2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用课件: 第一讲 章末小结与测评_图文

章末小结与测评 (1)利用问题的几何特征,建立适当坐标系,主要就是 兼顾到它们的对称性,尽量使图形的对称轴(对称中心)正 好是坐标系中的 x 轴,y 轴(坐标原点). (2)坐标系的建立, 要尽量使我们研究的曲线的方程简 单. 舰 A 在舰 B 正东, 距离 6 km, 舰 C 在舰 B 的北偏西 30°,距离 4 km,它们准备围捕海洋动物,某时刻 A 发 现动物信号,4 s 后,B、C 同时发现这种信号,A 于是发 射麻醉炮弹.假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播 速度为 1 km/s.空气阻力不计,求 A 炮击的方位角. [解] 如图,以 BA 为 x 轴,BA 的中垂线为 y 轴建立直角 坐标系,则 B(-3,0),A(3,0),C(-5,2 3). 设动物所在位置 P(x,y),P 在 BC 中垂线上. ∵kBC= 2 3 =- 3,BC 中点 M(-4, 3), - 5+ 3 3 3 ∴BC 的中垂线方程为 y- 3= (x+4).即 y= (x+7).① 3 3 ∵|PB|-|PA|=4<|AB|=6, x2 y2 ∴P 在双曲线 - =1 4 5 由①②得 P(8,5 3), 设∠xAP=α,则 tan α= 3,∴α=60°. ∴炮弹发射的方位角为北偏东 30°. ②的右支上. 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ: ? x (λ>0), ?x′=λ· ? 的作用下,点 ? y ′= μ · y ( μ > 0 ) ? P(x,y)对应点 P′(x′,y′) 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 ? ?x′=2x, ? 后,曲线 ? y ′= 2 y ? C 变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲 线 C 的方程,并判断其形状. [解] ? ?x′=2x, 将? 代入(x′-5)2+(y′+6)2=1 ? ?y′=2y, 中, 得(2x-5)2+(2y+6)2=1.化简,得 ? 5?2 1 ?x- ? +(y+3)2= . 2? 4 ? ?5 ? 1 该曲线是以?2,-3?为圆心,半径为2的圆. ? ? (1)在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程 F(ρ,θ ) =0, 如果曲线 C 是由极坐标(ρ,θ )满足方程的所有点组成的,则 称此二元方程 F(ρ,θ )=0 为曲线 C 的极坐标方程. (2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极 坐标方程和直角坐标方程也有不同之处, 一条曲线上的点的极坐标 有多组表示形式,有些表示形式可能不满足方程,这里要求至少有 一组能满足极坐标方程. (3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,在 极坐标中仍然适用,注意求谁设谁,找出所设点的坐标 ρ、θ 的关 系. 1 △ABC 底边 BC=10,∠A=2∠B,以 B 为极点, BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹的极坐标方程. [解] θ 如图:令 A(ρ,θ),△ABC 内,设∠B=θ,∠A=2, 又|BC|=10,|AB|=ρ.于是由正弦定理,得 10 sin 2 ? 3θ?= sin?π- 2 ? ? ? ρ θ , 化简, 得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ=10+20cos θ. (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. (2)互化公式为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2 y tan θ =x(x≠0) (3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x=ρcos θ , y=ρ sin θ 代入即可, 而极坐标方程化为直角坐标方程通 常将极坐标方程化为ρ cos θ ,ρ sin θ 的整体形式,然后 用 x,y 代替较为方便,常常两端同乘以 ρ 即可达到目的, 但要注意变形的等价性. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并指出它们 分别表示什么曲线. (1)ρ=2acos θ (a>0); (2)ρ=9(sin θ +cos θ ); (3)ρ=4; (4)2ρcos θ -3ρsin θ =5. [解] (1)ρ=2acos θ,两边同时乘以 ρ 得 ρ2= 2aρcos θ,即 x2+y2=2ax. 整理得 x2+y2-2ax=0,即(x-a)2+y2=a2. 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆. (2)两边同时乘以 ρ 得 ρ2=9ρ(sin θ+cos θ), 即 x2+y2=9x+9y, ? 9?2 ? 9?2 81 又可化为?x-2? +?y-2? = 2 , ? ? ? ? ?9 9? 9 2 ? ? 是以 2,2 为圆心,以 2 为半径的圆. ? ? (3)将 ρ=4 两边平方得 ρ2=16,即 x2+y2=16. 是以原点为圆心,以 4 为半径的圆. (4)2ρcos θ-3ρsin θ=5,即 2x-3y=5,是一条直 线. (1)柱坐标定义:设 P 是空间内任意一点,它在 Oxy 平面 上的射影为 Q,用(ρ,θ )(ρ≥0,0≤θ <2π )来表示点 Q 在 平面 Oxy 上的极坐标.这时点 P 的位置可由有序数组(ρ,θ , z)表示,叫做点 P 的柱坐标. (2)球坐标:建立空间直角坐标系 O xyz,设 P 是空间任 意一点, 连接 OP, 记|OP|=r, OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ, 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q.Ox 轴逆时针方向旋转到 OQ 时, 所转过的最小正角为 θ,则 P(r,φ ,θ )为 P 点的球坐标. 如图,在长方体 OABCD′A′B′C′中,|OA|=3,|OC| =3,|OD′|=3,A′C′与 B′D′相交于点 P,分别写出点 C,B′,P 的柱坐标. [解] C 点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA. B′点的 ρ 为|OB|= |OA|2+|

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