高考数学 解题方法攻略 概率与统计2 理


概率与统计

一.专题综述 在中学数学里,排列、组合、二项式定理、概率统计相对比较独立,他们与实际生活联 系较紧,解决本部分的问题也有比较独特的思维方式,高考对本部分考察的命题往往具有一 定得灵气。 1.考纲要求 (1)掌握解决排列组合应用题的基本方法,会利用二项式定理解决问题; (2)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义; (3)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率; (4)了解互斥事件与相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率; (5)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率; (6)掌握离散型随机变量的期望与方差,三种抽样方法,样本频率直方图及条形图,正 态分布; (7)了解回归分析的原理及线性回归分析。 2.考题设置与分值 从试题题型来看, (1)排列组合应用题与概率结合每年 1 道客观题; (2)二项式定理每 年 1 道客观题,主要考查二项式定理的通项应用或系数性质求系数和, (3)概率与统计以应 用题为背景命题,有选择题,也有填空题,但更多是解答题,基本上是 1 小 1 大题,解答题 将等可能事件的概率与独立事件或互斥事件问题综合在一起命题,或将概率与离散型随机变 量分布列综合求数学期望与方差。 对本部分考察总分值约 25 分 3.考试重点与难度: 本专题内容从历年高考试题来看,考纲规定的考点都有考查。 概率应用问题仍是高考考查学生实践能力的热点问题.问题背景多联系生活实际,有时大 胆创新、构思新颖,综合考查多种分支知识及多种思想方法,在知识网络的交汇处设计试题. 一般通过模球类的问题、元素分配类问题、计数类问题等,来考查学生利用排列组合知识求 等可能性事件的概率,以及考查互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率问题的掌握 和应用. 总起来将,高考对本部分内容的考察无论是客观题还是主观题都属于中档题。

二.考点选讲 【考点 1】排列、组合的应用题 排列、 组合的应用题是每年高考的必考点, 几种典型的分析思路和典型的模型是我们要掌 握的重点。

-1-

【例 1】设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五 个球放入 5 个盒子内 (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投 放方法?

【练习 1】设集合 I ? ?1, 2,3, 4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有( )种 A.50 B.49 C.48 D.47 【练习 2】已知集合 A={1,2,3},集合 B={4,5,6,7,8},映射 f:A→B 满足 f(1)<f(2) <f(3),则这样的映射 f 共有( ) 5 A、3 个 B、15 个 3 C、5 个 D、10 个 【考点 2】二项式定理 对二项式定理的考查主要是两个方面: (1)展式的通项公式的应用(求指定项) ; (2)用 赋值法研究展式的系数。 【例 2】 在 ( x ? 2 ) 2006 的二项展开式中, 含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x ? 2 时, S 等于( ) A. 2 C.
3008

B.

?23008
3009

23009

D. ?2

【练习】 (| x | ?

1 ? 2) 3 展开式中的常数项是__________________; |x|

【考点 3】概率的计算 【例 3】平面上有两个质点 A ?0,

0? ,B ?2, 2 ? ,在某一时刻开始每隔 1 秒向上下左右任一方
1 1 , 向上, 下移动的概率分别是 和 p , 4 3

向移动一个单位. 已知质点 A 向左, 右移动的概率都是

质点 B 向四个方向移动的概率均为 q .(1)求 p 和 q 的值;(2)试判断至少需要几秒,A、B 能同 时到达 D ?1,

2 ? ,并求出在最短时间同时到达的概率?

【练习 1】 .从数字 1, 2, 3, 4, 5 ,随机抽取 3 个数字(允许重复) ,组成一个三位数,其各
-2-

位数字之和等于 9 的概率是( A.



1 16 18 19 B. C. D. 3 125 125 125 【练习 2】 .口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回的每次模取一个球,定义数
1 第n次摸取红球 ,如果 为数列 列 ?a n ?: a n ? ?? ?an ?的前 n 项之和,那么 S 7 ? 3 的概率为 Sn ? ?1 第n次摸取白球

( A.



35 28 224 28 B. C. D. 2387 75 729 729 【练习 3】 .A、B 两位同学各有 3 张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面向 上时, A 赢得 B 一张卡片, 否则 B 赢得 A 一张卡片. 如果某人已赢得所有卡片, 则游戏终止. 那 么在 7 次内游戏终止的概率为 .
【练习 4】 .三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到 甲方手中的概率为 . 【练习 5】 .如图是一个正方体纸盒的展开图,若把 1,2,3,4,5,6 分别填入小正方形,使 正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是( ) 1 1 A. B. 15 6 1 1 C. D. 60 120

【考点 4】概率与统计综合 从“统计”纳入高中教学内容后, “统计”中除“回归分析”这一考点外,几乎所有考点 都在近几年的高考中出现过,除一个主观题外,有时还有客观题,一年一个花样。这一部分 考题历年都考得不难,有的还是简单题,但由于本部分内容相对独立,学生平时用的少,老 师教学花的时间也不多,所以考生失分比较严重,应引起重视,特别是“回归分析” 。 【例 4】已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化 验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只 中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

【练习】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以 后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直

-3-

进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 负相互独立.求: (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分别列与期望 E ? .

