2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)任意角和弧度制及任意角的三角函数(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[知识能否忆起] 1.任意角 (1)角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α +k·360°( k∈Z). (3)弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l

l

r

是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的 r 的大小无关,仅与

l

r

角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. 1 1 ⑤弧长公式:l=|α |r,扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r2. 2 2 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角,角 α 的终边与单位圆交于点 P (x,y),那么角 α 的正弦、余弦、 正切分别是:sin α =y ,cos α =x,tan α = ,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐

y x

标或坐标的比值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P , 过P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α ,sin_α ),即 P (cos_α , sin_α ),其中 cos α =OM,sin α =MP ,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点 的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP 、

AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

[小题能否全取] 1.-870°的终边在第几象限( A.一 C.三 ) B.二 D.四

解析:选 C 因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限角. 2.已知角 α 的终边经过点( 3 ,-1),则角 α 的最小正值是( 2π A. 3 C. 5π 6 11π B. 6 3π D. 4 -1 1 ∵sin α = =- ,且 α 的终边在第四象限, 2 2 )

解析:选 B

∴α =

11 π. 6 )

3.(教材习题改编)若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

解析:选 C 由 sin α <0,知 α 在第三、第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上,由 tan α >0,知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 2π 4.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3 2π 解析:因 tan =- 3 答案: 3 3 =-y,∴y= 3.

5.弧长为 3π,圆心角为 135°的扇形半径为________,面积为________. 3 解析:弧长 l=3π,圆心角 α = π, 4

l 3π 1 由弧长公式 l=α ·r 得 r= = =4,面积 S= lr=6π. α 3 2 π 4
答案:4 6π

1.对任意角的理解 (1)“小于 90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角”不等同于“第一象限的 角”.其实锐角的集合是{α |0°<α <90°},第一象限角的集合为{α |k·360°<α <k ·360°+90°,

k∈Z}.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角 函数值相等. 2.三角函数定义的理解

三角函数的定义中,当 P (x,y)是单位圆上的点时有 sin α =y,cos α =x,tan α = ,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α = ,cos α = ,tan α = .

y x

y r

x r

y

x

角的集合表示及象限角的判定

典题导入 [例 1] 已知角 α =45°,

(1)在-720°~0°范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β;

?? k (2)设集合 M=?x?x= 2 ??
N= x?x=

? ×180°+45°,k∈Z ?, ? ? ? ?

?? ?? ?

k
4

×180°+45°,k∈Z ,判断两集合的关系.

[自主解答]

(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为:

β=45°+k×360°( k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°, 得-765°≤k×360°<-45°,解得- 765 45 ≤k<- , 360 360

从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675°或 β=-315°. (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的 集合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的 集合,从而:M

N.

由题悟法 1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 2.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα ,π±α 等形式的角终边的方法:先表示角 α 的 范围,再写出 kα 、π±α 等形式的角范围,然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置. 以题试法 1.(1)给出下列四个命题: ①- 3π 4 是第二象限角;② 4π 3 是第三象限角;③-400°是第四角限角;④-315°是第一

象限角.其中正确的命题有( A .1 个 C.3 个

) B .2 个 D .4 个

(2)如果角 α 是第二象限角,则 π-α 角的终边在第________象限. 解析: (1)- 3π 4 是第三象限角, 故①错误. 4π π 4π =π + , 从而 是第三象限角正确. -400° 3 3 3

=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. π (2)由已知 +2kπ<α <π+2kπ(k∈Z), 2 π 则-π-2kπ<-α <- -2kπ(k∈Z), 2 π 即-π+2kπ<-α <- +2kπ(k∈Z), 2 π 故 2kπ<π-α < +2kπ(k ∈Z), 2 所以 π-α 是第一象限角. 答案:(1)C (2)一

三角函数的定义 典题导入 [例 2] A .1 C. 1 2 (1)已知角 α 的终边上有一点 P (t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为( B .2 D. 2 )

(2)(2012·大庆模拟)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为?sin

? ?

2π 3

,cos

2π? ?,则角 α 的最 3?

小正值为( 5π A. 6 C. 5π 3

) 2π B. 3 11π D. 6 (1)根据已知条件得 tan α =

[自主解答] 得最小值 2.

t2+1 t

1 =t+ ≥2,当且仅当 t=1 时,tan α 取

t

(2)由题意知点 P 在第四象限, 根据三角函数的定义得 cos α = sin π 11π - (k∈Z),所以 α 的最小正值为 . 6 6 [答案] (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况

2π 3



3 2

, 故 α =2kπ

(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后利用三角函 数的定义求解. (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点 的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写 出角 α 的三角函数值.

以题试法 2.(1)(2012·东莞调研)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x,

? ?

3? ?,则 tan α =( 2 ?

