 坐标; (1) 求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点
(2) 求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

三、焦半径及焦三角的应用
例 1 已知椭圆

x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准 4 3

2

线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.

x2 y2 例 2 已知椭圆方程 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ?,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭 a b
圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .

四、参数方程应用
例 1 求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值. 3

例2

(1)写出椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 9 4

例 3

椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 a2 b2

OP ? AP ( O 为坐标原点),求其离心率 e 的取值范围.


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