[k12精品]高中数学人教A版选修1-1习题:第三章导数及其应用3.3.3

k12 精品 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时过关·能力提升 基础巩固 1.函数 y=x-sin x,x∈ A.π-1 C.π B D.π+1 解析:∵y'=1-cos x,x∈ ≥0. ∴y=x-sin x . ∴当 x=π 时,ymax=π. 答案:C 2.函数 f(x)=4x-x4 在 x∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是( ) A.f(1)与 f(-1) B.f(1)与 f(2) C.f(-1)与 f(2) D.f(2)与 f(-1) 解析:f'(x)=4-4x3,由 f'(x)>0,得 x<1, 由 f'(x)<0,得 x>1,所以 f(x)=4x-x4 在 x=1 时取极大值 f(1)=3. 而 f(-1)=-5,f(2)=-8, 所以 f(x)=4x-x4 在[-1,2]上的最大值为 f(1),最小值为 f(2). 答案:B 3.函数 y=x3-3x+3 在区间[-3,3]上的最小值是( ) K12 精品文档学习用 k12 精品 A.1 B.5 C.12 D.-15 解析:y'=3x2-3,令 y'=0,得 3x2-3=0, 解得 x=1 或 x=-1. ∵当-1<x<1 时,y'<0; 当 x>1 或 x<-1 时,y'>0. ∴y 极小值=y|x=1=1,y 极大值=y|x=-1=5, 而端点值 y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴ymin=-15. 答案:D 4.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,则此函数在[-2,2]上的最小值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 解析:由 f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0, D.-11 解得 x=0 或 x=2. 因为 f(0)=m,f(2)=m-8,f(-2)=m-40, 所以 f(x)max=m=3,f(x)min=f(-2)=m-40=3-40=-37. 答案:A 5.设函数 f(x)=ax3+3bx(a,b 为实数,a<0,b>0),当 x∈[0,1]时,有 f(x)∈[0,1],则 b 的最大值是( ) A 答案:C 6.函数 f(x)=x2 解析:令 f'(x)=2x 也为最小值,f(x)min=27. x=-3,当 x<-3 时,f'(x)<0,当-3<x<0 时,f'(x)>0,故当 x=-3 时,f(x)取得极小值, K12 精品文档学习用 k12 精品 答案:27 7.函数 f(x) 解析:f'(x) f'(x)>0,得 x<1. ∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减. ∵f(0)=0,f(4) ∴f(x)在[0,4]上的最小值为 0. 答案:0 8.已知函数 f(x) ≥2 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由 f(x) x= )或 x x,得 f'(x) f(x)的定义域为(0,+∞),且 a>0,令 f'(x)=0,得 当 0<x ,f'(x)<0;当 x ,f'(x)>0,故 x f(x)的极小值点,也是最小值点,且 f a+1.要使 f(x)≥2 恒成立,需 ln a+1≥2 恒成立,则 a≥e. 答案:[e,+∞) 9.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+k,对任意 x∈[-4,4],f(x)≥0,求实数 k 的取值范围. 解:f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由 f'(x)=0,得 x=3 或 x=-1. ∵f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. ∴f(x)min=k-76.由 k-76≥0,得 k≥76. ∴k 的取值范围是[76,+∞). K12 精品文档学习用 k12 精品 10.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax (1)求 f(x)的最小值; (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y 解:(1)f(x)的导数 f'(x)=a 当x ,f'(x)>0,f(x) ; 当 0<x ,f'(x)<0,f(x) . 故当 x ,f(x)取最小值为 2+b. (2)f'(x)=a ,f'(1)=a 解得 a=2 或 a= ,舍去). 将 a=2 代入 f(1)=a 解得 b=-1.故 a=2,b=-1. 能力提升 1.函数 f(x)=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.12,-15 B.-4,-15 C.12,-4 D.5,-15 解析:f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令 f'(x)=0,得 x=-1 或 x=2. K12 精品文档学习用 k12 精品 因为 f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, 所以 f(2)<f(3)<f(0). 所以 f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15. 答案:D 2.已知 a≤ A.0 B.1 C.2 D.3 解析:设 f(x) x,则 f'(x) f'(x)=0,解得 x=1.当 x∈ ,f'(x)<0, 故函数 f(x) a≤0,即 a 的最大值为 0. ;当 x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]内单调递增,∴f(x)min=f(1)=0,∴ 答案:A 3.若函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( ) A.[0,1) B.(0,1) 解析:f'(x)=3x2-3a=3(x2-a). C.(-1,1) D 若 a≤0,则 f'(x)>0,即 f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值. 若 a>0,由 f'(x)>0,得 x f(x)在(0 , . ≥1,则 f(

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