高中数学人教A版必修二2.3.4【同步练习】《 平面与平面垂直的性质 》

《平面与平面垂直的性质》 同步练习 ◆ 选择题 1.给出下列四个命题,其中真命题的个数是( ) ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线 和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行;④如果一个平面经 过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。 A.4 C.2 B.3 D.1 ) 2.用 α 表示一个平面,l 表 示一条直线,则平面 α 内至少有一条直线与 l( A.平行 C.异面 B.相交 D.垂直 3.设有不同的直线 a,b 和不同的平面 α ,β ,γ .给出下列三个命题: ①若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b;②若 a∥α ,a∥β ,则 α ∥β ;③若 α ⊥γ ,β ⊥γ , 则 α ∥β 。 其中正确的个数 是( ) A.0 C.2 B.1 D.3 4.设平面 α ⊥平面 β ,在平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b,则 ( ) A.直线 a 必垂直于平面 β B.直线 b 必垂 直于平面 α C.直线 a 不一定垂直于平面 β D.过 a 的平面与过 b 的平面垂直 5.在正四面体 P-ABC 中 ,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成 立的是( ) A.BC∥平 面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC ◆ 填空题 6. 如图, 平面 ABC⊥平面 BCD, ∠BAC=∠BDC=90°, 且 AB=AC=a, 则 AD=________。 7.已知平面 α ,β 和直线 m,给出条件: ①m∥α ;②m⊥α ;③m?α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β 。 则当满足条件__ ______时,有 m⊥β ; 当满足条件________时,有 m∥β 。 8.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,平面 ACD1 与平面 BB1D1D 的位置关系是__________。 ◆ 解答题 9.如图,已知点 M 是菱形 ABCD 所在平面外的一点,且 MA=MC,求证:AC⊥平面 BDM。 10.已知:如图,平面 α ⊥平面 β ,α ∩β =l,在 l 上取线段 AB=4,AC,BD 分别在 平面 α 和平面 β 内,且 AC⊥AB,DB⊥ AB,AC=3,BD=12,求 CD 长。 11.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,求证:AB⊥BC。 12.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE= EF=1。 (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE。 答案与解析 ◆ 选择题 1、B 2、D 3、A 4、C 5、C ◆ 填空题 6.解析 取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,∵AB=AC=a, ∴AE⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BCD, 平面 ABC∩平面 BCD=BC。 ∴AE⊥平面 BCD。 ∵DE?平面 BCD,∴AE⊥DE。 计算得 BC= 2a。 AE= 2 1 2 a,DE= BC= a。 2 2 2 2 2 ∴AD= AE +DE =a。 答案 7.答案 8.解析 a ②⑤ ③⑤ 由 底面 ABCD 是正方形,知 AC⊥BD,又 AC⊥BB1,∴AC⊥平面 BB1D1D,又 AC 在 平面 ACD1 内,∴平面 ACD1⊥平面 BB1D1D。 答案 垂直 ◆ 解答题 9.证明 设 BD∩AC=O,连接 MO, 10.解 连接 BC。 ∵AC⊥AB,∴AC⊥β ,AC⊥BD。 ∵BD⊥AB,∴BD⊥α ,BD⊥BC。 ∴△CBD 是直角三角形. 在 Rt△BAC 中,BC= AC +AB = 3 +4 =5, 在 Rt△CBD 中, CD= BC +BD = 5 +12 =13。 ∴CD 长为 13。 11.证明 如图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于点 D,则由平面 A1BC⊥侧 A1ABB1, 2 2 2 2 2 2 2 2 且平面 A1BC∩侧 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC。 又∵BC?平面 A1BC,∴AD⊥BC。 ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥BC。 又 AA1∩AD=A,∴BC⊥侧面 A1ABB1。 又 AB?侧面 A1ABB1,∴AB⊥BC。 12.证明 (1)设 AC 与 BD 交于点 O, 1 ∵EF∥AC,且 EF=1,AO= AC=1, 2 ∴四 边形 AOEF 为平行四边形。 ∴AF∥OE。 ∵OE?平面 BDE,AF ?平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE。 (2)连接 FO,∵EF∥CO,EF=CO=1,且 CE=1, ∴四边形 CEFO 为菱形,∴CF⊥EO。 ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BD⊥AC。 又∵平面 ACEF⊥平面 ABCD, 且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, ∴BD⊥平面 ACEF。 ∴CF⊥BD, 又 BD∩EO=O, ∴CF⊥平面 BDE。

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