山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第二次四校联考数学(文)试题

2014 届高三年级第二次四校联考

数学试题(文)

命题:康杰中学 长治二中 忻州一中 临汾一中 【满分 150 分,考试时间 120 分】
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项.

? 1. 已知全集U ? R ,集合 A ? x | x2 ? 2 ? ,则 CU A 是

? ? A. ? 2, 2
C. ??? 2, 2 ??

? ? B. ??, ? 2 ?? ? ?? 2, ?? ? ? ? ? D. ??, ? 2 ? 2, ??

2. 复数 Z ? i ( i 为虚数单位), Z 在复平面内所对应的点在
?? 2 ? i?2

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 从 1、2、3、4 这四个数中一次随机取两个,则取出的这两数字之和为偶数的概率是

A. 1 6

B. 1 3

1
C.
2

D. 1 5

4. 已 知 sin?? ? ? ? ?? ? 1 , ? ? ? ? ? 0 , 则

?2 ? 2

2

开始

cos(? ? ? ) 的值是 3
1
A.
2 C. ? 1
2

2
B.
3
D.1

5. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出

n=1,S=0
否 S<30? 是

的结果是 A.6

B.5

S=S+ 2n

输出 n

C. 4

D.3

n=n+1

结束

6. 已知 直线 y ? x ? b 与 曲线 x2 ? y 2 ? 1?x ? 0?

有交点,则

A. ?1? b ?1

B. ?1 ? b ? 2

C. ? 2 ? b ? 2 D. ? 2 ? b ? 1

7. 已知等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,若 S8 ? 0 且 S9 ? 0 ,则当 Sn 最大时 n 的值是

A.8

B.4

C. 5

D.3

?3x ? y ? 6 ? 0

8.

设变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

2

?

0

,且目标函数 z

?

y

? ax 的最小值为-7,则 a



?? y ? 3 ? 0

值为

A.-2

B.-4

C.-1

9. 如图是一几何体的三视图,则该几何体的表面积是

D.1
1

A. 5 ? 3

B. 5 ? 2 3

1

1

C. 4 ? 2 2

D. 4 ? 2 3

? ? 10. 设 a ?

2

1.4
,b

?

3
32

,c

?

ln

3

,则

a

b

c 的大小关系是

2

A. a ? b ? c C. c ? a ? b

B. b ? c ? a D. b ? a ? c

11.

函数 y ?

3x cos 3x 9x ?1

的图像大致为

正视图 1
1
俯视图

侧(左)视图

12. 函数 y ? (1) x?1 ? 4 cos2 ? x ? 2(?3 ? x ? 5) ,则此函数的所有零点之和等于( )

3

2

A.4

B.8

C.6

D.10

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 已知|a|=2 , b ? (cos? ,sin ? ), a ? (a ? b) ? 3 ,则向量 a 与 b 的夹角为 .
14. 已知函数 f ?x? 是定义在 R 上的奇函数,且对于任意 x ? R ,恒有 f ? x ?1? ? f ? x ?1? 成

立,当 x ?[?1, 0] 时, f ? x? ? 2x ?1,则 f (2013) ?

.

15. 已知正四棱锥 S ? ABCD 的所有棱长均为 2 ,则过该棱锥的顶点 S 及底面正方形各边中

点的球的体积为 .

16.

已知双曲线

x2 9

?

y2 b2

? 1(b ? 0) ,过其右焦点 F

作圆 x2

?

y2

? 9 的两条切线,切点记作

C, D ,双曲线的右顶点为 E , ?CED ? 150 ,则双曲线的离心率为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)
在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A,B,C 所对的边长, a ? 2b ,

2sin C ? 2sin( A ? B) ? 6 cos 2A ? 6

(1)求角 B 的大小。

(2)若 a ? 2, a ? c 求 ?ABC 的面积 S 。

18.(本小题满分 12 分)

某年青教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如下:

年份 x 年

2009

2010

2011

2012

平均成绩 y 分

97

98

103

108

2013 109

(1)利用所给数据,求出平均分与年份之间的回归直线方程 y? ? bx ? a ,并判断它们之间

是正相关还是负相关。 (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该教师 2014 年所带班级的数学平均成绩。

? ?? ? n

n

? ? xi ? x yi ? y

xi yi ? nx y

? ? ? ? b ? i?1 n

2

xi ? x

? i?1

?n

xi2

?

