2017_2018学年高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列课件北师大版选修2_3_图文

§2.1 离散型随机变量及其分布列 学 习 目 标 思 维 脉 络 1. 在对具体问题的分析中, 能 说出随机变量、离散型随机变 量的意义. 2. 能写出随机变量所取的值及 表示的随机试验的结果. 3. 能解决取有限值的离散型随 机变量的分布列的问题. 一、随机变量和离散型随机变量 1.我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一 个数,这种对应称为一个随机变量.通常用大写的英文字母如X,Y来 表示. 2.若随机变量的取值能够一一列举出来,则这样的随机变量称为 离散型随机变量. 名师点拨离散型随机变量的特征 (1)可以用数值表示; (2)试验之前可以判断其出现的所有值; (3)在试验之前不能确定取何值; (4)试验结果能一一列出. 【做一做1】 如果ξ是一个离散型随机变量,那么下列命题是假 命题的是( ) A.ξ取每一个可能值的概率是正实数 B.ξ取所有可能值的概率之和为1 C.ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概 率之和 解析根据随机变量分布列的性质可得. 答案D 二、离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量X的取值为a1,a2,…,随机变量X取ai的概率为 pi(i=1,2,…),记作:P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1)或把上式列成下表: X=ai P(X=ai) a1 p1 a2 p2 … … 上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列.显然pi>0,p1+p2+…=1. 如果随机变量X的分布列为上表或(1)式,我们称随机变量X服从这 一分布(列),并记为 X~ 1 2 … . 1 2 … 名师点拨1.0<pi(i=1,2,3,…,n)和p1+p2+…+pn=1是检验一个离散 型随机变量分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之 和是否等于1.还可利用这两个结论求出分布列中的未知参数. 2.分布列的结构为两行,第一行为随机变量的所有可能取得的值; 第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率.看每一列,实际 上是:上为“事件”,下为事件发生的概率. 【做一做2】已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ P 则k的值为( 1 k n ) 2 k n 3 k n … … n k n A.2 答案 B 1 B.1 C.2 D.3 解析由 + +…+ =1,∴k=1. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)山东省2017年每天的降雨量是离散型随机变量. ( ) (2)离散型随机变量X取一个可能的值的概率一定是非负实数. ( ) (3)离散型随机变量X取所有可能值的概率之和为1. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)√ 探究一 离散型随机变量的概念 【例1】 下列变量中是离散型随机变量的是 . ①某无线寻呼台1 min内接到的寻呼次数X; ②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X; ③将一枚均匀的骰子掷3次,3次出现的点数之和X; ④某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径尺寸之差X. 解析判断一个变量是不是离散型随机变量,主要看变量的某些值 的出现是不是确定,并且变量的取值能否按一定顺序列举出来.④ 中X取值为某一范围内的实数,无法列出,故不是离散型随机变量. 答案①②③ 反思感悟 判断一个变量是否为随机变量,主要是看变量的结果, 结果不能确定的是随机变量,判断一个变量是否为离散型随机变量, 主要是看变量的取值能否按一定顺序列举出来,如果可以就是离散 型随机变量;否则就不是离散型随机变量. 变式训练 1下列X不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次,投中的次数X B.某日上证收盘指数X C.标准状态下,水沸腾时的温度X D.某人早晨在车站等出租车的时间X 解析:C中,标准状态下,水在100 ℃时会沸腾,其结果不具有随机性. 故选C. 答案:C 探究二 随机变量的分布列 【例2】袋中装有除颜色外都一样的黑球和白球共7个,从中任取 2个球都是白球的概率为 .现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人 取到白球时即为止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ 表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量ξ的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 分析(1)求袋中原有白球的个数,需设出白球的个数,利用古典概 型概率公式,列出方程求解.(2)写出ξ的可能取值,求出相应概率,进 而求出ξ的分布列.(3)利用所求分布列,记“甲取到白球”的事件为A, 则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5). 解(1)设袋中原有n个白球,由题意知: 1 7 = C2 C2 7 = (-1) 2 7×6 2 = ( -1) 7×6 ,所以 n(n-1)=6,解得 n=3(舍去 n=-2),即袋中原有 3 个白球. (2)由题意,ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5. 3 P(ξ=1)=7, P(ξ=2)=7×6 = 7, 4×3×3 4×3×2×3 4×3 2 P(ξ=3)=7×6×5 = 35, 4×3×2×1×3 6 P(ξ=4)=7×6×5×4 = 35 , 3 P(ξ=5)=7×6×5×4×3 = 35 . ξ P 1 2 3 1 所以,取球次数 ξ 的分布列为 3 7 2 7 6 35 4 3 35 5 1 35 (3)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记 “甲取到白球”的事件为A,则P(A)=P(“ξ=1”或“ξ=3”或“ξ=5”). 因为事件“ξ=1”“ξ=3”“ξ=5”两两互斥,所以 P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)= + 7 3 6 35 + 1 35 = 22 35

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