新疆乌鲁木齐二十三中2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)


新疆乌鲁木齐二十三中 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设集合 A={x|y=ln(1﹣x)},集合 B={y|y=x },则 A∩B=() A.[0,1] B.[0,1) C.(﹣∞,1] D.(﹣∞,1) 2. (5 分)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=() A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i
2

D.3﹣2i

3. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

4. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,则 k 的值为() A.8 B. 7 C. 6 D.5 5. (5 分)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为()

A.k>4?

B.k>5?
3 2

C.k>6?

D.k>7?

6. (5 分)设 a∈R,函数 f(x)=x +ax +(a﹣3)x 的导函数是 f′(x) ,若 f′(x)是偶函数, 则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=﹣3x B.y=﹣2x C.y=3x D.y=2x 7. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何 体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的 概率为()

A.
2

B.
2

C.

D.

9. (5 分)若双曲线 x +ky =1 的离心率是 2,则实数 k 的值是() A.﹣3 B. C. 3 D.

10. (5 分)已知向量 A.1 B.

, C. 3

,则 D.9

的最大值为()

11. (5 分)函数 () A. B.

在[﹣2,2]上的最大值为 2,则 a 的范围是

C.(﹣∞,0]

D.

12. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈(﹣1,1]时,f(x)=|x|.则 函数 y=f(x)的图象与函数 y=log4|x|的图象的交点的个数为() A.3 B. 4 C. 6 D.8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分)在 的二项展开式中,x 的系数为 (用数字作答)

14. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 z=3

x+2y

的值域是.

15. (5 分)已知数列{an}满足 a1=2,

,则 a2015 的值为.

16. (5 分)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 棱锥 O﹣ABCD 的体积为.

,则

三、解答题(本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 2 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求△ ABC 的面积.

18. (12 分)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1,2,3,4,5, 6. (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有两次编号为 3 的倍数的概 率; (Ⅱ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列和 X 的 数学期望. 19. (12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平 面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值.

20. (12 分)已知函数 f(x)= ax ﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求 y=f(x)在区间(0,2]上的最大值.

2

21. (12 分)已知直线 y=﹣x+1 与椭圆

+

=1(a>b>0)相交于 A、B 两点.

①若椭圆的离心率为 ②若向量 与向量

,焦距为 2,求线段 AB 的长; 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求椭

圆的长轴长的最大值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 AD 是△ ABC 的角平分线,以 AD 为弦的圆与 BC 相切于 D 点,与 AB,AC 交于 E,F.求证: AE?CF=BE?AF.

【选修 4-4:极坐标与参数方程】

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .再以原点为极点,

以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位.在该极坐 标系中圆 C 的方程为 ρ=4sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 M 的坐标为(﹣2,1) ,求|MA|+|MB|的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3,若 f(x)≤5,求 x 的取值 范围.

新疆乌鲁木齐二十三中 2015 届高三上学期 8 月月考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 2 1. (5 分)设集合 A={x|y=ln(1﹣x)},集合 B={y|y=x },则 A∩B=() A.[0,1] B.[0,1) C.(﹣∞,1] D.(﹣∞,1)

考点: 交集及其运算;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A={x|y=ln(1﹣x)},表示函数 y=ln(1﹣x)的定义域,集合 B={y|y=x }, 2 表示 y=x 的值域,我们不难求出集合 A,B,再根据集合交集的定义,不难得到答案. 解答: 解:∵A={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1}, 2 B={y|y=x }={y|y≥0}, ∴A∩B=[0,1) . 故选 B 点评: 遇到两个连续数集的运算,其步骤一般是:①求出 M 和 N;②借助数轴分析集合 运算结果,方法是:并集求覆盖的最大范围,交集求覆盖的公共范围. 2. (5 分)设复数 z 满足(z﹣2i) (2﹣i)=5,则 z=() A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把给出的等式两边同时乘以 ,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则 z 可
2

D.3﹣2i

求. 解答: 解:由(z﹣2i) (2﹣i)=5,得: , ∴z=2+3i. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题.

3. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 可得 f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0,由零点的判定定理可得. 解答: 解:∵f(x)= ﹣log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0, 满足 f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C 点评: 本题考查还是零点的判断,属基础题. 4. (5 分)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,则 k 的值为()

A.8

B. 7

C. 6

D.5

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a1=1,a3=5,可解得公差 d,进而由 Sk+2﹣Sk=36 可得 k 的方程,解之即可. 解答: 解:由 a1=1,a3=5,可解得公差 d= =2,

再由 Sk+2﹣Sk=ak+2+ak+1=2a1+(2k+1)d=4k+4=36, 解得 k=8, 故选 A 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 5. (5 分)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为()

A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7?

