第一章 习题课-函数、极限与连续_图文

第一章 函 数 、 极 限 与 连 接 (一) (二) (三) (四) 本章内容小结 常见问题分类及解法 思 课 考 堂 题 练 习

(一) 本章内容小结
一、本章的主要内容
函数的定义;函数的几种特性;复合函数、反函数 与初等函数的概念;数列与函数极限的定义;极限的运 算法则;无穷小与无穷大的概念;两个重要极限;无穷 小的比较;函数在点与区间的连续性及间断性;闭区间 上连续函数的性质。

二、几个常用的基本极限
(  lim (1)  c=c, (c为常数); 2)  x = x0 ;   lim
x → x0 (x→∞ )

x→∞

1 (  lim = 0 ; 3)  x→∞ x

(  lim 4) 

1 = 0,(α 为正的常数) ; α x →∞ x

? a0 ? b ,当n = m m m -1 ? 0 a0 x +a1 x + ? +am ? (  lim 5)  = ?0, 当n > m n n -1 x →∞ b x +b x +? +bn 0 1 ?∞, 当n < m ? ? ? (其中a0、a1、 、am和b0、b1、 、bn都是常数,且a0 ≠ 0,b0 ≠ 0); ? ?

(  lim 6) 

sin x tan x 1 = 1 ;(  lim 7)  = 1 ; 8)  ?1+ ? = e ; (  lim ? ? x →0 x →0 x →∞ x x x? ?
1 t t →0

x

x (10)  (  lim (1+t ) = e ;   lim q = 0 ( | q |< 1 ) . 9)  x →+∞

三、几个充要条件
时α → 0 ? ?当x → x0 (1)  f ( x) = A ? f ( x) = A + α ?   lim ? ; x→ x ? ( x → ∞) ? (x→∞ )
0

(  lim f ( x) = A ? lim f ( x) = lim f ( x) = A ; 2) 
x → x0 x → x0 + 0 x → x0 ? 0

(  lim f ( x) = A ? lim f ( x) = lim f ( x) = A ; 3) 
x →∞ x →+∞ x →?∞

(  lim f ( x) = f ( x0 ) ? lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) . 4) 
x → x0 x → x0 ? 0

要 : 四、重 关系重 在某

续 点,连 ? 有 限 ? 有定 极 义

x → x0 + 0

表 四、 1-1 给出了当 x → ∞ 和 x → x0 时函数的极限 与由此引申 与由此引申出来的有关概念之间的关系
表 1-1 f ( x) = A + a
x → x0 ( x →∞ )

无穷大 lim f ( x) = ∞
有 倒 数 关 系
无穷

x → x0 ( x → ∞)

a→0
x→∞ x →∞

lim f ( x) = A

f ( x) ≠ 0

x → x0 ( x →∞ )

lim f ( x) = A(

)
x → x0

lim f ( x) = A

x → x0 ( x →∞ )

lim

1 =0 f ( x)

x → x0 + 0

lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0 ? 0

lim f ( x) = f ( x0 )

续表

数列的极限 lim xn = A
n →∞

lim(1 + z ) = e
z →0

1 z

x=
x →+∞ x →∞

lim f ( x) = A

1 z
x

lim f ( x) = A
x →?∞

lim f ( x) = A

? 1? lim ?1 + ? = e x →∞ ? x?

x → x0

lim f ( x ) = A

x → x0 + 0

右极限 lim f ( x) = A 左极限 lim f ( x) = A

lim

sin x =1 x →0 x

x → x0 ? 0

x → x0

点连续 lim f ( x) = f ( x0 )

