数列求通项与求和重难点梳理


数列求通项与求和重难点梳理
山东省淄博市博山区实验中学 发表于《教学考试》 一、求数列的通项 1.已知数列是等差、等比数列,直接套用公式求通项 【例 1】已知各项为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,对任意 n ? N? 均有 Sn?2 ? 4Sn ? 6 成立.求 等比数列 {an } 的通项 an . 【解析】 (Ⅰ)由已知,得 ? 张健

?S3 ? 4S1 ? 6,①

?S4 ? 4S2 ? 6,② a 2 ②-①,得 a4 ? 4a2 ,所以 q ? 4 ? 4 , a2 又因为等比数列 {an } 各项为正数,所以 q ? 2 .
又由①,得

a1 (1 ? 23 ) ? 4a1 ? 6 ,所以 a1 ? 2 . 1? 2

所以 an =2n . 2.已知数列的递推公式求通项 (1)公式法: “从右向左”利用公式 an ? ?

【例 2】已知 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? nan ? 3n(n ? 1) ,且 a2 ? 11 ,求数列 ?an ? 的通项 an . 【解析】因为 S 2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ? 1) ,又因为 a2 ? 11 ,所以 a1 ? 5 . 当 n ? 2 时,由 S n ? nan ? 3n(n ? 1) ,① 得 S n ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? 3(n ? 1)(n ? 2) ,② ① ? ②,得 an ? nan ? 3n(n ? 1) ? (n ? 1)an ?1 ? 3(n ? 1)(n ? 2) , 得 (n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? 6(n ? 1) ,即 an ? an ?1 ? 6 . 所以数列 {an } 是以 5 首项, 6 为公差的等差数列. 所以 an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 1 . (2)衍生法:用递推公式与其衍生形式相减或相除. 【 例 3 】 已 知 数 列

? S1,n ? 1 . ? Sn ? Sn?1,n ? 2

?an ?

满 足 : an?1 ? an ? n , 若 数 列

?bn ?

满 足 : b1 ? 4 ,

an ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 b b1 b2 ? 2 ? ? ? n n ,① 【解析】由 an ? 3 ?1 3 ?1 3 ?1 bn b ?1 b1 b2 ? 2 ??? n ? n ?n 得 an ?1 ? ,② 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1 b ?1 ? an ?1 ? an ? n ,即 bn?1 ? n(3n?1 ? 1) . ②-①,得 n ?n 3 1 ?1 ?4 ,n ? 1 所以 bn ? ? . n ( n ? 1 ) ( 3 ? 1) , n ? 2 ? 【评注】有的递推公式 n 取不同的值,其长度不变,是“无弹性”的,如例 2;有的递推公式 n 取不

同的值,其长度改变,是“有弹性”的,如例 3.

(3)累加法:若 ?

? ? a1 ? a , a ? a ? f n ? ? ? n ? 1 n ?

则 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ?+(an ? an?1 ) . (4)累乘法:若 ? 则 an ? a1 ?

? ?a1 ? a , ? ?an ?1 ? f ? n ? an

a a2 ??? n . a1 an?1 (5)化归法:若数列 {an } 既不是等差数列也不是等比数列,求其通项 an 时一般要采取“迂回战术” , 即构造(题目中常常已构造好)一个与数列 {an } 有关的等差数或等比数列 {bn } ,使 bn ? f (an ) ,先求 bn ,
再解出 an .

?1 3? ? an ? n ,n为奇数 ? 【例 4】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ,证明数列 ?a2 n ? ? 是等比数列,并 2? ? ?a ? 3n ? ,n为偶数 ? n
求 a2 n .

3 3 1 3 1 ,则 b1 ? a2 ? ? ( a1 ? 1) ? ? ? . 2 2 3 2 6 3 3 bn ?1 a2( n ?1) ? 2 a(2 n ?1) ?1 ? 2 ? ? 因为 3 3 bn a2 n ? a2 n ? 2 2 ?1 ? 3 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ?? 3 a2 n ? 2 1 3 ? a2n ? 3 ? (2n)? ? (2n ? 1) ? 2 ?3 3 a2 n ? 2
【解析】设 bn ? a2 n ? . 1 1 a2 n ? 2 ?1 ?3 3 3 a2 n ? 2 3 1 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. 2 6 3

3 1 ?1? 所以 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ? 3?
二、求数列的前 n 项和

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ,解得 a2 n ? ? ? ? ? ? . 2 ? 3? 2 ? 3? 2

n

n

1. “从左向右”利用公式 an ? ?

【例 5】 已知 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,S n ? nan ? 3n(n ? 1) , 且 a2 ? 11 , 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 【解析】当 n ? 2 时,由 S n ? nan ? 3n(n ? 1) ? n( S n ? S n ?1 ) ? 3n(n ? 1) , 得 (n ?1)Sn ? nSn?1 ? 3n(n ?1) ,即

? S1,n ? 1 . ? Sn ? Sn?1,n ? 2

S n S n ?1 ? ? 3. n n ?1

Sn } 是以 3 为公差的等差数列. n S 2a2 ? 6 ? 8, 又因为 2 ? 2 2 S 2 所以 n ? 8 ? 3( n ? 2) ? 3n ? 2 ,即 S n ? 3n ? 2n . n
所以数列 { 【评注】例 2 和例 5 的已知条件一样,求解时用的都是公式 an ? ? 前者是“逆用”公式,后者是“正用”公式. 前 n 项公式就是用此法推导的.