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为 k>4 故答案选 A.

点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度重 视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变 量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理 解流程图的含义而导致错误. 6. (5 分)设 a∈R,函数 f(x)=x +ax +(a﹣3)x 的导函数是 f′(x) ,若 f′(x)是偶函数, 则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=﹣3x B.y=﹣2x C.y=3x D.y=2x 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先由求导公式求出 f′(x) ,根据偶函数的性质,可得 f′(﹣x)=f′(x) ,从而求出 a 的值,然后利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程. 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+(a﹣3) , ∵f′(x)是偶函数, 2 2 ∴3(﹣x) +2a(﹣x)+(a﹣3)=3x +2ax+(a﹣3) , 解得 a=0, ∴k=f′(0)=﹣3, ∴切线方程为 y=﹣3x. 故选 A. 点评: 本题主要考查求导公式,偶函数的性质以及导数的几何意义,难度中等.
3 2

7. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何 体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断正 误;同理判断 D 的正误即可. 解答: 解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么 此几何体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C.

解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时, 该几何体是圆柱, 底面积是 当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 , , 高为 1, 则体积是 ;

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力; 注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 8. (5 分)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的 概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形可得,阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,其面积为∫0 (
1

﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 故选 C. 点评: 本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影 部分的面积. 9. (5 分)若双曲线 x +ky =1 的离心率是 2,则实数 k 的值是() A.﹣3 B. C. 3 D.
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.

分析: 先根据双曲线方程可知 a 和 b,进而求得 c 的表达式,利用离心率为 2 求得 k 的值. 解答: 解:依题意可知 a=1,b= ∴c= ∴ = =2,求得 k=﹣±

故选 B 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生的基础知识的积累.

10. (5 分)已知向量 A.1 B.

, C. 3

,则 D.9

的最大值为()

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 用向量的坐标运算表示出 解答: 解: 4sin(θ+ )=﹣1 时, 的大小,再利用三角函数知识求最大值. =1+4﹣2( 取得最大值 9, cosθ+sinθ)=5﹣4sin(θ+ 的最大值为 3 ) ,当

故选 C 点评: 本题考查向量的运算,向量的模、三角函数的性质,考查计算能力.

11. (5 分)函数 () A. B.

在[﹣2,2]上的最大值为 2,则 a 的范围是

C.(﹣∞,0]

D.

考点: 函数最值的应用. 专题: 常规题型. 分析: 先画出分段函数 f(x)的图象,如图.当 x∈[﹣2,0]上的最大值为 2; 欲使得函数 在[﹣2,2]上的最大值为 2,则当 x=2 时,e 的值必须小 于等于 2,从而解得 a 的范围. 解答: 解:先画出分段函数 f(x)的图象, 如图.当 x∈[﹣2,0]上的最大值为 2;
2a

欲使得函数 的值必须小于等于 2, 2a 即 e ≤2, 解得:a 故选 D.

在[﹣2,2]上的最大值为 2,则当 x=2 时,e

2a

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 12. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈(﹣1,1]时,f(x)=|x|.则 函数 y=f(x)的图象与函数 y=log4|x|的图象的交点的个数为() A.3 B. 4 C. 6 D.8

考点: 函数的周期性;函数的图象;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: f(x)是个周期为 2 的周期函数,且是个偶函数,在一个周期(﹣1,1]上,图象是 2 条斜率分别为 1 和﹣1 的线段,且 0≤f(x)≤1,同理得到在其他周期上的图象; y=log4|x|是偶函数,图象过(1,0) ,和(4,1) ,结合图象可得函数 y=f(x)的图象与函数 y=log4|x|的图象的交点个数. 解答: 解:由题意知,函数 y=f(x)是个周期为 2 的周期函数,且是个偶函数,在一个周 期(﹣1,1]上, 图象是 2 条斜率分别为 1 和﹣1 的线段,且 0≤f(x)≤1,同理得到在其他周期上的图象. 函数 y=log4|x|也是个偶函数,先看他们在[0,+∞)上的交点个数, 则它们总的交点个数是在[0,+∞)上的交点个数 的 2 倍,在(0,+∞)上,y=log4|x|=log4x,图象过(1,0) ,和(4,1) ,是单调增函数,与 f(x)交与 3 个不同点, ∴函数 y=f(x)的图象与函数 y=log4|x|的图象的交点个数是 6 个. 故选 C. 点评: 本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性,体现数形结合的数学思想.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分)在 的二项展开式中,x 的系数为﹣40 (用数字作答)

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在 得 x 的系数. 解答: 解: (﹣1) ?2
r 5﹣r

的展开式通项公式,再令 x 的幂指数等于 1,求得 r 的值,即可求

的二项展开式的通项公式为 Tr+1= ?x
10﹣3r

?2

5﹣r

?x

10﹣2r

?(﹣1) ?x =

r

﹣r

?


