2019年高中数学人教B版选修2-3课件:1.3.1 二项式定理 含答案_图文

1.3 1.3.1

第二 一项 章式
定 理

二 项 式 定 理

理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练

考点一 考点二

1.3

二项式定理

1.3.1 二项式定理

问题 1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项 式的乘法推导(a+b)3、(a+b)4 的展开式.
提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+ 6a2b2+4ab3+b4.
问题 2:上述两个等式的右侧有何特点? 提示:(a+b)3 的展开式有 4 项,每一项的次数是 3; (a+b)4 的展开式有 5 项,每一项的次数为 4.

问题 3:你能用组合的观点说明(a+b)4 是如何展开的吗?
提示:(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式的乘法法 则知,从每个(a+b)中选 a 或选 b 相乘即得展开式中的一项.若都 选 a,则得 C04a4b0;若有一个选 b,其余三个选 a,则得 C41a3b; 若有两个选 b,其余两个选 a,则得 C24a2b2;若都选 b,则得 C44a0b4.
问题 4:能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗?
提示:能,(a+b)n=Cn0an+C1nan-1b+…+Cnnbn.

1.二项式定理
公式(a+b)n= Cn0 an+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+… _+__C__nnb__n(_n_∈__N__+_)_所表示的规律叫做二项式定理.
2.相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式.
(2)各项的系数 Crn(r=0,1,2,…,n) 叫做展开式的二项式系数. (3)展开式中的Crnan-rbr 叫做二项展开式的通项,记作: Tr+1 , 它表示展开式的第 r+1 项.
(4)在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公式(1+x)n=
__C_n0_+__C__1n_x_+__C_n2_x_2_+__…___+__C_rn_x_r_+__…__+__C__nn_x_n_.

展开式具有以下特点: (1)项数:共有 n+1 项; (2)二项式系数:依次为 Cn0,C1n,Cn2,…,Crn,…,Cnn; (3)每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幂、 b 的升幂排列展开; (4)通项 Tr+1=Crnan-rbr 是第 r+1 项,而不是第 r 项.

二项式定理的正用、逆用

[例 1] (1)用二项式定理展开???2x-23x2???5.

(2)化简



C0n(x+

1)n-

Cn1

(x



1)n-

1+C

2 n

(x+

1)n-

2-

…+(-

1)rCrn(x+1)n-r+…+(-1)nCnn.

[思路点拨] (1)二项式的指数为 5,可直接按二项式定理展

开;(2)可先把 x+1 看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式

定理求解.

[精解详析] (1)???2x-23x2???5=C50(2x)5+C15(2x)4·???-23x2???+…+C55

???-23x2???5

=32x5-120x2+18x0-1x345+480x57 -3224x310.

(2)







C

0 n

(x



1)n



C

1 n

(x



1)n



1(



1)



C

2 n

(x



1)n



2(



1)2

+…+Cnr (x+1)n-r(-1)r+…+Cnn(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.

[一点通] 1.(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,是和的形式,各项的幂 指数规律是: (1)各项的次数等于 n; (2)字母 a 按降幂排列,从第一项起,次数由 n 逐项减 1 直到 0; 字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到 n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注 意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

1.求????3

x+

1 ??4 x??

的展开式.

解 : 法 一 : ????3

x+

1 ?? x??

4



C

0 4

(3

x

)4



C

1 4

(3

x

)3·1x



C

2 4

(3

x)2·???? 1x????2+C34(3

x)????

1x????3+C44????

1 ??4 x??

=81x2+108x+54+1x2+x12.

法二:????3 x+ 1x????4=?3xx+2 1?4

=x12(81x4+108x3+54x2+12x+1)

=81x2+108x+54+1x2+x12.

2.求 C26+9C36+92C46+93C65+94C66的值. 解:原式=912(92C26+93C63+94C64+95C56+96C66) =912(C06+91C61+92C26+93C36+94C46+95C56+96C66)-912(C06+ 91C16) =912(1+9)6-912(1+6×9)=912(106-55)=12 345.

