福建省罗源一中2013届高三上学期第一次月考(数学文)

福建省罗源县第一中学 2013 届高三第一次月考数学文试题
命题者:
1 等于 (1 ? i ) 2
B -

完卷时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1. 复数 ( )D

A

1 2

1 2

C、

1 i 2

D -

1 i 2

2 . 设 集 合 M ? ?x | ( x ? 3)( x ? 2) ? 0, x ? R?, N ? ?x |1 ? x ? 3, x ? R? , 则 M ? N ? ( )A (A) ?1, 2 ? (B) [1, 2] (C) ? 2,3? (D) [2,3]

3.已知向量 a、b 都是非零向量, a ? b ?| a | ? | b | ”是“ a // b ”的( “ A.充分非必要条件. C.充要条件.
x 1

?

?

? ?

?

?

?

?

)A

B.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件. )B

?1? 4.若方程 ? ? ? x 3 有实数解 x0 ,则 x0 属于 ( ?2?
A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

B. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?
)B (C)33

D. ?1, 2 ?

5.等差数列 {an } 中, a6 ? 2, S5 ? 30, 则 S8 ? ( (A)31 6.已知 sin(? ? (B)32

(D)34

1 ) ? , 则 sin 2? ? ( 4 3 1 1 (A) (B) ? 9 9

?

)D (C)

7.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 式是( )A
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
2

7 9

(D) ?

7 9

A. y ? 2sin x 8.函数 y ? ( ) x

B. y ? 2 cos x 的值域为( B. ? ??, 2? )D

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

1 2

2

?2 x

A. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ? 0, 2?

10. 若函数 f (x) 的导函数 f ?( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x ? 1) 的单调递减区间是 ( A. (0,2) B. (1,3) C. (?4,?2) D. (?3,?1)

)A

11.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 令 a⊙b ? x1 y2 ? x2 y1 ,则下列说法错误的是( .. (A)对任意的 ? ? R, (? a ) ⊙b ? a⊙( ? b) (C) ( a⊙b ) 2 ?( a ? b )2 ?| a |2 | b |2 )B (B)a⊙b ? b⊙a

(D)若 a 与 b 共线,则 a⊙b ? 0

12.对于函数 y ? f ( x)( x ? I ), y ? g ( x)( x ? I ), 若对于任意 x ? I , 存在 x0 , 使得

f ( x) ? f ( x0 ), g ( x) ? g ( x0 ) 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则称 f ( x), g ( x) 为“兄弟函数”.已知
函数 f ( x) ? x ? px ? q( p, q ? R), g ( x) ?
2

1 x2 ? x ? 1 是定义在区间 x ? [ , 2] 上的“兄弟函 2 x
)B (D)

数” ,那么函数 f ( x ) 在区间 x ? [ , 2] 上的最大值为( (A)

1 2

3 2

(B)2

(C)4

5 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13. 在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 , c ? 3 , 则B ? .

5? 6

14 . 设 函 数 f ( x) ? ? 是 . ?0,?? ?

?21? x ,

x ?1 , 则 满 足 f ( x) ? 2 的 x 的 取 值 范 围 ?1 ? log 2 x, x ? 1

15.已知单位向量 a, b 的夹角为 120°,当 2a ? xb ( x ? R ) 取得最小值时 x ? 16.已知函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,且满足 f ( x) ? 2 x 2 ? xf ?(2) ,则 f ?(5) =

? ?

?

?

. 1 .16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5,

-2 a3 成等差数列.

18.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 ,(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期: (2)求 f(x)在区间

? ? ?? ? ? 6 , 4 ? 上的最大值和最小值。 ? ?

19、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?

? . (I) 3

若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (II)若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? ? 2 2 ?a ? b ? 2ab cos 3 ? 4, ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? 答案:解: (Ⅰ)由题意,得 ? 即? ???6 分 ?ab ? 4, ? 1 ab sin ? ? 3, ?2 3 ? 2 2 2 因为 (a ? b) ? 3ab ? (a ? b) ? 3 ? 4 ? (a ? b) ?12 ? 4, 所以 a ? b ? 4,

?a ? b ? 4, 得 a ? b ? 2. ?ab ? 4, (Ⅱ)由 sin B ? 2sin A 得, b ? 2a .
由?

????????????????6 分 ????????????????7 分

2 2 2 由余弦定理得, 2 ? a ? (2a ) ? 2 ? a ? 2a ?

1 ? 3a 2 , 2

2 3 4 3 ,b? . ????????????????10 分 3 3 1 1 2 3 4 3 3 2 3 ? ? ? ∴ S? ABC ? ab sin C ? ? ?????????12 分 2 2 3 3 2 3 1 20.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx, a, b ? R 3
∴ a? (1)曲线C: y ? f ( x) 经过点P(1,2) ,且曲线C在点P处的切线平行于直线 y ? 2 x ? 1 , 求 a, b 的值。 (2)已知 f ( x) 在区间(1,2)内存在两个极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2

2 21.已知二次函数 f ( x) ? px ? qx( p ? 0) ,其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n

项和为 S n , 点 (n, Sn )(n ? N * ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上;. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?

1 (an ? 2), 2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ? ? ? 2n bn ? cn ,求数列 {bn } 的通项公式; 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, cn ?

1 (an ? 2) ? 2n ? 1 , 2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ? ?? 2n bn ? 2n ?1 , 3

当 n ? 1 时, b1 ?

1 , ????????????????????????????7 分 2

当 n ? 2 时, 2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ? ?? 2n?1bn?1 ? 2n bn ? 2n ?1

2b1 ? 22 b2 ? 23 b3 ??? 2n?1bn?1
两式相减得: bn ?

? 2(n ?1) ?1

1 ? 21? n ,???????????????????????11 分 n ?1 2

1 ? ,n ?1 ? 故数列 {bn } 的通项公式: bn ? ? ???????????????12 分 2 ?21?n , n ? 2, n ? N * ?
22. (本小题满分 14 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? 3 同时满足以下条件:

x ( 2 ) 由 已 知 得 : 若 存 在 x ? ?1, e? , 使 4 l n ? m ? x ? 1 即 存 在 x ? ?1, e? , 使 ,
2

m?( 4 ln ? x ? min x 2 1) .????????8
设 M(x) ? 4 ln x ? x ? 1, x ? ? , e? , 1
2

则 M ?( x) ?

4 4 ? 2 x2 ? 2x ? , x x

???????10 分

令 M ?( x) =0,∵ x ? ?1, e? ,∴ x ? 当x?

2,

2 时, M ?( x) ? 0 ,∴ M ( x) 在 ( 2, e] 上为减函数,

当1 ? x ?

2 时, M ?( x) ? 0 ,∴ M ( x) 在 [1, 2] 上为增函数,

∴ M ( x) 在 [1, e] 上有最大值. 又 M( ? 1 ? 1 ? 0, M (e) ? 5 ? e 2 ? 0 ,∴ M ( x) 最小值为 5 ? e . ? 13 分 1 )
2

于是有 m ? 5 ? e 为所求.
2

????????14 分


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