2

令 10﹣3r=1,解得 r=3,故 x 的系数为﹣2 ?

=﹣40,

故答案为:﹣40. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,属于中档题.

14. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 z=3

x+2y

的值域是[1,9].

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据给出的线性约束条件,求出 x+2y 的范围,然后运用指数函数的单调性求 z 的值 域. 解答: 解:令 t=x+2y,由线性约束条件可得可行域如图, 当目标函数过 O(0,0)时 t 有最小值 0,当目标函数过 A(0,1)时 t 有最大值 2, 所以 z=3 =3 ∈[1,9]. 故答案为[1,9].
x+2y t

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想,考查了不等式的解法, 解答此题的关键是找出最优解,是基础题.

15. (5 分)已知数列{an}满足 a1=2,

,则 a2015 的值为﹣ .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 首先根据已知条件和递推关系式求出数列中的各项,进一步求出数列的周期,最后 确定结果. 解答: 解:已知数列{an}满足 a1=2, (n∈N ) ,
+

根据数列的递推关系式求得:







, … 所以数列的周期为:4, 则:2015÷3=503×4+3, 所以: 故答案为: . ,

点评: 本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,数列的周期性的应用,属于基础 题型. 16. (5 分)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 棱锥 O﹣ABCD 的体积为 8 . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. ,则

分析: 由题意求出矩形的对角线的长,结合球的半径,球心到矩形的距离,满足勾股定理, 求出棱锥的高,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:矩形的对角线的长为: =2, 所以棱锥 O﹣ABCD 的体积为: =8 . ,所以球心到矩形的距离为:

故答案为:8 点评: 本题是基础题,考查球内几何体的体积的计算,考查计算能力,空间想象能力,常 考题型. 三、解答题(本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 2 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求△ ABC 的面积.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定 出 A 的大小; (Ⅱ)由 cosB 的值,求出 sinB 的值,利用正弦定理求出 a 的值,将 a 与 b 的值代入已知等式 中求出 c 的值,由 b,c,sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵b +c =a +bc,即 b +c ﹣a =bc, ∴cosA= 又 A∈(0,π) , ∴A= ; ,B∈(0,π) , = =
2 2 2 2 2 2 2

= ,

(Ⅱ)∵cosB= ∴sinB= 由正弦定理
2 2 2

, ,得 a= =3,

∵b +c =a +bc,即 4+c =9+2c, 2 整理得:c ﹣2c﹣5=0, 解得:c=1± , ∵c>0, ∴c= +1, 则 S△ ABC= bcsinA= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键. 18. (12 分)一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1,2,3,4,5, 6. (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有两次编号为 3 的倍数的概 率; (Ⅱ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X,求随机变量 X 的分布列和 X 的 数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (I)从袋中随机抽取 1 个球,由已知条件求出其编号为 3 的倍数的概率,由此能求 出有放回的抽取 3 次,恰有 2 次编号为 3 的倍数的概率. (II)随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6.分别求出 P(X=3) ,P(X=4) ,P(X=5) , P(X=6) ,由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望. 解答: 解: (I)从袋中随机抽取 1 个球, 其编号为 3 的倍数的概率 p= = , (2 分) 有放回的抽取 3 次,恰有 2 次编号为 3 的倍数的概率为 P3(2)= = . (6 分)

(II)随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6. (7 分) P(X=3)= = ,P(X=4)= = ,

P(X=5)=

=

,P(X=6)=

= ,

∴随机变量 X 的分布列为: X 3 4 P (11 分) EX=3× +4× +5× +6× =

5

6

. (13 分)