求二项展开式中的特定项或其系数

[例 2] (1)(江西高考)???x2-x23???5 展开式中的常数项为(

)

A.80

B.-80

C.40

D.-40

(2)(浙江高考)设二项式????x- ax????6(a>0)的展开式中 x3 的系数 为 A,常数项为 B.若 B=4A,则 a 的值是________.
[思路点拨] 求特定项或特定项的系数,可以先写出二项展

开式的通项,求出相应的 r 值后再代入通项求特定项或其系数.

[精解详析] (1)设展开式的通项为 Tr+1=Cr5·???-x23???r·(x2)5-r= (-2)rCr5x10-5r,所以当 10-5r=0,即 r=2 时,Tr+1 为常数.即 Tr+1=(-2)2C25=40.故选 C.
(2)由题意得

Tr+1=Cr6x6-r????-

ax????r=(-a)rCr6x

6-3 2

r



∴A=(-a)2C26,B=(-a)4C46.

又∵B=4A,

∴(-a)4C46=4(-a)2C26,解之得 a2=4. 又∵a>0,∴a=2.
[答案] (1)C (2)2

[一点通] 求二项展开式中的特定项要注意以下几点: (1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用; (2)二项展开式的通项是指 Tr+1=Crnan-rbr,如 T5=T4+1= Cn4an-4b4,代入时不要代错值; (3)常数项是指不含字母的项; (4)有理项是指字母指数为整数的项.

3.(四川高考)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( )

A.30

B.20

C.15

D.10

解析:只需求(1+x)6 的展开式中含 x2 项的系数即可,而含

x2 项的系数为 C26=15,故选 C. 答案:C

4.在???3
?

2x-

1

? ?20

2??

的展开式中,系数是有理数的项共有(

)

A.4 项

B.5 项

C.6 项

D.7 项

解析:Tr+1=Cr20(3

2x)20-r????-

1 ??r 2??

=????- 22????r·(3 2)20-rC2r0·x20-r.
20-r
∵系数为有理数,∴( 2)r 与 2 3 均为有理数,

∴r 能被 2 整除,且 20-r 能被 3 整除.

故 r 为偶数,20-r 是 3 的倍数,0≤r≤20,

∴r=2,8,14,20.

答案:A

5.在????2x2-31x????8 的展开式中,求: (1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数;

(2)展开式的倒数第 3 项.

解:法一:利用二项式的展开式解决.

(1)

??2x2- 1 ??

??

3 x??

8



(2x2)8



C

1 8

(2x2)7·1 3 x



C

2 8

(2x2)6·????31x????

2



C

3 8

(2x2)5·????31x????3+C48(2x2)4·????31x????4-C58(2x2)3·????31x????5+C68(2x2)2·????31x????6

-C782x2·????31x????7+C88????31x????8,

则第 5 项的二项式系数为 C84=70,第 5 项的系数为 C84·24=1 120.

(2)由(1)中????2x2-

1 ??8 3 x??

的展开式可知倒数第

3

项为

C68·(2x2)2·????31x????6

=112x2.

法二:利用二项展开式的通项公式解决.

(1)T5=C48·(2x2)8-4·????-31x????4=C48·24·x

20 3

,则第

5

项的二项式系数是

C84=70,第 5 项的系数是 C48·24=1 120.

(2)展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项,T7=C86·(2x2)8-6·????-31x????6=

112x2.

1.求展开式的特定项的关键是抓住其通项,求解时,先 准确写出通项,再把系数和字母分离开来(注意符号),根据题 目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式 求解即可.
2.Cnr (r=0,1,2,…,n)是二项式系数,它与展开式中对 应项的系数不一定相等,二项式系数 Crn一定为正,而项的系 数与 a,b 的系数有关,正、负不能确定.

应用创新演练见课时跟踪训练(七)


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