2017-2018学年高中数学:第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

**2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角** 预习课本 P106~107,思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么? (2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直? [新知初探] 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量,向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ. 数量积 向量垂直 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 a· b=x1x2+y1y2 a⊥b?x1x2+y1y2=0 [点睛] 记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”. 2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式 (1)向量的模:设 a=(x,y),则|a|= x2+y2. (2)两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ, x1x2+y1y2 a· b 则 cos θ= = 2 2 2. |a||b| x1+y1· x2 2+y2 [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和.( ) ) ) (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.( (3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ<0,则两向量的夹角 θ 一定是钝角.( 答案:(1)× (2)× (3)× ) D.-7 2.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则 a· b 的值是( A.23 答案:D B.7 C.-23 3.已知向量 a=(x-5,3),b=(2,x),且 a⊥b,则由 x 的值构成的集合是( A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6} ) 答案:C 4.已知 a=(1, 3),b=(-2,0),则|a+b|=________. 答案:2 平面向量数量积的坐标运算 [典例] A.-1 C.1 (1)(全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a=( B.0 D.2 ) (2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB =(1, -2), AD =(2,1),则 AD ·AC =( A.5 C.3 [解析] (1)a=(1,-1),b=(-1,2), ∴(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1. (2)由 AC = AB + AD =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得 AD ·AC =(2,1)· (3,-1)= 5. [答案] (1)C (2)A ) B.4 D.2 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条 途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将 原式展开,再依据已知计算. [活学活用] 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b· c)· a. 解:(1)因为 a 与 b 同向,又 b=(1,2), 所以 a=λb=(λ,2λ). 又 a· b=10,所以 1· λ+2· 2λ=10,解得 λ=2>0. 因为 λ=2 符合 a 与 b 同向的条件,所以 a=(2,4). (2)因为 b· c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b· c)· a=0· a=0. 向量的模的问题 [典例] +b|=( A. 5 C.2 5 ) (1)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a B. 10 D.10 (2)已知点 A(1,-2),若向量 AB 与 a=(2,3)同向,| AB |=2 13,则点 B 的坐标是 ________. ? ? ? ?a⊥c, ?2x-4=0, ?x=2, [解析] (1)由? ?? ?? ?b∥c ? ?y=-2. ? ?2y+4=0 ? ∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1). ∴|a+b|= 10. (2)由题意可设 AB =λa(λ>0), ∴ AB =(2λ,3λ).又| AB |=2 13, ∴(2λ)2+(3λ)2=(2 13)2,解得 λ=2 或-2(舍去). ∴ AB =(4,6).又 A(1,-2),∴B(5,4). [答案] (1)B (2)(5,4) 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算: 若 a=(x,y),则 a· a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= x2+y2. [活学活用] 1.已知向量 a=(cos θ,sin θ),向量 b=( 3,0),则|2a-b|的最大值为________. 解析:2a-b=(2cos θ- 3,2sin θ), |2a-b|= ?2cos θ- 3?2+?2sin θ?2 = 4cos2θ-4 3cos θ+3+4sin2θ = 7-4 3cos θ, 当且仅当 cos θ=-1 时,|2a-b|取最大值 2+ 3. 答案:2+ 3 2.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a· b)b,则|c|=________. 解析: ∵a=(2,4), b=(-1,2), ∴a· b=2×(-1)+4×2=6, ∴c=a-(a· b)b=(2,4)-6(- 1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8), ∴|c|= 82+?-8?2=8 2. 答案:8 2 向量的夹角和垂直问题 [典例] (1)已知 a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数 λ=____

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