五、表 1-2 列出了函数 y = f ( x ) 的点连续与区间连续 的概念
表 1-2









(1) 如果 lim ?y = 0 或 lim f ( x) = f ( x0 )
?x → 0 x → x0

那么 y = f ( x) 在点 x0 连续 那么 y = f ( x) 在 (a, ) 内连续 b 那么 y = f ( x) 在 [a, ] 上连续 b

(2) 如果 y = f ( x) 在 (a,b) 内每一点连续 (3) 如果 y = f ( x) 在 (a,b) 内连续, 且
x →b ? 0

lim f ( x) = f (b), lim f ( x) = f (b)
x→a +0

六、本章关键词
函数 极限 连续

(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函数的定义域就是指使函数有意义的自变量 x 的取值 范围. 判断函数有意义的方法有以下几种:
①分式的分母不等于零; ②偶次方根式中,被开方式大于等于零; ③含有对数的式子,真数式大于零; ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1; ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;
⑥若已知 y = f ( x) 的定义域是[ a, b] ,求 y = f [? ( x)] 的定 义域,方法是解不等式组 a ≤ ? ( x) ≤ b .

例1 求下列函数的定义域: 1 (1)y = + arccos(3 x ? 18) ; 2 x ? 3x + 2 ln(5 x ? 2) (2)y = 2 + 10 ? x . x ? 7 x + 10 解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义,即求解不 等式组。 (1)若使函数有意义,必须

? x < 1或x > 2 ? x 2 ? 3x + 2 > 0 ? ,解得 ?17 ? 19 , ?| 3 x ? 18 |≤ 1 ? 3 ≤x≤ 3 ?

17 19 故 求 数 义 为 [ , ]; 所 函 定 域 3 3

(2)若使函数有意义,必须 2 ? ?x > 5 ?5 x ? 2 > 0 ? ? 2 x ? 7 x + 10 ≠ 0,解得 ? x ≠ 2, x ≠ 5, ? ?10 ? x ≥ 0 ? x ≤ 10 ? ? ? 2

故 求 数 义 为 {x | 所 函 定 域
例2

5

< x ≤ 10, x ≠ 2, x ≠ 5}.

已知函数 y = f ( x ) 的定义域为[2, 5], 求函数 y = f (4 x ? 3) 的定义域。
由已知得 2 ≤ 4 x ? 3 ≤ 5 ,即



5 ≤ x ≤ 2, 4

5 故 求 数 义 为 [ ,2]; 所 函 定 域 4

二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定,因 此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同,且要 判断函数表达式是否统一即可。 例3 判断下列各对函数是否相同? x 1 | x| (1) f ( x) = cos 2 与g ( x) = (1 + cos x) ; (2) f ( x) = 与g ( x ) = 1 . 2 2 x 解 利用定义域和对应法则来判断。 x 1 (1)因为f ( x) = cos 2 的定义域是一切实数,而g ( x) = (1 + cos x) 2 2 的定义域也是一切实数,所以f ( x)与g ( x)具有相同的定义域;又 1 2 x 因为f ( x) = cos = (1 + cos x) = g ( x), 即f ( x)与g ( x)具有相同的对 2 2 应法则,所以f ( x)与g ( x)是相同的函数;

| x| (2)因为f ( x) = 定义域是x ≠ 0的一切实数,而g ( x) = 1的定义域 x 是一切实数,所以f ( x)与g ( x)不是相同的函数。

三、判断函数奇偶性
判断函数的奇偶性,主要的方法就是利用定义,其次是利 用奇偶的性质,即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数;两个奇函 数之积是偶函数;两个偶函数之积仍是偶函数;一奇一偶之积 是奇函数。

例4 判断下列函数的奇偶性:

a x ?1 (1) f ( x) = x ( a > 0且a ≠ 1) ; f ( x) = x 3 (2 x 2 + tan x 2 ) 。 (2) a +1
解 (1) 用定义判断
a? x ?1 1 ? a x a x ?1 因为 f (? x) = ? x = =? x = ? f ( x), x a +1 1+ a a +1 a x ?1 所以 f ( x) = x 是奇函数; a +1

(2) 用性质判断

因为x3是奇函数,2 x 2 + tan x 2是偶函数, 所以 f ( x) = x 3 (2 x 2 + tan x 2 )是奇函数。

四、函数、数列极限的求法 函数、
利用极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。 1. 若数列通项的分子、分母都是关于n的多项式,则用分子 分母中n的最高次项的幂函数数同除分子分母,然后由四 则运算法则求极限。 例5 求下列数列极限:
n 2 + 2n + 5 2n 2 + n ? 1 (1) lim 3 ; (2) lim 2 ; n →∞ n + 3n 2 + 5n ? 3 n →∞ 5n + 3n ? 4

(3) lim

n +1 n + 3n ? 2
2

n →∞

.



