北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明


北京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知 n ? 2 且 n ? N ,对 n 进行如下方式的“ 分拆” 2 → (1,3) , 3 → (1,3,5) , 4 → :
?
2

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2

2

2

(1,3,5,7) ,?,那么 361 的“分拆”所得的数的中位数是(
A.19 【答案】A 2.下面叙述正确的是( ) A.综合法、分析法是直接证明的方法 B.综合法是直接证法、分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 【答案】A B.21 C.29

) D.361

3.有一段演绎推理是这样的: “三角函数是周期函数, y ? tan x, x ? ( ? 所以 y ? tan x, x ? ( ? A.推理完全正确 C.小前提不正确

? ?

? ?

, ) 是三角函数, 2 2
)

, ) 是周期函数. ”在以上演绎推理中,下列说法正确的是( 2 2
B.大前提不正确 D.推理形式不正确

【答案】C 4.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至少有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有二个大于 60 度 【答案】B 5.已知

)

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 ,?,若 6 ? ? 6 ,( a , 3 3 8 8 15 15 t t ) t 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a , t 的值, a + t =( 2?
B.40 C.41 D.42

A.35 【答案】C

6.给出下列四个推导过程: ①∵a,b∈R+,? ②∵x,y∈R+,? ∴(b/a)+(a/b)≥2 ∴? lgx+lgy≥2 ; =2;

?③∵a∈R,a≠0,

?

∴(4/a)+a≥2

=4;

?④∵x,y∈? R ?,xy<0,

?∴(x/y)+(y/x)=-[ (-(x/y) )+(-(y/x)]≤-2 ) 其中正确的是( A.①② 【答案】D ) B.②③ C.③④ D.①④

=-2.

7.如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一 条固定直径的两个端点。那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的 图形大致是( )

【答案】A 8.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) :

则第 9 行中的第 4 个数是( A.132 【答案】C

) C.259 D.260

B.255

9.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 r ?

2S ; a?b?c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R, 四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( A. ) B.

V S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

2V S1 ? S2 ? S3 ? S4
D.

C.

4V S1 ? S2 ? S3 ? S4

【答案】C

?a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 10. 一位同学对三元一次方程组 ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 (其中实系数 ai , bi , ci ( i ? 1 , 2 , 3 ) 不全 ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3
为零)的解的情况进行研究后得到下列结论: 结论 1:当 D ? 0 ,且 Dx ? Dy ? Dz ? 0 时,方程组有无穷多解;

结论 2:当 D ? 0 ,且 Dx , D y , D z 都不为零时,方程组有无穷多解; 结论 3:当 D ? 0 ,且 Dx ? D y ? Dz ? 0 时,方程组无解. 但是上述结论均不正确.下面给出的方程组可以作为结论 1、2 和 3 的反例依次为( )

? x ? 2 y ? 3z ? 0 ?x ? 2 y ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? ? ? (1) ? x ? 2 y ? 3z ? 1 ; (2) ? x ? 2 y ? z ? 0 ; (3) ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 2 ?2 x ? 4 y ? 0 ?x ? 3 y ? z ? 2 ? ? ?
A. (2) (1) (3) 【答案】B 11.观察下列各式 7 A.01 【答案】B
2

B. (3) (1) (2)

C. (1) (2) (3)

D. (2) (3) (1) )

? 49, 73 ? 343, 7 4 ? 2401 ,?则 7 2011 的末两位数字为(
B.43 C.07 D.49

12.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命 题称为“可换命题”。下列四个命题,其中是“可换命题”的是( ①垂直于同一平面的两直线平行; ③平行于同一直线的两直线平行; A.①② 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不小于 60 度”时,正确的反设是 ____________ 【答案】三角形的内角中都小于 60 度 14.要研究可导函数 ①直接求导,得到 式;②先把 在某点
n ?1

)

②垂直于同一平面的两平面平行; ④平行于同一平面的两直线平行. C.①③ D.③④

B.①④

处的瞬时变化率,有两种方案可供选择: 代入导函数 代入导函数 的表达 的表

? f ? ? x ? ? n ?1 ? x ? ? ,再把横坐标

按二项式展开,逐个求导,再把横坐标

达式.综合①、②可得到某些恒等式,利用上述思想方法,可得到恒等式: =____________ 【答案】 n ? 2
n ?1

?

15.观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
?? 照此规律,第五个不等式为 ... 【答案】 1 ? .

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6

16.若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,有正确的结论:

(m ? n)ap ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,类比上述性质,相应地,若等比数列 {bn } , m, n, p
是互不相等的正整数,有____________. 【答案】 b p
m?n n? p p ?m

? bm

? bn

?1

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.观察(1) tan 5? tan 15? ? tan 5? tan 70? ? tan 15? tan 70? ? 1 (2) tan 10? tan 25? ? tan 25? tan 55? ? tan 10? tan 55? ? 1 (3) tan 20? tan 30? ? tan 20? tan 40? ? tan 30? tan 40? ? 1 由以上三式成立,推广到一般结论,写出一般结论,并证明。 【答案】由以上三式中的三个角分别为(1)5°,15°,70°它们的和为 90°(2)10°,25°, 55°它们的和为 90°(3)20°,30°,40°它们的和为 90°, 可归纳出:若 ?, ?, ? 都不为 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,且 ? ? ? ? ? ?

