二面角学生版

-1三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1: 设 P 是二面角 α-l-β 内一点,P 到面 α、β 的距离 PA、PB 分别为 8 和 5,且 AB=7, 求这个二面角的大小。

2. 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5

5 .(如图 9—21)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小;

3.如图, 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点。 (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3) 试在线段 AC 上确定一点 P, 使得 PF 与 BC 所成的角是 60?。
D E M F C B

A

-1-

-2-

4.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=2,AA1= 2 2 ,M 为棱 A1A 上的点, 若 A1C⊥平面 MB1D1。 (Ⅰ)确定点 M 的位置; (Ⅱ)求二面角 D1-MB1-B 的大小。

5. 如图所示, ? D 和 ? B 都是等腰直角三角形,且它们所在的平面互相垂直, AB CD

?? 9 D A C0 ? DB ? a B DA ? ? ,
(I)求异面直线 AD、BC 所成的角。 (II)设 P 是线段 AB 上的动点,问 P、B 两点间的距离多少时, ? C 与 ? C 所在 PD BD 平面成 45? 的二面角?;

A

P

B D

C

6.四棱锥 A ? B C D E 中,底面 B C D E 为矩形,侧面 ABC ? 底面 B C D E ,
BC ? 2 , CD ? 2 , A B? A C .

(Ⅰ)证明: A D? C E ;
? 的大 (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45? ,求二面角 C ? A D E

A

小的余弦值.
C

B D

E

-2-

-3-

7: 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 侧面 PAD 是正三角形, 且与底面 ABCD 垂直, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° ,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M. (Ⅰ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 ADMN; (Ⅲ)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大 小.

8.如图: 在二面角 ? ? l ? ? 中, B ? ? , D ? l , A、 C、 ABCD为矩形,p ? ?,PA ? ?, 且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,求二面角 ? ? l ? ? 的大小.

9. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

-3-

-4-

10.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 a,侧棱长为 平行的平面交上底面于 DB1. (1)试确定点 D 的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1-AB1-D 的大小.

2 a,若经过 AB1 且与 BC1 2

11.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中, ∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD,

SA=AB=BC=1,AD=

1 . 2

求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.

S

@12. 已知四棱锥 S--ABCD 的底面 ABCD 是正方形, ? 底 SA 面 ABCD,点 E 是 SC 上任意一点. (Ⅰ)求证:平面 EBD ? 平面 SAC; 点到平面的距离用等体积法 (Ⅱ)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; (Ⅲ) 当

E F A O B C M D

SA 的值为多少时, 二面角 B-SC-D 的大小为 120°。 AB

-4-

-5-

13. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ? 底面 ABCD,PA=PD=2,底面 ABCD 是直 角梯形,其中 BC / / AD , AB ? AD , AD ? 2 AB ? 2BC ? 2 2 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 PAD 所成的角; (Ⅱ)求二面角 A-PB-C 的大小。
P

A

D

B

C

14. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯 形,AB∥DC, ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC=
?

1 AB=1,M 是 PB 的中点. 2

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦.

P M E B

A D

N

C

15. 如图,

已知在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 三个
王新敞
奎屯 新疆

C1 A1

B1

侧棱都是矩形,点 D 为 AB 的中点

AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA1 ? 4 ,
(Ⅰ) 求证 AC ? BC1 ; (Ⅱ) 求证 AC1 ?平面CDB1 ;
王新敞
奎屯 新疆

C A D

B

(Ⅲ) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 (图形的补全法)

-5-

-6-

16. 如图, 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 60 的二面角, 求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值。 C D B A 17.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的大小; (2)二面角 C1—BD—C 的正切值 (3)二面角 B1 ? BC1 ? D (射影法) D A B D1 A1 F C1 E

0

B1 C

18 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ? 平面 ABCD, 设 PA=AB=a,(1)求二面角 B (2)求二面角 C-PD-A

P

PC - D 的大小;

A D

B

C

19. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3 .(1) 证明: BE⊥平面 PAB; (2) 求二面角 A-BE-P 的大小 (3)PB 与面 PAC 的角

P

D A B

E

c

-6-

-7-

20

如 图 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥

P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,
PA ? 平面ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6
(1) 求证: BD ? 平面PAC; (2) 求二面角 P ?

BD ? A 的大小.