2
nx

i ?1

i ?1

a ? y ?bx ?

19.(本小题满分 12 分)

已知梯形 ABCD 中 AD // BC , ?ABC ? ?BAD ? ? , AB ? BC ? 2AD ? 4 , 2
E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .沿 EF 将梯形 AEFD 翻折,

使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点.

(1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ;

(2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 体积的最大值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 1 2
(1)求椭圆的方程;

?

?

(2)设直线 l 经过点 M (0,1),且与椭圆交于 A, B 两点,若 AM ? 2 MB ,求直线 l 的方

程. 21.(本小题满分 12 分)

已知 f ?x? ? ln x ? x ? a ? 1

(1)若存在 x ? ?0,???使得 f (x) ≥0 成立,求 a 的范围

(2)求证:当 x >1 时,在(1)的条件下, 1 x 2 ? ax ? a ? x ln x ? 1 成立

2

2

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。

如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的

方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如 图 所 示 , PA 为 圆 O 的 切 线 , A 为 切

点, PO交圆O于B,C两点,PA ? 10 , PB ? 5, ?BAC 的角平分

A

线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .

(1) 求证 AB ? PA AC PC

(2) 求 AD ? AE 的值.

C

OD B

P

E

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:参数方程选讲 1.已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐
标为 (2 3, ? ) , 曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 3? sin? ? 1 . 6
(Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程;

(Ⅱ)若 为 C 上的动点,求 中点 到直线

(t 为参数)距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+2|+|2x-4| (1)求 f(x)<6 的解集;
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≥m2-3m 的解集是 R,求 m 的取值范围.

四校二联数学(文)答案

一、选择题:

1

2

3

C

A

B

二、填空题

答案:13. 2? 3

4

5

C

B

1
14.
2

6

7

DB

15. 9 ? 16

8

9

10 11 12

A

A

D

D

B

23
16.
3

三、解答题
17. 解:(1)由正弦定理及已知可得 sin A ? 2 sin B …………1 分 2sin C ? 2sin( A ? B) ? 6 cos 2A ? 6 得 2 cos B ? 6 sin A …….4 分

所以 cos B ? 3 sin B 解得 tan B ? 3 又因为在 ? ABC 中 3

所以角 B 为 ? 6

……………6 分

(2)由(1)知 sin A ? 2 又因为 a ? c 所以 A ? C ……….7 分 2
所以 A ? ? b ? 2 4

sin C ? sin?A ? B? ? sin 5? ? 6 ? 2 ……………………………9 分

12

4

S ? 1 ab sin 5? ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 3 ? 1

2

12 2

4

2

…………12 分

18.(1)解: x ? 2011 y ? 103 ……………2 分

b ? (?2)(?6) ? (?1)(?5) ? 0? 0 ?1? 5 ? 2? 6 ? 3.4 …………4 分 (?2)2 ?12 ? 02 ?12 ? 22
a ? 103 ? 3.4? 2011 ? ?6734.4 ……………6 分 ∵ b >0
∴成绩与年份成正相关关系
∴ y? ? 3.4x ? 6734.4 ……………………8 分

(2) y ? 3.4x ? 6734.4 ? 3.4? 2014 ? 6734.4 ? 113.2

所以预测 2014 年该班的数学平均成绩为 113.2 分 …………12 分

19.(1)证明:作 DH ? EF ,交 EF 与 H ,连结 BH , GH ,

…… 1 分

∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 AEFD,

∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . …… 3 分

∵ EH ? AD ? 1 BC ? BG , EF // BC , ?EBC ? 90? . 2

∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

………… 5 分

又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH .

又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD .

………… 6 分

(2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD .

∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE∥DH,……7 分

∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三

棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x .

…………9 分

又 S?BCF

?

1 2

BC ? BE

?

1 ? 4?(4 ? 2

x)

? 8? 2x



………… 10 分

∴三棱锥 D ? BCF 的体积

f (x) ?

1 3

S?BFC

? DH

?

1 3

S?BFC

? AE

?

1 (8? 2x)x ? ? 2

3

3

x2

? 8 x (0 ? 3

x ? 4)

当 x ? 2 时,最大值为 8 3

………… 12 分

20.(本小题满分 12 分)

解:(1)设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) , a2 b2
因为 c ? 1, c ? 1 ,所以 a ? 2,b ? 3 , a2
所求椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 43

……………………………4 分

(2)由题得直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? kx ? 1

则由

?? ? ??

y x2
4

? ?

kx ? 1

y2

得 (3 ?1

3

?

