【数学】7.1.2《弧度制》课件(新人教A版必修4)_图文

7.1.2

弧度制

在初中几何里,我们学习过角的度量,

1度的角是怎样定义的呢?
1 周角的 为1度的角。 360

这种用1?角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ,今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。

弧度制:

定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。

弧 长 比 值? 半 径
B O

B2

B1
L A L1 A1

L2

r r1r2

A2

与半径 大小无关

AB A?B? ? =定值, r r?

设α =n?, AB 弧长为l,半径OA为r,
n l n 则 l? ? 2? r ? ? ? 2? 360 r 360 可以看出,等式右端不含



半径,表示弧长与半径的
比值跟半径无关,只与α的

大小有关。

2.定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。

注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字 或rad可以略去不写。

3. 弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单

位制,角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心 360

角的大小;

(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实

数表示,而角度制是六十进制;
(4)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径 无关的定值。

5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角,零角既是0? 角,又是0 rad角,同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数:

平角=? rad、周角=2? rad.

③ 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是 负数,零角的弧度数是0.

l ④角?的弧度数的绝对值: ? ? r
(l为弧长,r为半径)

360°=2? rad 180°= ? rad

1° =

?
180

rad
?

0.01745 rad ?

? 180 ? ? 57 .30? 1 rad= ? ? =57°18′ ? ? ?

注:(1)关键抓住 180

o

??

(2)弧度制与角度数是不可以混合写

如: k ? 360 ?
o

?

3

×

或2k? ? 60

o

例1. (1) 把112?30′化成弧度(精确到0.001);

(2)把112?30′化成弧度(用π 表示)。
解: (1)112?30′=112.5?,
1? ?

?
180

? 0.0175

所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112?30′=112.5×

?

180

=

5? . 8

8? 例2. 把 化成度。 5

解:1rad= (

180

?

)?

8? 8? 180 ? ?( )? 5 5 ?
? 288?

例3. 填写下表:
角度 弧度 角度 0° 30°
? 6
5? 6

45°
?
4

60°
?
3

90°
?
2

0

120° 2?
3

135° 150° 180° 210° 225° 240°
3? 4

弧度
角度

π

弧度

270° 300° 315° 330° 360° 3?
2



4、用弧度来度量角,实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

例2:请用弧度制表示下列角度所在区间。

锐角:{θ|0°<θ<90°}
直角: {θ|θ=90°} 钝角: {θ|90°<θ<180°} 平角: {θ|θ=180°} 0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}

? ?? ? 0,
?

? ?
? 2?

? ?
? ??

?
2

?? ? ,? ? ?2 ?

? ??
? ? [0, ?
2 )

小于90°角:{θ|θ<90°}
练习:教材P 10练习

? ? ( ?? ,

?
2

)

1.下列命题中,真命题是( D ).
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧; B.一弧度是长度为半径的弧; C.一弧度是一度的弧与一度的角的和; D.一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是 角的一种度量单位 2.下列命题中,不正确的是( D ). A.半圆所对的圆心角是 ? rad; B.周角的大小是2 ? ; C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径; D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度.

6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l ? r ? ?
l 由公式:? ? ? l ? r ? ? r

n?r 比公式 l ? 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

1 ② 扇形面积公式 S ? lR 2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则

n 1 2 S ??R ? ? R ?? 360 2
2

1 又 αR=l,所以 S ? lR 2

证明2:因为圆心角为1 rad的扇形面积是

? R2 1 2 ? R 2? 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.

1 所以它的面积是 S ? lR 2

例4. 扇形AOB中, AB 所对的圆心角是60? ,
半径是50米,求 米)。
? 解:因为60? = 3 ,所以
? 3×50≈52.5 .

的长 ABl(精确到0.1

l=α· r=

答: AB 的长约为52.5米.

例5. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

例6.与角-1825? 的终边相同,且绝对值最小 的角的度数是___,合___弧度。 解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? .
5 合 ? 36 ?

例7. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于
所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧 度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1) R


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