)

A. 3 C. 3 3

B.± 3 D.± 3 3 )

4 (2)(2012·潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P (m, -3), 且 cos α =- , 则 m 等于( 5 A.- 11 4 11 B. 4 D .4 3 由|OP|2=x2+ =1, 4

C.-4 解析:(1)选 B

1 得 x=± ,tan α =± 3. 2 (2)选 C 由题意可知,cos α = 又 m<0,解得 m=-4. 4 =- , 5 m2+9

m

扇形的弧长及面积公式

典题导入 [例 3] (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角.

(2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是 θ ,半径是 r,

?2r+rθ =10 则?1 ? 2θ ·r =4
2

?r=1, ?? ?θ =8

?r=4, ( 舍) , ? 1 θ= , ? 2

1 故扇形圆心角为 . 2 (2)设圆心角是 θ ,半径是 r, 则 2r+rθ =40.

S= θ ·r2= r(40-2r)=r(20- r)
2 2 =-(r-10)2+100≤100, 当且仅当 r=10 时,Smax =100. 所以当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大.

1

1

若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是 ________.

解析:设圆半径为 R,则圆内接正方形的对角线长为 2R, ∴正方形边长为 2 R,∴圆心角的弧度数是 答案: 2 2R = 2.

R

由题悟法 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 1 1 2.记住下列公式:①l=α R;②S= lR;③S= α R2.其中 R 是扇形的半径,l 是弧长, 2 2 α (0<α <2π)为圆心角,S 是扇形面积.

以题试法 3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取到最小值? 1 解:设扇形的圆心角为 α ,半径为 R,弧长为 l,根据已知条件 lR=S 扇,则扇形的周 2 长为:l+2R= 2S扇 +2R≥4

R

S扇,当且仅当

2S扇

R

=2R,即 R=

S扇 时等号成立,此时 l=

2 S扇 ,α = =2,

l

R

因此当扇形的圆心角为 2 弧度时,扇形的周长取到最小值.

1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A. 3 C.- π 3 π B. 6 π D.- 6

)

解析:选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ×2π=- . 6 3 2.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A .1 或 4 C.4 B .1 D .8 )

解析:选 A

?l+2r=6, 设扇形的半径和弧长分别为 r,l,则易得? 1 ? 2lr=2,
?l=2, ?r=2.

解得?

? l =4 ?r=1

或?

故扇形的圆心角的弧度数是 4 或 1.

π 3.已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α =( 3 A.- 3 2 B. 3 2

)

1 C.- 2 解析: 选D

1 D. 2 π 因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称, 所以 α +β=2kπ+ (k∈Z), 2

π 5π 1 又 β=- ,所以 α =2kπ+ (k∈Z),即得 sin α = . 3 6 2

? θ? θ θ 4.设 θ 是第三象限角,且?cos ?=-cos ,则 是( 2 2 ? 2?
A.第一象限角 C.第三象限角 解析: 选B B.第二象限角 D.第四象限角

)

θ ? θ? θ θ ∵θ 是第三象限角, ∴ 为第二或第四象限角. 又∵?cos ?=-cos , ∴cos 2 2 2 ? 2?

θ <0,知 为第二象限角. 2 5.(2012·宜春模拟)给出下列各函数值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(- sin 10);④ 7π 10 cos π ,其中符号为负的是( )

tan

17π 9

A.① C.③

B.② D.④

解析:选 C sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°) =cos(-40°)=cos 40°>0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; sin 7π 10 cos π = tan -sin 7π 10 ,sin 7π 10 >0,tan 17π 9 <0,∴原式>0.

tan

17π 9

17π 9

6.已知 sin θ -cos θ >1,则角 θ 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 解析:选 B

)

B.第二象限 D.第四象限 由已知得(sin θ -cos θ )2>1,1-2sin θ cos θ >1,sin θ cos θ <0,且 sin

θ >cos θ ,因此 sin θ >0>cos θ ,所以角 θ 的终边在第二象限. 7.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3 ,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则

B 点坐标为__________.
解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 设点 B 坐标为(x, y), 所以 x=2cos 120°=-1, y=2sin 120°= 答案:(-1, 3) 3, 即 B(-1, 3 ).

8. 若 β 的终边所在直线经过点 P ?cos

? ?

3π 4

,sin

3π? ?, 则 sin β=________, tan β= ________. 4? ,sin 3π? ?,所以 β 的终边所在直线为 y 4?

解析:因为 β 的终边所在直线经过点 P ?cos

? ?

3π 4

=-x,则 β 在第二或第四象限. 所以 sin β= 2 2 2 2 或- 2 2 2 2 ,tan β=-1.