? 2

则: tan? tan? ? tan? tan ? ? tan? tan ? ? 1 证明如下: 若 ? ? k? , (k ? Z ) 则结论显然成立。 若 ? ? k? , (k ? Z ) 由 ? ? ? ? ? ?

? ? 得: ? ? ? ? ? ? 2 2

? 则: tan( ? ?)

? 1 ? tan( ? ? ) ? cot ? 2 tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? 又 tan(

? ?) ?

则: (tan? ? tan?) tan ? 1 ? tan? tan? 则: tan? tan? ? tan? tan ? ? tan? tan ? ? 1 18.设 x ? 0, y ? 0, z ? 0 .

x2 3x ? y 与 的大小; 4 x? y 2 2 2 (Ⅱ)求证: x ? y ? z ? xy ? yz ? zx ;
(Ⅰ)利用作差法比较

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx (Ⅲ)利用(Ⅰ) (Ⅱ)的结论,证明: . ? ? ? x? y y?z z?x 2 x2 3x ? y ( x ? y ) 2 x2 3x ? y 【答案】 (1)? ? ? ? 0 ,∴ ? x? y 4 4( x ? y) x? y 4 1 2 2 2 2 2 2 ( ? [ (Ⅱ) x ? y ? z ? xy ? yz ? zx) (x-y) ? ( y ? z ) ? ( z ? x ) ] ? 0 ; 2

? x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx 另证:x2 ? y 2 ? 2xy,y 2 ? z 2 ? 2 yz,z2 ? x2 ? 2zx,三式相加.

x3 3x 2 ? xy ? . x? y 4 z3 3 z 2 ? zx y3 3 y 2 ? yz ? 类似的 , , ? z?x 4 y?z 4
(Ⅲ)由(1)得 ∴

x3 y3 z3 3x 2 ? xy ? 3 y 2 ? yz ? 3z 2 ? zx ? ? ? x? y y?z z?x 4 2 2 2 3( x ? y ? z ) ? xy ? yz ? zx 3( xy ? yz ? zx) ? xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx ? ? ? 4 4 2

19.若实数 x, y , m 满足 (1)若 x
2

x ? m ? y ? m ,则称 x比y接近m ,

? 1 3接近0, 求x 的取值范围。 比
2

(2)对任意两个不相等的正数 a, b ,证明: a
2

b ? ab2比a3 ? b3接近2ab ab
2

【答案】 (1)由题意得 x ? 1 ? 3 ,即 ? 3 ? x ? 1 ? 3

? ?2 ? x ? 2

? x 的取值范围是 (?2,2)
(2)当 a, b 是不相等的正数时

a3 ? b3 ? (a 2b ? ab2 ) ? (a ? b) 2 (a ? b) ? 0
又a
2

b ? ab2 ? ab(a ? b) ? 2ab ab

? a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ? 2ab ab ? 0 ? a3 ? b3 ? 2ab ab ? a 2b ? ab2 ? 2ab ab ? 0

? a 2b ? ab2 ? 2ab ab |?| a3 ? b3 ? 2ab ab | |
? a 2b ? ab2比a3 ? b3接近2ab ab
20.已知△ABC 的三边长为 a、b、c,且其中任意两边长均不相等,若 , , 成等差数列,

1 a

1 1 b c

比较

b c 与 的大小,并用分析法证明你的结论. a b
b c ? . a b

【答案】大小关系为

证明:要证

b c b c 2 < ,只需证 < ,∵a、b、c>0,只需证 b <ac, a b a b

又∵

2 1 1 1 1 1 1 2 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 ,即 b ≤ac, a b c b a c ac
2

又 a、b、c 任意两边均不相等,∴b <ac 显然成立,故所得大小关系正确. 21.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四 个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”“四边形数列”? , 、 将构图边数增加到 n 可得到“ n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P (n, r ) ,

1,3,6,10 (1) (2) ( 3)

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; 试推导 P (n, r ) 关于 n 、 r 的解析式; 是否存在这样的“ n 边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所

有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1) P (3, r ) ?

r (r ? 1) r ( r ? 1) ? 36 ,所以,最小的 r ? 9 . ,由题意得 2 2

(2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 ar ?1

? ar ? n ? 2 , a1 ? 1

所以 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列, 所以 P(n, r ) ?

r (n ? 2)r (r ? 1) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) 2 2
2

(3) P(n, r ? 1) ? P(n, r ) ? (n ? 2)r 显然 n ? 3 满足题意, ]

? 2r ? 1

而结论要对于任意的正整数 r 都成立,则 (n ? 2)r 所以, 4 ? 4(n ? 2) ? 0 , n ? 3

2

? 2r ? 1 的判别式必须为零,

所以,满足题意的数列为“三角形数列”.

22.△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,求证:

1 1 3 ? ? 。 a?b b?c a?b?c
【答案】要证 即证
1 1 3 a?b?c a?b?c ,即需证 ? ? ? ?3。 a?b b?c a?b b?c a?b?c

c a 2 2 2 ? ? 1 。又需证 c (b ? c) ? a ( a ? b) ? ( a ? b)(b ? c) ,需证 c ? a ? ac ? b a?b b?c

∵△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos60? ,即 b2 ? c 2 ? a 2 ? ac 。 ∴ c 2 ? a 2 ? ac ? b2 成立,命题得证。


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