2.不等式的证明_图文

第二节：不等式的证明
考纲要求： 1、通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法：比较法、综合法、分析法； 2、(供部分省选用)了解柯西不等式的几种 不同形式，理解其几何意义，能够利用均 值不等式、柯西不等式求一些特定函数的 极值。

比较法证明不等式
例 1：已知 a ? 0, b ? 0 ，求证：
a b ? b a ? a? b

法1：作差比较法(与0比较) 法2：作商比较法(与1比较)

综合法——“由因导果” 即从“已知”看“可知”，逐步推向“结 论”。
例 2 ： (2013 新课标全国卷 2) 设 a, b, c 均为正数，且 a ? b ? c ? 1 ，求证： 1 a 2 b2 c 2 (1)ab ? bc ? ac ? ； (2) ? ? ? 1 3 b c a
(1) ? a 2 ? b2 ? 2ab, b2 ? c 2 ? 2bc, a 2 ? c 2 ? 2ac ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac
?1 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? ab ? bc ? ac 1 ? ab ? bc ? ac ? 3

?(a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 1

综合法——“由因导果” 即从“已知”看“可知”，逐步推向“结 论”。
例 2 ： (2013 新课标全国卷 2) 设 a, b, c 均为正数，且 a ? b ? c ? 1 ，求证： 1 a 2 b2 c 2 (1)ab ? bc ? ac ? ； (2) ? ? ? 1 3 2 b c a 2 2
a b c (2) ? ? b ? 2a , ? c ? 2b, ? a ? 2c b c a a 2 b2 c 2 ? ( ? ? ) ? (a ? b ? c ) ? 2(a ? b ? c ) b c a a 2 b2 c 2 又?a ? b ? c ? 1 ? b ? c ? a ? 1

分析法——执果索因

例 3： (2015 郑州质检)若实数 x , y , z 满足 | x ? m |?| y ? m | ， 则称 x 比 y 远离 m 。 (1)若 x 2 ? 1 比 1 远离 0，求 x 取值范围； (2) 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数 a , b ， 证 明 ： a 3 ? b 3 比
a b ? ab 远离 2ab ab
2 2

?| a ? b ? 2ab ab |?| a b ? ab ? 2ab ab |
3 3 2 2

? (a a ? b b )2 ? (a b ? b b )2
? a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ? a 2 (a ? b) ? b2 (a ? b) ? 0 ? (a 2 ? b2 )(a ? b) ? 0 ? (a ? b)(a ? b)2 ? 0 a ? b, 上式成立

柯西不等式的应用