17学年高中数学第2章参数方程2.2直线和圆的参数方程学业分层测评新人教B版选修4_41703110225

第 2 章 参数方程 2.2 直线和圆的参数方程学业分层测评 新人教 B 版选修 4-4 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x=3+4t ? ? 1.原点到直线? 3 y=- +3t ? 2 ? A.1 C.3 (t 为参数)的距离为( ) B.2 D.4 【解析】 消去 t,得 3x-4y-15=0, ∴原点到直线 3x-4y-15=0 的距离 d= |3×0-4×0-15| =3. 2 2 3+ - 【答案】 C 2.若曲线? ?x=1+cos 2θ ? ? ?y=sin θ 2 (θ 为参数),则点(x,y)的轨迹是( ) A.直线 x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1) +y =1 D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 【解析】 ∵x=1+cos 2θ =1+1-2sin θ =2-2sin θ =2-2y, 即 x+2y-2=0,又 y=sin θ , ∴0≤y≤1,∴选 D. 【答案】 D 3.(2010·天津高考)已知圆 C 的圆心是直线? 圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为( A.(x+1) +y =4 C.(x+1) +y =2 【解析】 由? ? ?x=t ?y=1+t ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ?x=t ?y=1+t ? (t 为参数)与 x 轴的交点,且 ) 2 2 B.(x-1) +y =2 D.(x-1) +y =4 得 x-y+1=0. 2 2 ∴圆心 C(-1,0), 又圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, 1 |-1+0+3| ∴r= = 2, 2 ∴圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 【答案】 C 4.直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆? 位于( ) B.第二象限 D.第四象限 ? ?x=a+rcos θ ? ?y=b+rsin θ 2 2 (θ 为参数)的圆心 A.第一象限 C.第三象限 【解析】 ∵直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,∴a<0,b>0,∴点(a,b)在第二 象限. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.圆的参数方程为? ?x=2+4cos θ ?y=- 3+4sin θ 4 (0≤θ <2π ),若圆上一点 P 对应参数 θ = 3 π ,则 P 点的坐标是________. 4 4 【解析】 当 θ = π 时,x=2+4cos π =0, 3 3 y=- 3+4sin π =-3 3, ∴点 P 的坐标是(0,-3 3). 【答案】 (0,-3 3) 6.已知直线 l:? 离是__________. 【解析】 直线 l 的普通方程为 ? ?x=t, ?y=t+1 ? 4 3 (t 为参数),圆 C:ρ =2cos θ ,则圆心 C 到直线 l 的距 y=x+1,即 x-y+1=0, ∵圆 C:ρ =2cos θ , ∴ρ =2ρ cos θ , ∴x +y -2x=0, ∴圆心为 C(1,0), ∴圆心到直线的距离为 d= = 2. |1-0+1| 1+1 2 2 2 2 【答案】 2 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) ? ?x= 7.已知曲线 C 的参数方程为? ? ? y= t- 1 t t 1 t+ (t 为参数).求曲线 C 的普通方程. 1 1 1 2 2 2 【解】 ∵x =t+ -2.∴x +2=t+ = y,∴y=3x +6.即所求曲线 C 的普通方程为 t t 3 y=3x2+6. π 2 8.已知圆的极坐标方程为 ρ -4 2ρ cos(θ - )+6=0. 4 (1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. π 2 【解】 (1)由 ρ -4 2ρ cos(θ - )+6=0 得 4 ρ -4ρ cos θ -4ρ sin θ +6=0, 即 x +y -4x-4y+6=0 为所求, 由圆的标准方程(x-2) +(y-2) =2, 令 x-2= 2cos α ,y-2= 2sin α , 得圆的参数方程为? (2)由(1)知, 2 2 2 2 2 ?x=2+ 2cos α ?y=2+ 2sin α (α 为参数). x+y=4+ 2(cos α +sin α ) π =4+2sin(α + ), 4 故 x+y 的最大值为 6,最小值为 2. 9.已知圆系方程为 x +y -2axcos φ -2aysin φ =0(a>0 且为已知常数,φ 为参数), (1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. 【解】 (1)由已知圆的标准方程为: (x-acos φ ) +(y-asin φ ) =a (a>0). 设圆心坐标为(x,y), 则? ? ?x=acos φ ?y=asin φ ? 2 2 2 2 2 (φ 为参数), 2 2 2 消参数得圆心的轨迹方程为 x +y =a . 3 ?x +y -2axcos φ -2aysin φ =0 ? (2)由方程? 2 2 2 ?x +y =a ? 2 2 得公共弦的方程:2axcos φ +2aysin φ =a , 圆 x +y =a 的圆心到公共弦的距离 d= 为定值. 2 ∴弦长 l=2 2 2 2 2 a a2- a 2 2 = 3a(定值). 4

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