答案:

或-

-1

9.如图, 角 α 的终边与单位圆(圆心在原点, 半径为 1)交于第二象

? 3? 限的点 A?cos α , ?,则 cos α -sin α =________. 5? ?
3 4 7 解析:由题图知 sin α = ,又点 A 在第二象限,故 cos α =- .∴cos α - sin α =- . 5 5 5 7 答案:- 5 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm, 弧长为 l cm,

?1 lr=1, 则?2 ? l+2r=4,
∴圆心角 α = =2.

解得?

?r=1, ?l=2.

l

r

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H.则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1·sin 1=sin 1(cm) , ∴AB=2sin 1(cm) . 11.如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限,C 是圆

?3 4 ? 与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为? , ?,△AOB 为正三角形. ?5 5 ?
(1)求 sin∠COA; (2)求 cos∠COB. 4 解:(1)根据三角函数定义可知 sin∠COA= . 5 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60°,

4 3 又 sin ∠COA= ,cos∠COA= , 5 5 ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos 60°- sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 = · - · = . 52 5 2 10 12.(1)设 90°<α <180°,角 α 的终边上一点为 P (x, 5),且 cos α = 与 tan α 的值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ ,cos θ . 解:(1)∵r= 2 4 2 4

x,求 sin α

x2+5 ,∴cos α = x x2+5

x

x2+5



从而

x=



解得 x=0 或 x=± 3. ∵90°<α <180°, ∴x<0,因此 x=- 故 r=2 2 ,sin α = 5 - 3 3. 5 2 2 = 10 , 4

tan α =

=-

15 . 3

(2)∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tan θ =- ,

x

又 tan θ =-x,∴x2=1,∴x=±1. 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = 2 2 ;

当 x=-1 时,sin θ =-

2 2

,cos θ =-

2 2

.

1.(2013·聊城模拟)三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为(sin A -cos B,cos A-sin C),则 A .1 C.3 解析:选 B cos θ tan θ + + 的值是( |sin θ | |cos θ | |tan θ | B.-1 D .4 因为三角形 ABC 是锐角三角形,所以 A+B>90°,即 A>90°-B,则 sin sin θ )

A>sin (90°-B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限,
cos θ tan θ + + =-1+1-1=-1. |sin θ | |cos θ | |tan θ | 2.(2012·山东高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆 的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴 上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为________. 2 解析:设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 P A 长为 2,∠ABP = 1 =2. sin θ

? π? 设 P (x , y) , 则 x = 2 - 1×cos ?2- ? = 2 - sin 2 , y = 1 + ? 2? ? π? 1×sin ?2- ?=1-cos 2, ? 2?
∴ OP 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2) - 3.(1)确定 的符号; cos 8·tan 5 (2)已知 α ∈(0, π), 且 sin α +cos α =m(0<m <1), 试判断式子 sin α -cos α 的符号. 解:(1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角,

∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0,∴原式大于 0. π (2)若 0<α < ,则如图所示,在单位圆中,OM=cos α ,MP =sin 2 α, ∴sin α +cos α =MP+OM>OP =1. π 若 α = ,则 sin α +cos α =1. 2

?π ? 由已知 0<m<1,故 α ∈ ? ,π?. ?2 ?
于是有 sin α -cos α >0.

1.已知点 P (sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π]内,α 的取值范围是(

)

?π 3π? ? 5π? A.? , ?∪?π, ? 4? ?2 4 ? ? ?π 3π? ?5π 3π ? C. ? , ? ∪? , ? ?2 4 ? ? 4 2 ?
解析:选 B

?π π? ? 5π? B.? , ?∪?π, ? 4? ? 4 2? ? ?π π? ?3π ? D.? , ?∪? ,π? ? 4 2? ? 4 ?

?π π? ? 5π? 由已知 sin α -cos α >0,tan α >0 故 ? , ?∪?π, ?. 4? ? 4 2? ?

2.已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P (4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t,

r= x2+y2 =
当 t>0 时,r=5t, sin α = =

t

2+

-3t

2 =5|

t|,

y -3t r

3 =- , 5t 5

x 4t 4 cos α = = = , r 5t 5

tan α = =

y -3t x

3 =- ; 4t 4

y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α = = = , r -5t 5
cos α = =

x r

4 =- , -5t 5 3 =- . 4t 4

4t

tan α = =

y -3t x

3 4 3 综上可知,sin α =- ,cos α = ,tan α =- ; 5 5 4 3 4 3 或 sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4 π 3.已知 0<α < ,求证: 2 (1)sin α +cos α >1; (2)sin α <α <tan α . 证明:如图,设 α 的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥x 轴,垂足为

M,过点 A(1,0)作 AT⊥x 轴,交 α 的终边于 T,则 sin α =MP,cos α = OM,tan α =AT.
(1)在△OMP 中,∵OM+MP >OP , ∴cos α +sin α >1. (2)连接 PA,则 S△OPA<S 扇 形 OPA<S △OTA, 1 1 1 即 OA·MP < OA·α < OA·AT, 2 2 2 即 sin α <α <tan α .


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