1 2 5 + 2+ 3 (1) 原式 = lim n n n = 0 ; n →∞ 3 5 3 1+ + 2 ? 3 n n n 1 1 2+ ? 2 n n =2 ; (2) 原式 = lim n →∞ 3 4 5+ ? 2 5 n n 1 1+ n (3) 原式 = lim =1 . n →∞ 3 2 1+ ? 2 n n

此法也适用于求函数极限。如P35.7.(10)(11)(12)

2、若通项中含有根式,一般采用先分子或分母有理化,再求 极限的方法。

例6 求 lim( n 2 + n ? n 2 ? 1) 。
n →∞

解 对通项式有理化得
原式 = lim ( n 2 + n ? n 2 ? 1)( n 2 + n + n 2 ? 1) n2 + n + n2 ? 1

n →∞

= lim

n +1 n2 + n + n2 ? 1

n →∞

= lim

1+

1 n

n →∞

2x + 1 ? 3 P36.12.(2) lim x→4 x?2 ? 2

1 1 1+ + 1? 2 n n

=

1 。 2

3、若所求极限是无穷项之和,通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和,再求极限。

? 1 1 1 n 1 ? 例7 求 lim ?1 ? + 2 ? 3 + ? + (?1) n ? n→∞ 2 ? ? 2 2 2 1 解 先求由a1 = 1,q = ? 所构成的等比数列的前n + 1项和, 2 再求极限,
? ? 1 ?n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? = lim 2 ?1 ? (?1) n 1 ? = 2 原式 = lim ? n→∞ n→∞ 3 ? ? 1? 2n ? 3 ? ? 1? ? ? ? ? 2?

4、利用两边夹逼定理求数列极限,方法是将极限式中的每一项 放大或缩小,并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。

n n ? ? n + 2 +? + 2 例8 求 lim ? 2 ? n →∞ n + π n + 2π n + nπ ? ? 解 n n n n 因为 2 ≥ 2 (i = 1, 2,? , n), 2 ≤ 2 (i = 1, 2,? , n) n + iπ n + nπ n + iπ n + π n n n n n 所以 n 2 ≤ 2 + 2 +? + 2 ≤n 2 n + nπ n + π n + 2π n + nπ n +π
n2 1 n2 1 而 lim 2 = lim = 1, lim 2 = lim =1 n →∞ n + nπ n →∞ n →∞ n + π n →∞ π π 1+ 1+ 2 n n n n ? ? n 故 lim ? 2 + 2 +? + 2 ? = 1. n →∞ n + π n + 2π n + nπ ? ?

5. 若通项式为形如1∞ 形式的不定式,一般采用重要极限 ? 1? lim ?1 + ? = e 求极限。 n →∞ ? n? 例9 求下列极限: 1 ? ? (1) lim ?1 + ? n →∞ ? n +1 ? 解
n +3 n


n

? n+3? (2) lim ? ? . n →∞ n + 1 ? ?
n

? 1? 用重要极限 lim ?1 + ? = e 求极限. n →∞ ? n? 1 ? ? (1) 原式 = lim ? 1 + ? n →∞ n +1 ? ? 1 ? ? = lim ? 1 + ? n →∞ n +1 ? ?
n +1+ 2

n +1

1 ? ? i lim ? 1 + ? = e; n →∞ ? n +1 ?

2

n ? 2 ? ? ?? 1 + 2 ? (2) 原式 = lim ?1 + lim ? = n→∞ ?? ? n →∞ ? n +1 ? n +1 ? ? ?

n +1?1 2 2

? ? ? ?

