山东省2013年高二暑假作业(二)文科数学含答案

2013 高二文科数学暑假作业(二) 一、 选择题 1.复数 z ?

1 ? 2i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a ? b ? c =3,则 a 2 ? b2 ? c2 ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 3.已知函数 f ( x) ? ? A. B.若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 ,则 f [ f ( C. ?

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

1 )] ? 16
D.-9

1 9

B.9

1 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? 4. 设 O 为坐标原点, A ?1,1? , 若点 B ? x, y ? 满足 ?0 ? x ? 1, 则OA ? OB 取得最小值时, ?0 ? y ? 1, ? ?
点 B 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个

5.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , Sn ? n2 an (n ? N* ) ,可归纳猜想出 Sn 的 表达式为( A. ) B.

2n n ?1

3n ? 1 n ?1

C.

2n ? 1 n?2

D.

2n n?2


6. 直线:3x-4y-9=0 与圆: ? A. 相切 B. 相离

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C. 相交 D.相交且过圆心

7.已知直线 m、 l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,下列命题中正确命题的个数是 ①若 ? / / ? ,则 m ? l ③若 m ? l ,则 ? / / ? ; A.1 B.2 ②若 ? ? ? ,则 m / / l ④若 m / / l ,则 ? ? ? C.3 D.4

8.如图,梯形 ABCD中,AB / /CD,且AB ? 2CD ,对角线 AC、DB 相交于点 O.若

AD ? a, AB ? b, AO ? (
4 2 a? b 3 3 2 1 C. a ? b 3 3
A.

)
2 1 a? b 3 3 1 2 D. a ? b 3 3
B.

9.己知① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 A.两个函数的图象均关丁点 ( ?

?
4

, 0) 成中心对称

B.①的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 C.两个函数在区间 ( ?

? ?

? 个单位即得② 4

, ) 上都是单调递增函数 4 4

D.两个函数的最小正周期相同

? y ? 3x ? 10.在可行域 ? x ? 0 内任取一点 P( x, y ) ,则点 P 满足 x 2 ? y 2 ? 1的概率是 ?x ? y ? 2 ?
A.

(1 ? 3)? 24

B.

( 3 ? 1)? 24

C.

(3 ? 3)? 36
)

D.

(3 ? 3)? 36

11.函数 f ? x ? ? ? ? cos x ? lg x 的部分图象是(

12.函数 f ( x) ?

A.1 二、填空题 13.下图是某几何体的三视图,其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是_________.

a?b?c a 3 b 2 的最小值为 x ? x ? cx ? d (a ? b) 在 R 上单调递增,则 b-a 3 2 B.3 C.4 D.9



14.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过右焦点 F2 的直线 l 交双 16 9

曲线的右支于 A 、 B 两点,若 | AB |? 5 ,则 ?ABF1 的周长为 15 . 已 知 函 数 y ? x ? 4 ?

16 ( x ? ?1) , 当 x=a 时 , y 取 得 最 小 值 b , 则 x ?1

a ? b ? _________。
16.已知整数对的序列如下: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3) (3,2),(4,1),(1,5),(2,4) ??? 则第 57 个数对是______.

三、解答题 17.已知函数 f ( x) ?

1 3 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 3) ? sin ( x ? ), x ? R 4 2 4

(1)求函数 f ( x ) 的单调增区间: ( 2)设 ?ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c ,且 f ( B ) ? 求 ?ABC 的面积的最大值 18 如图所示,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形, 且 2PA=AD, E、F、G、H 分别是线段 PA、PD、CD、BC 的中点. (Ⅰ) 求证:BC∥平面 EFG; (Ⅱ) 求证:平面 FDH⊥平面 AEG; (Ⅲ) 求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比.

1 ,b ? 2 2

19. f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 的取值范围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 2 3 4 ? ? 4 9 ? n ?1 ? ln ? n ? 1? 都成立. n2

20.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ? 0, p ? ( p ? 0 ) , 直线 l : y ? ? p ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 x 轴的交点, 过 R 、 P 分别作直线 l1 、 l2 ,使 l1 ? PF , l2 ? l l1 (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l 上任取一点 M 做曲线 C 的两条切线,设切点为 A 、 B ,求证:直线 AB 恒过一定点; (3)对(2)求证:当直线 MA, MF , MB 的斜率存在时,直线 MA, MF , MB 的斜率的倒 数成等差数列. y . F O R

l2 ? Q .

l2 l 1


?


x

l

2013 高二文科数学暑假作业(二) 一、选择题 1-5 DAABA 6-10 CBBBA 11-12AB 二、填空题 13.

3? 6

14.26 15.6 16.(2,10) 三、解答题

17.解: (I)

f ? x? ?

1 4

?

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? 3 2? ? 3 ? cos 2 x ? ? -------------2 分 2 2

?

