高中数学课件:第二章 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念及通公式_图文

课前预习·巧设计

第 二 章 数 列

2 . 2 等 差 数 列

第一 课时

等差 数列 的概 念及 通项 公式

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[读教材·填要点]
1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母d表示.

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2.等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做 a与b 的
等差中项. 3.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则它的通项 公式为an= a1+(n-1)d .

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[小问题·大思维] 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差 都等于常数,该数列还是等差数列吗? 提示:不一定.必须是同一个常数,才能保证该数列 为等差数列.

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2.若a是3与5的等差中项,则a为何值? 提示:3+5=2a,即a=4. 3.等差数列-5,-3,-1,1,…的公差为何值?通项公式 是什么?

提示:a1=-5,d=(-3)-(-5)=2,
∴an=a1+(n-1)d=-5+2(n-1)=2n-7.

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4.等差数列的公差与增减性的关系是什么?

提示:等差数列的公差与增减性的关系
公差d 数列{an}的增减性 例子 1,2,3,4,…,n

d>0 数列{an}为递增数列

d=0

数列{an}为常数列

1,1,…,1,1

d<0 数列{an}为递减数列 3,2,1,0,-1,…,4-n

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[研一题] [例1] 20,求a75. 若数列{an}为等差数列,且a15=8,a60=

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[自主解答]

设等差数列{an}的公差为 d,则

64 ? ?a15=a1+14d=8, ?a1=15, ? ? 解之得? ?a60=a1+59d=20, ? ?d= 4 . 15 ?

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∴an=a1+(n-1)d 64 4 4 =15+15(n-1)=15n+4 4 ∴a75=15×75+4=20+4=24.

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保持例1条件不变,若am∈(1,10),则m为何值?

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4 解:由例题可知,am=15m+4, 4 ∴1<15m+4<10. 4 45 45 即-3<15m<6.∴- 4 <m< 2 , 又∵m∈N*,∴m=1,2,3,4,…,22.

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[悟一法]

欲求等差数列的通项公式,只需确定它的首项a1和公
差d,然后代入公式an=a1+(n-1)d即可.

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[通一类] 1.在等差数列{an}中,已知 a5=11,a8=5,求 a10.
?a5=a1+4d=11, ? 解:∵? ?a8=a1+7d=5, ?

① ②

②-①得 3d=-6,d=-2, 代入①得 a1=11-4d=19 ∵an=a1+(n-1)d, ∴a10=19+(10-1)×(-2)=1.

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[研一题]

[例2]

已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+

nq(n∈N*,p,q为常数),且x1、x4、x5成等差数列.求:p,

q的值.

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[自主解答]

由x1=3,得2p+q=3,①

又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q,②

由①②得q=1,p=1.

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[悟一法] 若三数a,b,c成等差数列,则a+c=2b,即b为a,c 的等差中项,这个结论在已知等差数列的题中经常用到.

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[通一类] 2.已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分 别为________,________,________.

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解:由等差中项可得8+2=2a,即a=5.

a+b=2×2,即b=-1,2+c=2b,
c=-4.

答案:5 -1

-4

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[研一题] 2an 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= , an+2

[例 3]

1 (1)数列{a }是否为等差数列?说明理由. n (2)求 an.

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[自主解答]

1 (1)数列{a }是等差数列,理由如下: n

2an ∵a1=2,an+1= , an+2 an+2 1 1 1 1 1 ∴ = 2a =2+a .∴ -a =2. an+1 an+1 n n n 1 1 1 1 1 即{a }是首项为a =2,公差为 d=2的等差数列. n 1 1 1 n 2 (2)由上述可知a =a +(n-1)d= 2 ,∴an=n.
n 1

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[悟一法]

证明一个数列是等差数列常用的方法如下
(1)定义法:an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N*)?数列{an}为 等差数列. (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*)?数列{an} 为等差数列.

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[通一类] 1 1 1 3.若 , , 是等差数列,求证:a2,b2,c2 成 b+c c+a a+b 等差数列.

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1 1 1 证明:∵ , , 是等差数列, b+c c+a a+b 1 1 2 ∴ + = . b+c a+b c+a ∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).

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∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).

∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.
∴a2+c2=2b2.

∴a2,b2,c2成等差数列.

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三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数. [巧思] 三个数成等差数列,设法很多,“对称设项”

最巧妙,运算最简单.

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[妙解]

设三个数分别为 a-d, a+d, a, 则据题意可得:

?a-d+a+a+d=6, ? ? ??a-d?a?a+d?=-24, ?

解得 a=2,d=± 4. 所以,这三个数分别为-2,2,6 或 6,2,-2.

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