? S1,n ? 1 ,值得注意的是, ? Sn ? Sn?1,n ? 2

2.倒序相加法:如果数列 ?an ? 首末两端等“距离”的两项的和相等时常可用此法.比如,等差数列的

Sn ? a1 ? a2 ? …? an?1 ? an ,① Sn ? an ? an?1…? a2 ? a1 ,② ① + ②,得 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? …(an ? a1 ) ? n(a1 ? an ) , n(a1 ? an ) 所以 2Sn ? n(a1 ? an ) ,即 S n ? . 2 3.错位相减法:数列 {an } 的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的常可用此法. 4.裂项相消法:如果将数列 {an } 的每一项分解后求和就可以消去诸多项而剩余有限项时常可用此法. 1 【例 6】 (1)数列 {an } 满足: an ? ,则数列 {an } 的 10 项和 S9 ? ___________. n(n ? 1) n 2n ? 1 (2)数列 {an } 满足: an ? (?1) ,则数列 {an } 的 10 项和 S9 ? ___________. n(n ? 1) 1 1 1 【解析】 (1) 因为 an ? , ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 9 ? . 所以 S10 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1 ? 2 2 3 9 10 10 10 1 1 n 2n ? 1 ? (?1) n ( ? ), (2) 因为 an ? (?1) n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 9 ?? . 所以 S10 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? ?1 ? 2 2 3 9 10 10 10
【评注】 “裂项”只是一种手段, “相消”才是的目,因此, “裂项”时思路要开阔,不拘一格. 5.分组转化法:若数列 {an } 是由若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成时可用此法. 【例 7】设 cn ? (3n ? 5) ? 2 ,求数列 cn
n

? ? 的前 n 项和 T .
n

【解析】因为 cn ?1 ? cn ? 3 ? 2 ,
n

所以 n ? 1 时, c2 ? c1 ? 1 ? 0 ,即 c1 ? c2 ;

n ? 2 时, cn ?1 ? cn ? 0 ,即 cn ? cn ?1 .
所以 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? … ? cn ? … . 又因为 c1 ? 6 , c2 ? 7 , c3 ? 6 , c4 ? 1, c5 ? ?12 ,?, ①当 n ? 4 时, 所以数列 ?cn ? 的前 4 项为正,从第 5 项开始往后各项都为负.

Tn ?| c1 | ? | c2 | ??? | cn |? c1 ? c2 ? ? ? cn ?
②当 n ? 5 时, Tn ?| c1 | ? | c2 | ??? | cn |

3n2 ? 13n n?1 ?2 ?2 ; 2

? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5?? cn ? ?(c1 ? c2 ? ?? cn ) ? 2(c1 ? c2 ? c3 ? c4 )
3n2 ? 13n n ?1 ? 2 ? 2) 2 3n 2 ? 13n ?? ? 2n ?1 ? 38 . 2 ? 3n 2 ? 13n n ?1 ? 2 ? 2,n ? 4 ? ? 2 所以 S n ? ? . 2 3 n ? 13 n ?? ? 2n ?1 ? 38,n ? 5 ? ? 2 ? 1 n ?1 n?( ) ? ,n为奇数 ? ? 2 【例 8】设 an ? ? ,求数列 {an } 的 n 项和 Sn . 1 ? ,n为偶数 ? n(n ? 2) ? 【解析】 (1)当 n 为偶数时, 1 1 1 Sn ? [1? ( )0 ? 3 ? ( ) 2 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ? 2 ] 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] . 2 2 4 4 6 n n?2 1 0 1 2 1 n?2 设 T ? 1? ( ) ? 3 ? ( ) ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) ,① 2 2 2 1 2 1 2 1 4 1 n 则 ( ) T ? 1 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) ,② 2 2 2 2 3 1 0 1 2 1 4 1 n?2 1 n ①-②,得: T ? 1 ? ( ) ? 2[( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ] ? ( n ? 1) ? ( ) , 4 2 2 2 2 2 1 1 n ?( ) 3 4 2 ? (n ? 1) ? ( 1 ) n , Tn ? 1 ? 2 ? 1 4 2 1? 4 20 12n ? 20 1 n ? ?( ) . 得: Tn ? 9 9 2 20 12n ? 20 1 n n ? ?( ) ? 所以, Sn ? . 9 9 2 4(n ? 2) (2)当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数 Sn ? Sn?1 ? an?1 20 12n ? 32 1 n?1 n ?1 1 ?[ ? ?( ) ? ]? 9 9 2 4(n ? 3) (n ? 1)(n ? 3) 20 12n ? 32 1 n?1 n ?1 ? ? ?( ) ? . 9 9 2 4(n ? 1) n ? 20 12n ? 20 1 n ?( ) ? ? ,n是偶数 ?9 ? 9 2 4(n ? 2) ? 综上, S n ? ? . 20 12 n ? 32 1 n ? 1 n ? 1 ? ? ?( ) ? ? ,n是奇数 ?9 9 2 4(n ? 1) ? ? 40 ? (
【评注】例 7 和例 8 主体上采用的都是“分组转化法” ,具体环节上,例 7 采用的是直接套用等差、 等比数列前 n 项和公式的方法,例 8 采用的是“错位相减法” 、 “裂项相消法”.


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