高中数学课件第十节 变化率与导数、导数的计算_图文

第十节 变化率与导数、导数的计算

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第十节

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念
(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:

Δy 如果当 Δx→0 时, →常数 A,就说函数 y=f(x)在 x0 处可 Δx 导,并把 A 叫做 f(x)在点 x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0.
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(2)导数的几何意义:

函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x) 上点 P(x0,y0)处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对时 间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) .

(3)函数 f(x)的导函数:
如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,其导数值在 (a,b)内构成一个新的函数,叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函 数,记作 f′(x);
(4)瞬时速度是位移函数 S(t)对时间 t 的导数, 即 v(t)=S′(t); 瞬时加速度是速度函数 v(t)对时间 t 的导数,即 a(t)=v′(t).
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2.基本初等函数的导数公式

(sin x)′= Cos x , (cos x)′=-sin x , (ax)′= axln a , 1 1 x (e )′= ex,(logax)=, xln a (ln x)′= x .
3.导数的运算法则 g′(x) ; (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)±

(2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ?

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? [g?x?]2 (g(x)≠0).

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4.复合函数的导数
复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数

ux ′ 间的关系为 yx′= yu′· ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的
导数 与 u 对 x 的导数的乘积.

若 y=f(u),u=ax+b,则 y′x=f′(u)· ux′,即 y′x =f′(u)· a.

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1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号,防止与乘法公式混淆.

2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点 的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.

3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

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[试一试]

1.(2014· 南通期末)曲线 C:y=xln x 在点 M(e,e)处的切线方程 为__________________.
解析:因为 y′=ln x+1,故点 M(e,e)处的切线的斜率为 2,所求切线方程为 y=2x-e.

答案:y=2x-e

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2.(2014· 苏州质检)过坐标原点作函数 y=ln x 图像的切线, 则切线斜率为________.
1 解析:设切点为(x0,y0),因为 y′=x,所以切线方程为 y 1 -y0= (x-x0).因为切线过原点,故 y0=1.又 y0=ln x0, x0 1 得 x0=e,所以所求斜率为 . e 1 答案: e
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[典例]

求下列函数的导数.

x e +1 2 (1)y=x sin x;(2)y= x ;(3)y=ln(2x-5). e -1

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[ 解]

(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.

?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2 (3)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5
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[类题通法]

1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
2.有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利 用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以 避免使用商的求导法则,减少运算量.

3.复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中 间变量,确定复合过程,然后求导.

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[针对训练]
已知 f(x)=sin 2x, 记 fn+1(x)=fn′(x)(n∈N ), 则
?π? ?π? +?+f2 013?6 ?+f2 014?6 ?=________. ? ? ? ?
*

?π? ?π? f1?6 ?+f2?6 ? ? ? ? ?

解析:由题意,可知f2(x)=f1′(x)=(sin 2x)′=2cos 2x; f3(x)=f2′(x)=(2cos 2x)′=-4sin 2x; f4(x)=f3′(x)=(-4sin 2x)′=-8cos 2x; f5(x)=f4′(x)=(-8cos 2x)′=16sin 2x; ?
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故 f4k+1(x)=24ksin 2x,f4k+2(x)=24k 1cos 2x,f4k+3(x)=-24k




2

sin 2x,f4k+4(x)=-24k+3cos 2x(k∈N).
?π? ?π? ?π? f1?6 ?+f2?6 ?+?+f2 014?6 ? ? ? ? ? ? ?

所以 =2 2 2
3 0

? ? ? π? π? π? 1 2 sin?2×6 ?+2 cos?2×6 ?-2 sin?2×6 ?- ? ? ? ? ? ?

? ? ? π? π? π? 4 2 010 cos?2×6 ?+2 sin?2×6 ?+?-2 sin?2×6 ?- ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? π? π? 2 012 2 013 cos?2×6 ?+2 sin?2×6 ?+2 cos?2×6 ? ? ? ? ? ? ?

2 011

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=(2 -2 +2 -2 +?+2 +2 -2 +?+2
5 7 2 009

0

2

4

6

2 008

-2

2 010

+2

2 012

π )sin +(21-23 3

-2

2 011

+2

2 013

π )· cos 3

2 1 007 1×[1-?-22?1 007] 3 2×[1-?-2 ? ] 1 = × + × 2 2 2 2 1-?-2 ? 1-?-2 ? 2 014 1+22 014 3 2×?1+2 ? 1 = × + × 5 2 5 2

? 3+2??1+22 014? = 10
? 3+2??1+22 014? 答案: 10
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导数的几何意义是每年高考的重点,求解时应把握导 数的几何意义是切点处切线的斜率,利用这一点可以解决 有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有:
?1?求切线方程;
?2?求切点坐标;
?3?求参数的值.