? ?? 1 + 2 ? = lim ? ? n →∞ ?? n +1 ? ?

n +1 2

? 2 ? ? ? i ?1 + = e2 . ? n +1 ? ? ? ?
1 ? 2

2

函数极限的求法
函数的极限比数列的极限复杂,原因有两个,一是自变 量的变化过程多;二是函数式复杂;因此,求函数的极限首 先要观察自变量的变化和函数表达式,然后选择适当方法. 一般地,函数极限有以下几种求法:

① 数列极限的求法也适合求函数的极限. ② 利用函数的连续性求函数的极限,即若 f ( x ) 在 x = x0 处连续,则有 lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

例10



x +1 . 2 x →4 x + 5 x + 4 x +1 因为函数 2 在x = 4处连续, x + 5x + 4 求 lim x +1 1 所以 lim 2 = f ( 4) = . x →4 x + 5 x + 4 8

③ 若求分段函数在分界点处的极限,则利用极限存在的充 要条件求极限。即函数在某一点极限存在的充要条件是 函数在该点的左右极限存在且相等。

例11 已知

? x2 + 2 x ? 3 x ≤ 1 ? f ( x) = ?x ?1 1 < x < 3,求 lim f ( x ), f ( x ) . lim x →1 x →3 ?sin x + 1 x≥3 ?
解 在x = 1处,求f ( x )的左右极限
x →1?

lim f ( x ) = lim x 2 + 2 x ? 3 = 0, lim f ( x ) = lim ( x ? 1) = 0,
x →1?
x →1+ x →1+

(

)

所以 lim f ( x ) = 0;
x →1

在x = 3处,求f ( x )的左右极限
x →3?

lim f ( x ) = lim ( x ? 1) = 2,lim f ( x ) = lim ( sin x + 1) = sin 3 + 1,
x →3? x →3+ x →3+

因为 lim f ( x ) ≠ lim f ( x ), 所以 lim f ( x ) 不存在.
x →3? x →3+
x →3

④ 利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如 0 形式的不定式,并且极限式中含有三角函数,一般通 0 sin x 过三角函数的恒等变换再利用重要极限 lim =1 求 x →0 x 极限;若所求极限为形如 1∞ 形式的不定式,并且所求函 数易转化为 (1 + u )
x 1 u

? 1? 或 ?1 + ? ? u?

u

的形式,通常采用

? 1? lim ?1 + ? = e 求极限。 x →∞ ? x?

tan x ? sin x 12 例 . lim x→0 x

13 例 . lim(1+ cos x)
x→

sec x

π

2

⑤ 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量;有限个无 穷小量之积仍是无穷小量;有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。 例14 求下列函数的极限:
1 x2 + 2x ? 3 (1) lim x 2 sin x cos ; (2) lim . 2 x →0 x→2 x x ?4



(1) 利用无穷小量的性质求该极限,

1 因为当x → 0时,x 2, x均是无穷小量,而 cos 为有界变量, sin x 1 2 所以 lim x sin x cos = 0 ; x →0 x

(2) 利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。
因为当x → 2时,x 2 + 2 x ? 3 → 5,x 2 ? 4 → 0,

x2 ? 4 所以 lim 2 = 0, x→2 x + 2 x ? 3

x2 + 2 x ? 3 所以 lim = ∞,极限不存在。 2 x →2 x ?4

求极限的常用方法
1.利用连续性求极限 利用连续性求极限; 利用连续性求极限 2.消去零因子法(通分或有理化)求极限; 消去零因子法(通分或有理化)求极限 消去零因子法
P35.7.(4)(5);P36.12.(1)

3.无穷小因子分出法 即同除法 求极限 无穷小因子分出法(即同除法 求极限; 无穷小因子分出法 即同除法)求极限 4.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 5.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限; 利用左右极限求分段函数极限 6.利用两个重要极限; 利用两个重要极限; 利用两个重要极限 7.利用等价无穷小替换(乘除中用); 利用等价无穷小替换(乘除中用); 利用等价无穷小替换
主要是分界点、 主要是分界点、 无穷远点。 无穷远点。

8.利用极限存在准则求极限(夹逼) 利用极限存在准则求极限(夹逼) 利用极限存在准则求极限 9.其它方法如洛必达法则等 其它方法如洛必达法则等

六、判断函数连续性
利用函数连续性的等价定义,对于分段函数在分界点的连 续性,可用函数在某点连续的充要条件以及初等函数在其定义 域内是连续函数的结论等来讨论函数的连续性。

?2 ? e? x x<0 ? 0≤ x≤2 例15 讨论 f ( x ) = ?2 x + 1 ? x 2 ? 3x + 5 x ≥ 2 ? 续性.