4k

2

)x2

?

8kx

?

8

?

0

,

?

?

设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则由 AM ? 2 MB 得 x1 ? ?2x2 ………..8 分

??x1 ? x2 又?

? ?

x1

?

x2

? ? 8k 3 ? 4k 2
? ?8 3 ? 4k 2



所以

? ?

? x2

?

?? ?

2

x

2

? ? 8k 3 ? 4k 2
2 ? ?8 3 ? 4k

2

消去

x2

得 ( 8k 3 ? 4k 2

)2

?

4 3 ? 4k 2

解得 k 2 ? 1 , k ? ? 1

4

2

所以直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? 1 ,即 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0 ………………12 2



21. f ?x? ? ln x ? x ? a ? 1( x >0)

(1)即存在 x 使得 ln x ? x ? ?a +1 ? 0...............................................1 分
∴ a ? ? ln x ? x ?1 令 g?x? ? ? ln x ? x ?1



g / ?x? ?

?

1

?1?

x

?1
.......................................................3



x

x

令 g?(x) ? 0 ,解得 x ? 1

∵0< x <1 时, g / ?x? ? 0 ∴ g(x) 为减

x >1 时,

g / ?x? ? 0

∴ g(x) 为增

∴ g?x?min ? g?1? ? 0 ...............................................................5 分

∴ a ? g?1? ? ? ln1 ? 1 ?1 ? 0

∴ a ≥0...............................................................................6 分

(2)即 1 x2 ? ax ? x ln x ? a ? 1 >0( x >1, a ≥0)

2

2

令 G(x) ? 1 x2 ? ax ? x ln x ? a ? 1 ,则 G(1) ? 0 ……………………….7 分

2

2

由(1)可知 x ? ln x ?1>0

则 G?(x) ? x ? a ? ln x ?1≥ x ? ln x ?1>0……………………………………….10 分

∴ G(x) 在(1,+ ? )上单调递增

∴ G(x) ≥ G(1) ? 0 成立

∴ 1 x ? ax ? x ln x ? a ? 1 >0 成立……………………………………………….12 分

2

2

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

解(1)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB∽ ?PCA ? AB ? PA AC PC

……………………4 分
C

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA2 ? PB ? PC,

? PC ? 20, BC ? 15

A

OD B

P

E

又∵ ?CAB ? 900 ,? AC2 ? AB2 ? BC2 ? 225
又由(1)知 AB ? PA ? 1 ? AC ? 6 5 AB ? 3 5 ,连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB, AC PC 2
?ACE ∽ ?ADB , AB ? AD AD ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90 …………….10 分 AE AC

23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? ? 解 (1) 点 P 的直角坐标 3, 3

? ? 由 ?2 ? 2

3? sin? ? 1得 x2 ? y2 ? 2 3y ? 1,即 x2 ? y ?

2
3 ?4

? ?2
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y ? 3 ? 4

…………………………4



(2)曲线

C

的参数方程为

?? ? ??

y

x? ??

2 3

cos? ? 2sin


?

?

为参数)直线

l

的普通方程为

x

?

2

y

?

7

?

0

? ? 设Q

2 cos? , ?

3 ? 2sin?

,则

M

? ??

3 2

?

cos?

, sin ?

? ??

.那么点

M

到直线

l

的距离

3 ? cos? ? 2sin? ? 7 cos? ? 2sin? ? 11

d? 2

?

2?

5 sin ?? ?? ? ? 11
2.

12 ? 22

5

5

? ?

5

?

11 2

?

11

5 ?1,所以点 M 到直线 l 的最小距离为 11

5 ?1

5

10

10

………………10



24. 解:(I)由题设知:当 x≥2 时,不等式等价与 x+2+2x-4<6,即 2≤x<38 ;…2 分

当 2>x>-2 时,不等式等价与 x+2+4-2x<6,即 2>x>0 ;

…4 分

当 x≤-2 时,不等式等价与-x-2+4-2x<6,即无解.

所以满足不等式的解是{x|0<x<83 }

…6 分

(II)由图像或者分类讨论可得 f(x)=|x+2|+|2x-4|的最小值为 4 则 m2-3m≤4,解之得,-1≤m≤4

…8 分 …10 分


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