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要注意排列组合的合理运用. 19. (12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平 面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)由正方形性质得 AA1⊥AC,由面面垂直得 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 由勾股定理得 AC⊥AB,由此能证明 AA1⊥平面 ABC. (2)以 A 为原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz,求出平面 A1BC1 的法向量和平面 B1BC1 的一 个法向量,由此利用向量法能求出二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值. 解答: (1)证明:因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, 且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 又 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,AB=3,BC=5. 2 2 2 所以 AC=4,AC +AB =BC ,即 AC⊥AB, 又 AA1∩AB=A, 所以 AA1⊥平面 ABC. (2)解:由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz, 则 B(0,3,0) ,A1(0,0,4) ,B1(0,3,4) ,C1(4,0,4) . 设平面 A1BC1 的法向量为 =(x,y,z) , =(0,3,﹣4) , =(4,0,0) ,



令 z=3,则 x=0,y=4,所以 =(0,4,3) . 同理可得,平面 B1BC1 的一个法向量为 =(3,4,0) . 所以 cos<n,m>= = .

由题知二面角 A1BC1B1 为锐角, 所以二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为 .

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二 面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用, 意在考查方程思想、 等价转化思想等 数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力.
2

20. (12 分)已知函数 f(x)= ax ﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求 y=f(x)在区间(0,2]上的最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数 的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,求出函数的导函数,进而分析函数的单调性,得到 f(x)的单调 区间; (Ⅱ)求出原函数的导函数,结合二次函数的图象和性质,分 a=0 时,0<a≤ 时,a> 时三 种情况,分析函数 y=f(x)在区间(0,2]上的单调性,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ) 当 a=0 时,f(x)=﹣x+2lnx, ∴f′(x)=﹣1+ = (2 分)

∵在区间(0,2)上,f′(x)>0; 在区间(2,+∞)上,f′(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是(2,+∞) . (5 分) (Ⅱ)∵f(x)= ax ﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0) ∴f′(x)=ax﹣(2a+1)+ = (7 分)
2

①当 a=0 时,由(Ⅰ)知 f(x)在(0,2]上单调递增, 故在(0,2]上,f(x)max=f(2)=2ln2﹣2(9 分) ②当 0<a≤ 时, ≥2, 在区间(0,2]上,f′(x)≥0 恒成立; 故 f(x)在(0,2]上单调递增 故在(0,2]上,f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2(11 分) ③当 a> 时,0< <2, 在区间(0, ]上,f′(x)≥0 恒成立;

在区间[ ,2]上,f′(x)≤0 恒成立, f(x)在(0, ]上单调递增,在[ ,2]上单调递减, (9 分) 故在(0,2]上 f(x)max=f( )=﹣2﹣ ﹣2lna. (13 分)

点评: 本题考查的知识点是导数法判断函数的单调性,熟练掌握导数的符号与原函数单调 性的关系是解答的关键.

21. (12 分)已知直线 y=﹣x+1 与椭圆

+

=1(a>b>0)相交于 A、B 两点.

①若椭圆的离心率为 ②若向量 与向量

,焦距为 2,求线段 AB 的长; 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求椭

圆的长轴长的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (1)由椭圆的离心率为 ,焦距为 2,求出椭圆的方程为 .联立

,消去 y 得:5x ﹣6x﹣3=0,再由弦长公式能求求出|AB|.

2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由
2 2 2 2 2 2

,知 x1x2+y1y2=0,由
2 2

,消去 y 得
2 2

(a +b )x ﹣2a x+a (1﹣b )=0,再由根的判断式得到 a +b >1,利用韦达定理,得到 a +b 2 2 ﹣2a b =0.由此能够推导出长轴长的最大值. 解答: 解: (1)∵ ∴a= ,b= ,2c=2, ,

∴椭圆的方程为

.…(2 分)

联立

,消去 y 得:5x ﹣6x﹣3=0,

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∴|AB|= = ?





=

.…(5 分)

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ ,∴ ,

即 x1x2+y1y2=0,
2 2 2 2 2 2


2

,消去 y 得(a +b )x ﹣2a x+a (1﹣b )=0,
2 2 2 2 2 2 2

由△ =(﹣2a ) ﹣4a (a +b ) (1﹣b )>0,整理得 a +b >1…(7 分) ∵ , ,

∴y1y2=(﹣x1+1) (﹣x2+1)=x1x2﹣(x1+x2)+1, ∴x1x2+y1y2=0,得:2x1x2﹣(x1+x2)+1=0, ∴
2 2 2 2



整理得:a +b ﹣2a b =0.…(9 分) 2 2 2 2 2 2 ∴b =a ﹣c =a ﹣a e ,代入上式得 2a =1+
2

,∴

,…(10 分)