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角度一

求切线方程

1.(2014· 镇江统考)已知函数 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方 程为 y=2x-1,则函数 g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切 线方程为________.
解析:因为 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=2x-1, 所以 f′(2)=2,f(2)=3.g(2)=22+f(2)=7,即点(2,g(2)) 为(2,7), 由 g(x)=x2+f(x)得 g′(x)=2x+f′(x), 所以 g′(2) =4+f′(2)=6,所以 g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线 方程为 y-7=6(x-2),即 6x-y-5=0.
答案:6x-y-5=0
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角度二

求切点坐标

2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________.
解析:由题知,k=f′(x)=3x2-10=2(x<0),解得 x=-2, 所以 y=(-2)3-10×(-2)+3=15,所以点 P 的坐标为(- 2,15).

答案:(-2,15)
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角度三 求参数的值 3. (2014· 苏锡常镇二调)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(0,1)
在曲线 C:y=x3-x2-ax+b(a,b 为实数)上,已知曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y=2x+1, 则 a+b=________.

解析:由 P(0,1)在曲线 C:y=x3-x2-ax+b 上,且点 P 处 的切线方程为 y=2x+1,对曲线 C 关于 x 求导得 y′=3x2 - 2x - a ,令
? ? a=-2, ? ? ?b=1,
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? ?f?0?=1, y = f(x) ,则 ? ? ?f′?0?=2,

? ?b=1, 即? ? ?-a=2,

解得

所以 a+b=-1.
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答案:-1
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[类题通法]
导数的几何意义是切点处切线的斜率, 应用时主要体现在以下几 个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值: k=

f′(x0);
(2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k;

(3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需 f?x1?-f?x0? 设出切点 A(x0,f(x0)),利用 k= 求解. x1-x0

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[课堂练通考点]
1.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率 为 8,则 a=________.

解析:y′=4x3+2ax,由导数的几何意义知在点(-1,a +2)处的切线斜率 k=y′|x=-1=-4-2a=8,解得 a=-6.
答案:-6

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2.已知f(x)=x(2 012+ln x),f′(x0)=2 013,则x0=_______. 1 解析:由题意可知f′(x)=2 012+ln x+x· x =2 013+ln
x.由f′(x0)=2 013,得ln x0=0,解得x0=1.

答案:1 3.若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k

的最小值为4,则此时该切点的坐标为________ 解析:y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意
a 义知y′=2x+ x ≥2 2a =4,则a=2,当且仅当x=1时等号 成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1). 答案:(1,1)
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4.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)=________.

解析:∵f′(x)=2x+2f′(1), ∴f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=-2. ∴f′(x)=2x-4.∴f′(0)=-4.
答案:-4

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5.(2014· 苏北四市统考)已知曲线f(x)=xsin

?π π ? x+1在点?2,2+1? ? ?

处的切线与直线ax+y+1=0互相垂直,则实数a=______.
解析:f′(x)=sin x+xcos 1 =1=a,所以a=1. 答案:1
?π? π π π ? ? x,由题意f′ 2 =sin + cos 2 2 2 ? ?

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6.(2013· 扬州期末)已知函数f(x)=xln x. (1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)≥-x2+ax-6在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取 值范围;
? 1 ? ?- 2,0? ? e ?

(3)过点A 程.

作函数y=f(x)图像的切线,求切线方

解:(1)f′(x)=ln x+1. 1 令f′(x)<0得ln x<-1,所以0<x< , e
? 1? 故函数f(x)的单调减区间是?0,e ?. ? ?
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6 (2)因为f(x)≥-x +ax-6,x>0,所以a≤ln x+x+ x .设
2

6 g(x)=ln x+x+x,则 x2+x-6 ?x+3??x-2? g′(x)= = . x2 x2 当x∈(0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. 所以g(x)的最小值为g(2)=5+ln 2,故实数a的取值范围 是(-∞,5+ln 2].
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(3)设切点T(x0,y0),则kAT=f′(x0), x0ln x0 所以 =ln x0+1,即e2x0+ln x0+1=0. 1 x0+ 2 e 1 设h(x)=e x+ln x+1,当x>0时,h′(x)=e + x >0,所以h(x)
2 2

是单调递增函数,故h(x)=0最多只有一个根.
?1? 1 2 又h?e2?=e ·2+ln e ? ?

1 1 +1=0,所以x0= 2, e2 e

1 所以f′(x0)=-1,所以所求切线方程为x+y+ 2=0. e
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“课下提升考能”见“课
时跟踪检测(十三)”(进
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