高中数学 1.1.1集合的含义与表示同步测试 新人教A版必修1

第一章
一、选择题

1.1

1.1.1 集合的含义与表示
基础巩固

1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程 x -2=0 的实数解”中,能 够构成集合的是( A.② C.②③ [答案] C [解析] 高一数学中的难题的标准不确定,因而构不成集合,而正三角形标准明确,能 构成集合,方程 x -2=0 的解也是确定的,能构成集合,故选 C. 2.已知集合 A={x|x≤10},a= 2+ 3,则 a 与集合 A 的关系是( A.a∈A C.a=A [答案] A [解析] 由于 2+ 3<10,所以 a∈A. 3.(2015·山东临沂检测)集合{x∈N |x-2<3}的另一种表示形式是( A.{0,1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} [答案] B [解析] 由 x-2<3,得 x<5,又 x∈N ,所以 x=1,2,3,4,即集合的另一种表示形式 是{1,2,3,4}.
? ?3x+y=2 4.方程组? ?2x-3y=27 ?
* * 2

2

) B.③ D.①②③

)

B.a?A D.{a}∈A

)

B.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}

的解集是(

)

A.?

? ?x=3 ?y=-7 ?

B.{x,y|x=3 且 y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3 且 y=-7} [答案] D
? ?3x+y=2 [解析] 解方程组? ?2x-3y=27 ?

得?

? ?x=3 ?y=-7 ?



用描述法表示为{(x,y)|x=3 且 y=-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选 D. 5.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )

A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] D

B.直角三角形 D.等腰三角形

[解析] 由集合中元素的互异性知 a,b,c 互不相等,故选 D. 6. 已知集合 A 是由 0, m, m -3m+2 三个元素组成的集合, 且 2∈A, 则实数 m 的值为( A.2 C.0 或 3 [答案] B [解析] 因为 2∈A,所以 m=2 或 m -3m+2=2,解得 m=0 或 m=2 或 m=3.又集合中 的元素要满足互异性,对 m 的所有取值进行一一检验可得 m=3,故选 B. 二、填空题 7.用符号∈与?填空: (1)0________N ; 3________Z; 0________N;(-1) ________N ; 4 3+2________Q; ________Q. 3 (2)3________{2,3};3________{(2,3)}; (2,3)________{(2,3)};(3,2)________{(2,3)}. (3)若 a =3,则 a________R,若 a =-1,则 a________R. [答案] (1)? ? ∈ ∈ ? ∈ (2)∈ ? ∈ ? (3)∈ ?
2 2 0 * * 2 2

)

B.3 D.0 或 2 或 3

[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别. (2)中 3 是集合{2,3} 的元素;但整数 3 不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺 序不同,(3,2)不是集合{(2,3)}的元素.(3)平方等于 3 的数是± 3,当然是实数,而平方 等于-1 的实数是不存在的. 8.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________.
? ? ?

b a

?

[答案] 2 [解析] 显然 a≠0,则 a+b=0,a=-b, =-1,所以 a=-1,b=1,b-a=2. 三、解答题 9.已知集合 A 含有 a-2,2a +5a,12 三个元素,且-3∈A,求 a 的值. [解析] ∵-3∈A,则-3=a-2 或-3=2a +5a, 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a +5a=-3,不满足集合中元素的互异性,∴a=-1 舍去.
2 2 2