(3)求二面角 B-PC-A 的大小

21.如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (三垂线定理) (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.(等体积法)

A E

F

B

-7-

-8-

暂停 22.如图,在四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , AD ? 2 ,
?

PA ? 2 , PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60
(Ⅰ)证明 AD

P .

? 平面 PAB ;

(Ⅱ)求异面直线 PC 与

AD 所成的角的大小;
A 的正切值.
B

A

D

(Ⅲ)求二面角 P ? BD ?

C

25 如图三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = 是边长为 2 的正三角形,求二面角 P-AB-C 的大小。

2 3

P ,D 是 BC 的中点,且△ADC

C D B A

26.如图在三棱锥 S-ABC 中, SA⊥底面 ABC, AB⊥BC, DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC、 SC 于 D、E,又 SA =AB,BS =BC, 求以 BD 为棱,BDE 与 BDC 为面的二面角的度数。 S D E A C

-8B

-9-

27. 如图:ABCD 是矩形,AB =8,BC =4,AC 与 BD 相交于 O 点,P 是平面 ABCD 外一点,PO⊥面 ABCD,PO =4,M 是 PC 的中点, 求二面角 M-BD-C 大小。 P

M

D N O A R S B

C

28.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且 AB =BC =BD,∠ABC =∠DBC = 120 ,求 二面角 A-BD-C 的余弦值。 A

0

E

B

C

D

29 已知正方体 AC',M、N 分别是 BB',DD'的中 点,求截面 AMC'N 与面 ABCD,CC'D'D 所成的角D’ A’ N M D A B C B’ C’

-9-

- 10 -

30.如图 AC⊥面 BCD, BD⊥面 ACD, AC =CD =1, 若 ∠ABC =30°, 求二面角 C ? AB ? D 的大小。 A

E C F D

B 31 三棱锥 A-BCD 中,∠BAC =∠BCD =90°,∠DBC =30°,AB =AC = 6 ,AD =4,求 二面角 A-BC-D 的度数。 A

B

O

C

D 32. 如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A—BD—C、 A—BC—D、B—AC—D 的大小.

- 10 -

- 11 -

33. 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD, PC=a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 A—EB—D 的平面 角大小.

34. 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别在棱 AB、BC 上,G 在

1 1 对角线 BD1 上,且 AE= 4 ,BF= 2 ,D1G∶GB=1∶2,求平面 EFG 与底面 ABCD 所成
的二面角的大小.

35. 如图,设 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,E、F 分别为 AB、A1B1 的中点,且 AB=2AA1 =2a,AC=BC= 3 a. (1)求证:AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小

- 11 -

- 12 -

1 36. 如图 ABCD? A1B1C1 D1 是长方体, AB=2,AA ? AD ? 1 , 求二平面 AB1C 与 A1B1C1 D1

所成二面角的大小.

D 37. 在 正 方 体 A B C ? A1B1C1 D1 中 , K ? BB1 , M ? CC1 , 且
CM ? 3 CC1 4 ..求:平面 AKM 与 ABCD 所成角的大小.

BK ?

1 BB1 4 ,

38. 如图,将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面角 C ? ? AD ? C . (1)若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角,求 C ?C 的长; (2)求 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角; (3)若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120°,求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切 值.

- 12 -

- 13 -

39 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。

G F

40 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

41. 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; - 13 -

- 14 -

(2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 A1

D1 F1 P O F

C1 B1

E1 E A 42、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

D

C B

三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线 的求二面角题目时, 要将两平面的图形补充完整, 使之有明确 的交线 (称为补棱) 然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 , 即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 43 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱 形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD, PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大 小.

P

D

E C

A B

44 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧棱与底面成 600 的角,侧面 BCC1B1 ⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。

- 14 -

- 15 -

四、射影面积法( cos q =

s射影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 的都可利用射影面积公式(cos ? ?

S射 S斜

)求出二面角的大小。 P

? 45 . 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , A C ? B C 2 ,

?ACB ? 90? ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小;
A C B

D A 46: 如图 5, 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 E 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦 值. A1 图5 B1 D1 B

C

E C1

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五、向量法 47:2009 天津卷理) ( 如图, 在五面体 ABCDEF 中, ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, ? AD, FA AB M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。

48、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A ABB1 . 1 (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1 BC 所成的角为 ? ,二面角

A1 ? BC ? A 的大小为 ? ,试判断 ? 与 ? 的大小关

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