∵ ∴

, ,∴ ,



,∴



∴ 由此得

适合条件 a +b >1. ,∴ .…(12 分) ,

2

2

故长轴长的最大值为

点评: 本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意向 量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 AD 是△ ABC 的角平分线,以 AD 为弦的圆与 BC 相切于 D 点,与 AB,AC 交于 E,F.求证: AE?CF=BE?AF. 考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: 做出辅助线连接 ED, 根据圆与 BC 切于 D, 得到∠BDE=∠BAD, 根据 AD 平分∠BAC 得到∠BAD=∠DAC,得到两条线段平行,线段成比例,把比例式化成乘积式得到结论. 解答: 证明:连接 ED ∵圆与 BC 切于 D, ∴∠BDE=∠BAD ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 又∠DAC=∠DEF ∴∠BDE=∠DEF ∴EF∥BC ∴ 即 AE?CF=BE?AF

点评: 本题考查与圆有关的比例线段,本题证明的关键是先证出线段平行,根据平行得到 对应线段成比例,得到结论. 【选修 4-4:极坐标与参数方程】

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .再以原点为极点,

以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位.在该极坐 标系中圆 C 的方程为 ρ=4sinθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 M 的坐标为(﹣2,1) ,求|MA|+|MB|的值. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 分析: 对第(1)问,先将方程 ρ=4sinθ 的两边同时乘以 ρ,得 ρ =4ρsinθ,再利用极坐标与 直角坐标的互化公式,可得圆 C 的直角坐标方程; 对第(2)问,先验证点 M 在直线 l 上,由已知点 M 写出 l 的参数方程,再将此参数方程代入 圆的直角坐标方程中,得到关于 t 的一元二次方程,根据韦达定理及直线参数方程的几何含义 可探求|MA|+|MB|的值. 2 解答: 解: (1)方程 ρ=4sinθ 的两边同时乘以 ρ,得 ρ =4ρsinθ,

将极坐标与直角坐标互化公式
2 2

代入上式,

整理得圆 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣4y=0.

(2)由

消去 t,得直线 l 的普通方程为 y=x+3,

因为点 M(﹣2,1)在直线 l 上,可设 l 的标准参数方程为



代入圆 C 的方程中,得

. >0,t1t2=1>0,

设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,由韦达定理,得 于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|= ,

即|MA|+|MB|= . 点评: 1.极坐标方程化直角坐标方程,一般通过两边同时平方,两边同时乘以 ρ 等方式, 构造或凑配 ρ ,ρcosθ,ρsinθ,再利用互化公式转化.常见互化公式有 ρ =x +y ,ρcosθ=x, ρsinθ=y, (x≠0)等.
2 2 2 2

2.参数方程化普通方程,关键是消参,常见消参方式有:代入法,两式相加、减,两式相乘、 除,方程两边同时平方等. 3.运用参数方程解题时,应熟练参数方程中各量的含义,即过定点 M0(x0,y0) ,且倾斜角 为 α 的直线的参数方程为 终点的向量 . 的数量,即当 ,参数 t 表示以 M0 为起点,直线上任意一点 M 为 沿直线向上时,t= ;当 沿直线向下时,t=﹣

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣4|+|x﹣a|(a>1) ,且 f(x)的最小值为 3,若 f(x)≤5,求 x 的取值 范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用不等式的性质对|x﹣4|+|x﹣a|进行放缩,求出其用 a 表示的最小值,因为 f(x) 的最小值为 3,从而求出 a 值,把 f(x)代入 f(x)≤5,然后进行分类讨论求解. 解答: 解:因为|x﹣4|+|x﹣a|≥|(x﹣4)﹣(x﹣a)|=|a﹣4|,…(3 分) 所以|a﹣4|=3,即 a=7 或 a=1…(5 分)

由 a>1 知 a=7; …(6 分) ∴f(x)=|x﹣4|+|x﹣7|≤5, ①若 x≤4,f(x)=4﹣x+7﹣x=11﹣2x≤5,解得 x≥3,故 3≤x≤4; ②若 4<x<7,f(x)=x﹣4+7﹣x=3,恒成立,故 4<x<7; ③若 x≥7,f(x)=x﹣4+x﹣7=2x﹣11≤5,解得 x≤8,故 7≤x≤8; 综上 3≤x≤8, 故答案为:3≤x≤8. …(10 分) 点评: 此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题,这类题目是 2015 届高考的 热点,难度不是很大,要注意不等号进行放缩的方向.


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