b a

3 3 当 a=- 时,经检验,符合题意.故 a=- . 2 2 [注意] (1)分类讨论意识的建立.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时,要 有分类讨论的意识, 如本例按照元素-3 与 a-2,2a +5a,12 的关系分类 , 即可做到不重不 漏. (2)注意集合中元素的互异性.求解与集合有关的字母参数时,需利用集合元素的互异 性来检验所求参数是否符合要求, 如本例在求出 a 的值后, 需代入验证是否满足集合中元素 的互异性. 10.已知集合 A={x|ax -3x+2=0}. (1)若 A 是单元素集合,求集合 A; (2)若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围. [分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题.(1)集合 A 为单元素集合,说明方程 有唯一根或两个相等的实数根.要注意方程 ax -3x+2=0 可能不是一元二次方程.(2)至 少有一个元素,说明方程有一根或两根. 2 2 [解析] (1)因为集合 A 是方程 ax -3x+2=0 的解集,则当 a=0 时,A={ },符合题 3 意; 当 a≠0 时,方程 ax -3x+2=0 应有两个相等的实数根, 9 4 则 Δ =9-8a=0,解得 a= ,此时 A={ },符合题意. 8 3 2 9 4 综上所述,当 a=0 时,A={ },当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (2)由(1)可知,当 a=0 时,A={ }符合题意; 3 当 a≠0 时,要使方程 ax -3x+2=0 有实数根, 9 则 Δ =9-8a≥0,解得 a≤ 且 a≠0. 8 9 综上所述,若集合 A 中至少有一个元素,则 a≤ . 8 [点评] “a=0”这种情况容易被忽视,如“方程 ax +2x+1=0”有两种情况:一是 “a=0”, 即它是一元一次方程; 二是“a≠0”, 即它是一元二次方程, 只有在这种情况下, 才能用判别式“Δ ”来解决. 能力提升 一、选择题 1.(2015·河北衡水中学期末)下列集合中,不同于另外三个集合的是( A.{x|x=1} B.{x|x =1}
2 2 2 2 2 2 2

)

C.{1} [答案] B

D.{y|(y-1) =0}

2

[解析] {x|x =1}={-1,1},另外三个集合都是{1},选 B. 2.下列六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(- 1,2);⑤{(-1,2)}; ⑥{(x,y)|x=-1 或 y=2}.
? ?2x+y=0, 能表示方程组? ?x-y+3=0 ?

2

的解集的是(

) B.②③④⑤ D.②⑤⑥

A.①②③④⑤⑥ C.②⑤ [答案] C [解析] 方程组?
? ?2x+y=0, ?x-y+3=0 ?

的解是?

? ?x=-1, ?y=2. ?

故选 C.

x y z |xyz| 3.已知 x,y,z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M, |x| |y| |z| xyz
则下列判断正确的是( A.0?M C.-4?M [答案] D [解析] 当 x>0,y>0,z>0 时,代数式的值为 4,所以 4∈M,故选 D. 4.设 A,B 为两个实数集,定义集合 A+B={x|x1+x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3}, ) B.2∈M D.4∈M

B={2,3},则集合 A+B 中元素的个数为(
A.3 C.5 [答案] B

) B.4 D.6

[解析] 当 x1=1 时,x1+x2=1+2=3 或 x1+x2=1+3=4;当 x1=2 时,x1+x2=2+2 = 4 或 x1+ x2= 2+3=5;当 x1= 3 时, x1 +x2=3+2= 5 或 x1+ x2=3+3= 6.∴A+ B= {3,4,5,6},共 4 个元素. 二、填空题 5.已知 P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范 围是________. [答案] {k|5<k≤6} [解析] x 只能取 3,4,5,故 5<k≤6.

3 6.(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{ ∈Z|x∈Z}=________. 3-x [答案] {-3,-1,1,3} [解析] ∵ 3 ∈Z,x∈Z, 3-x

∴3-x 为 3 的因数. ∴3-x=±1,或 3-x=±3. ∴ 3 3 =±3,或 =±1. 3-x 3-x

∴-3,-1,1,3 满足题意. 三、解答题 1+a 1 7.数集 A 满足条件:若 a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,求集合中的其他元素. 1-a 3 1+a 1 1+a [分析] 已知 a∈A, ∈A,将 a= 代入 即可求得集合中的另一个元素,依次, 1-a 3 1-a 可得集合中的其他元素. 1 1+ 3 1 1+2 [解析] ∵ ∈A,∴ =2∈A,∴ =-3∈A, 3 1 1-2 1- 3 1 1- 2 1 1-3 1 ∴ =- ∈A,∴ = ∈A. 1+3 2 1 3 1+ 2 1 1 故当 ∈A 时,集合中的其他元素为 2,-3,- . 3 2 8.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合 A={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含 3 个元素的可倒数集. 1 [解析] (1)由于 2 的倒数为 不在集合 A 中,故集合 A 不是可倒数集. 2 1 1 (2)若 a∈A,则必有 ∈A,现已知集合 A 中含有 3 个元素,故必有一个元素有 a= ,即

a

a

a=±1,故可以取集合 A={1,2, }或{-1,2, }或{1,3, }等.

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