2019版高考数学理科一轮复习(全国2卷+B版)课件 §4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

高考理数 (课标Ⅱ专用) 第四章 三角函数及三角恒等变换 § 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式 和诱导公式 五年高考 A组 统一命题·课标卷题组 考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 3 4 1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=? ,则cos2α+2sin 2α=? ( A.? C.1 64 25 48 25 16 D.? 25 ) B.? 答案 A 选A. 3 1 ? 4 ? 3 cos α ? 4sin α cos α 1 ? 4 tan α 64 当tan α=? 时,原式=cos2α+4sin αcos α=? 2 =? 2 = 9 4 =? ,故 2 sin α ? cos α 4 tan α ? 1 ? 1 25 16 2 ? 思路分析 将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α),再将“弦”化“切”即可得到答 案. 方法总结 三角函数的化简求值问题,往往遵循以下原则:高次化低次,异角化同角,切化弦,若 可化为齐次式,则优先考虑. 2.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= 答案 -? 1 2 . 解析 本题主要考查两角和与差的正弦公式. 由sin α+cos β=1,cos α+sin β=0, 两式平方相加,得2+2sin αcos β+2cos αsin β=1, 整理得sin(α+β)=-? . 1 2 解题技巧 利用平方关系:sin2α+cos2α=1,进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应 熟练掌握. B组 自主命题· 省(区、市)卷题组 考点 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 1.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对 称.若sin α=? ,则cos(α-β)= 答案 -? 7 9 1 3 . 解析 本题考查同角三角函数的基本关系式,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∵sin α=? ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=? (k∈Z). 当cos α=?1 ? sin 2α =? 时,cos β=-? , 2 2 3 2 2 3 1 3 1 3 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=? ×? ?? 2 2 3 2 2 2 2 当cos α=-?1 ? sin 2α =-? 时,cos β=? , 3 3 ? 2 2? 1 1 7 ×? =-? . ? +? 3 3 9 3 ? ? ? 2 2? 2 2 1 1 7 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=? ×? =-? . ?? ? ×? +? ? 3 ? 3 3 3 9 7. 综上,cos(α-β)=-? 解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). ∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α]=-cos α,k∈Z. 1 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×? 1 -1=-? 7. 当sin α=? 3 9 9 9 2.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时 气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考 数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,?3 ≈1.73) 答案 60 解析 不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m,于是BD=AD· tan(90°-67°)=46×? 3 ≈79.6 m,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60 m. 9.5 m,DC=AD· tan(90°-30°)=46×? cos 67? =1 sin 67? 3.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P ? 3 4? ? ?? ,? ?. 5 5 ? ? (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=?,求cos β的值. 解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力. 4 ? 3 4? (1)由角α的终边过点P? , ? ? , ? ? 得sin α=-? 5 ? 5 5? 4 所以sin(α+π)=-sin α=? . 5 3 ? 3 4 ? 得cos α=-? (2)由角α的终边过点P? , ? , ? ? ? 5 5 5 ? ? 5 12 由sin(α+β)=? 得cos(α+β)=±? . 13 13 5 13 由β=(α+β)-α得 cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 56 或cos β=? 16 . 所以cos β=-? 65 65 思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值. (2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的 余弦公式得cos β的值. ,? 4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=? ? ? ? ?. ? ? 0, ? ? 2? ? 2 ? 2 2? ? ,n=(sin x,cos x),x∈ 2 ? (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为? ,求x的值. ? 3 解析 (1)因为m⊥n,所以m· n=? sin x-? cos x=0. sin x

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