在x = 0,x = 2处的连

解 由已知x = 0,x = 2均是分界点.
在x = 0处 lim f ( x ) = lim 2 ? e ? x = 1, f ( x ) = lim ( 2 x + 1) = 1, lim 而f ( 0 ) = 1, 所以f ( x ) 在x = 0处连续;
x → 2? x → 2?
x →0? x → 0? x →0+ x →0+

(

)

在x = 2处 lim f ( x ) = lim ( 2 x + 1) = 5,
x → 2+

lim f ( x ) = lim x 2 ? 3 x + 5 = 3,
x → 2+

(

)

所以 lim f ( x ) 极限不存在,故f ( x ) 在x = 2处不连续.
x →2

(三) 思考题
1、讨论分段函数连续性的关键是什么? 答 案 2、奇、偶函数有何性质? 答 案

3、函数的极限比数列的极限复杂,为什么? 答 案 4、无穷小与无穷大是什么关系? 答 案

(四) 课堂练习题
2n 2 + 1 1、求 lim 2 . n →∞ 3n + 2n ? 1 答 案 答 案 答 案 2 1? x
2

? 1? 2、求 lim ? 1 + ? . n →∞ ? n?
ex ?1 3、求 lim . x→0 2sin x 4、求函数 y =

n +1

的连续区间.

答 案

1、是着重讨论分段函数的分界点的连续性. 返 回

2、奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数;两个奇函数之积是偶 函数;两个偶函数之积仍是偶函数;一奇一偶之积是奇 函数. 返 回

3、首先是因为自变量的变化过程多;其次是因为函数式 复杂. 返 回

4、互为倒数. 返 回

1、解:

1 2+ 2 2n 2 + 1 2 n lim 2 = lim = . n →∞ n →∞ 2 1 3n + 2n + 1 3+ ? 2 3 n n 返 回

2、解:
? 1? lim ?1 + ? n →∞ ? n?
n +1

? 1? ? 1? = lim ? 1 + ? ilim ?1 + ? = e. n →∞ ? n ? n→∞ ? n ?
返 回

n

3、解:
∵ x → 0时, e x ? 1 ? x,sin x ? x;

ex ?1 x 1 ∴ lim = lim = . x →0 x →0 2sin x 2x 2





4、解:
由初等函数在其定义域内连续可知,函数 y = 的定义域为 x ∈ R 且 x ≠ ±1 . 2 1 ? x2

所以函数的连续区间为

( ?∞, ?1) ∪ ( ?1,1) ∪ (1, +∞ ) .
返 回

1.利用连续性求极限 利用连续性求极限; 利用连续性求极限
处连续,则有 lim f ( x ) = f ( x0 ) . x→ x x +1 例10 求 lim 2 . x →4 x + 5 x + 4 x +1 因为函数 2 在x = 4处连续, x + 5x + 4
0

② 利用函数的连续性求函数的极限,即若 f ( x ) 在 x = x0

x +1 1 所以 lim 2 = f ( 4) = . x →4 x + 5 x + 4 8

例12 求 lim

sin 7 x . x →0 arcsin 5 x

0 解 因为已知极限为 形式不定式,且含有三角函数,则有 0 sin 7 x 5x 7x 原式 = lim × × x →0 7 x arcsin 5 x 5 x

sin 7 x sin ( arctan 5 x ) 7 7 = lim × × lim = . x →0 7 x x →0 5 arcsin 5 x 5
例13 求 lim ( cos x )
x →0 1 cos x ?1 ∞

.
1 x x →0

解 因为所求极限为1 形式不定式,由lim (1 + x ) = e 得

原式 = lim ?1 + ( cos x ? 1) ? ? ?
x →0

1 cos x ?1

= e.


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