? 1 1? 3 1 ?? ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? ------------------------4 分 ? ? ? 2? 2 2 6? ? ? 2
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

可得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

, k ? z --------5 分

? ?? ? f ? x ? 的单调递增区间为: ? k? ? , k? ? ? , k ? z -------------------------6 分 6 3? ?
(II) f ? B ? ? 在

1 ?? ? ? ,? sin ? 2 B ? ? ? 1? B ? ------------------------8 分 2 6? 3 ?
中 , 由 余 弦 定 理 :

?ABC

4 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ----10 分
1 3 3 S?ABC ? ac sin B ? ac ? ?4 ? 3 2 4 4
所 以

?ABC















3

-----------------------------------------------12 分 18.解:(Ⅰ) ∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF………………………………………………… 2 分 ∵BC ? 平面 EFG,EF ? 平面 EFG,∴BC∥平面 EFG…………………………… 3 分 (Ⅱ) ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH……………………………… 5 分 ∵△ADG≌△DCH,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90°. ∴∠AGD+∠HDC=90°.∴DH⊥AG. 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG 又∵ DH ? 平面 DHF

∴平面 FDH⊥平面 AEG……………………………… 8 分

1 DG S AEF VE ? AFG VG ? AEF (Ⅲ) …………………………………………10 分 ? ? 3 VP ? ABCD VP ? ABCD 1 PA S ABCD 3 1 1 1 1 1 1 CD EF EA CD AD PA 1 2 2 2 2 =2 ?2 ? …………………………12 分 PA AD CD PA AD CD 16
19.解:(1) f ' ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, x?a

x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0,


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a

( 2 ) 由 a ?1 知

f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x2 ? x,



5 f ? x? ? ? x ? b , 得 2

ln ? x ? 1? ? x 2 ?

3 x ? b ? 0, 2 3 5 x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的 2 2

2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ?

实 数 根 等 价 于

? ? x ? ? 0 在 区 间 ?0, 2? 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 .

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?

当 x ? 0,1 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增;
'

? ?

当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.
'

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2
2 (3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ' ? x ? ?

?

?

? x ? 2 x ? 3? , ? x ? 1?

令f 调递增;

'

? x? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? 2 (舍去),
'

3

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单

当 x ? 0 时, f

? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ??? 上的最大值.

? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
故2?

3 4 ? ? 4 9

?

n ?1 3 4 ? ln 2 ? ln ? ln ? 2 n 2 3

? ln

n ?1 ? ln ? n ? 1? . … n

20.(1)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∴ PQ ? QF . 故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线, 其方程为: x ? 4 py( p ? 0) .
2

(2)设 M (m, ? p) ,两切点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 x ? 4 py 得 y ?
2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x. 4p 2p
1 x1 ( x ? x1 ) ① 2p

∴两条切线方程为 y ? y1 ?

y ? y2 ?

1 x2 ( x ? x2 ) ② 2p 1 2 1 x1 x1 (m ? x1 ) ,又 y1 ? 4p 2p

对于方程①,代入点 M (m, ? p) 得, ? p ? y1 ?

∴?p?

1 2 1 x1 ? x1 (m ? x1 ) 整理得: x12 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 4p 2p

2 同理对方程②有 x2 ? 2mx2 ? 4 p2 ? 0

即 x1 , x2 为方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 的两根. ∴ x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p2 ③

设直线 AB 的斜率为 k , k ?

2 y2 ? y1 x2 ? x12 1 ? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4 p

所以直线 AB 的方程为 y ?

x12 1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,展开得: 4p 4p

y?

xx m 1 x? p ( x1 ? x2 ) x ? 1 2 ,代入③得: y ? 2p 4p 4p

∴直线恒过定点 (0, p ) . (3) 证明:由(2)的结论,设 M (m, ? p) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且有 x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?4 p2 , ∴ kMA ?

y1 ? p y ?p , kMB ? 2 x1 ? m x2 ? m



1 1 ? ? ? x1 ? m ? x2 ? m ? x1 ? m ? x2 ? m ? 4 p( x1 ? m) ? 4 p( x2 ? m) kMA kMB x2 2 y1 ? p y2 ? p x12 x12 ? 4 p 2 x2 2 ? 4 p 2
4p ?p 4p ?p

4 p( x1 ? m) 4 p( x2 ? m) 4 p( x1 ? m) x2 ? 4 p( x2 ? m) x1 4 pm 4 pm m ? 2 ? ? ? ?? 2 2 x1 ? x1 x2 x2 ? x1 x2 x1 x2 ( x1 ? x2 ) x1 x2 ?4 p p 1 m m 1 1 2 又∵ ,所以 ? ?? ? ? kMA kMB kMF kMF ? p ? p 2p
= 即直线 NA, NM , NB 的斜率倒数成等差数列.


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