1 ,且各局胜 2

三.专题训练

概率与统计专题检测试题 一、选择题 1、两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是 3 4

否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 (A)

1 2

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

2、一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用 两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p1 和 p2 ,则 A. p1 = p2 B. p1 < p2 C. p1 > p2 D。以上三种情况都有可能 3、某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为 (A)7 (B)15 (C)25 (D)35 4、一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有 初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中 抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

5、某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位、节目乙不 能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 )

6、已知随机变量 X 服从正态分布 N(3.1),且 P (2 ? X ? 4) =0.6826,则 p(X>4)=( A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

7、为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯 彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记
-4-

这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而 相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。 如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是 ( A、 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒 )

8、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点 数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 A

5 12

B

1 2

C

7 12

D

3 4

9、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 (A)

3 18

(A)

4 18

(A)

5 18

(A)

6 18

10、 (2010 湖北理数)6.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,……600,采用系统 抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营 区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三 个营区被抽中的人数一次为 A.26, 16, 8, B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 11、已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0, ? ) ,若 P ( z ? 2) ? 0.023 ,则 P (?2 ? z ? 2) ?
2

A、0.477 B、0.625

C、0.954 D、0.977

12、样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1,则样本方差为 A、

6 5

B、

6 5

C、 2

D、2

二、填空题 13、从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 2 张,则“抽出的 2 张均为红桃”的概率 为 (结果用最简分数表示) 。 14、某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25
15、在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 16、某地有居民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中 以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 l00 户进行调查, 发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依 据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例 的合理估计是 . 17、加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为

1 1 1 、 、 , 70 69 68

且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________ . 18、一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至少 3 人被 治愈的概率为_______(用数字作答) 。

-5-

19、某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1

9 0.3 .

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为

20、 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中, 选手若能连续正确回答出两个问题, 即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个问题的回答 结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。 21、将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的 频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 三、解答题 22、某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随 机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号 通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未 . 到过 的通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表示走出迷宫所需的时间。 .. (1) 求 ? 的分布列; (2) 求 ? 的数学期望。 。

23、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ .
1 6

概率与统计专题检测参考答案 一、选择题 1、 【答案】B 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率,考查了有关概率的计算问题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则 P(A)=P(A1)+ P(A2)= 2、 【答案】B
-6-

2 1 1 3 5 ? + ? = 3 4 3 4 12

【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业, 作为旧大纲的最后一年高考,本题给出一个强烈的导向信号。

1 0 ,总概率为 1 ? C10 (0.1)0 (0.9)10 ;同理, 10 1 0 1 0 4 5 方法二:每箱的选中的概率为 ,总事件的概率为 1 ? C5 ( ) ( ) ,作差得 p1 < p2 。 5 5 5
方法一:每箱的选中的概率为 3、解析:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为

7
7 15

? 15

4、解析:因为

40 1 ? 800 20 160 320 200 120 ?8, ? 16 , ? 10 , ?6 20 20 20 20

故各层中依次抽取的人数分别是 答案:D 5、 【答案】B

解:分两类 : 第一类 :甲排在第一位,共有 A 4 ? 24 种排法;第二类:甲排在第二位,共有
4
3 A1 3 A 3 ? 18 种排法,所以共有编排方法 24+18=42 种。

6、B. P (3 ? X ? 4) ?

1 P(2 ? X ? 4) =0.3413, 2

P( X ? 4) ? 0.5 ? P(2 ? X ? 4) =0.5-0.3413=0.1587.
7、C.每次闪烁时间 5 秒,共 5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为 5s, 共 5×(120-1)=595s. 总共就有 600+595=1195s. 8、答案:C
1 1 C5 5 ? 1 ? ,则 2 C 6 12

解:用间接法考虑,事件 A,B 都不发生的概率为 P ( A B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 所求概率为 P ? 1 ? P ( A B ) ? 1 ?

5 7 ? 12 12

9、C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。两条直 线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件,所以概率等于. 【方法技巧】对于几何中的概率问题,关键是正确作出几何图形,分类得出基本事件数,然 后得所求事件保护的基本事件数,进而利用概率公式求概率. 10、答案:B
-7-

解析:依题意可知,在随机抽样中首次抽到 003 号,以后每隔 12 个号码抽到一个人,则分别是 003,015,027,039……构成以 3 为首项,12 为公差的等差数列,故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人,在 301 到 495 中有 17 人,则 496 到 600 中有 8 人. 11、因为已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0, ? ) ,所以正态曲线关于直线 x=0 对称,又
2

P(? ? 2) ? 0.023 ,所以 P(? ? ?2) ? 0.023 。
所以 P(?2 ? ?

? 2) ? 1 ? P(? ? 2) ? p(? ? ?2) ? 1 ? 2 ? 0.023 ? 0.954

故选 C

12、由题意知 (a ? 0 ? 1 ? 2 ? 3) ? 1, 解得 a ? ?1 ,所以样本方差为

s2 ?

1 (?1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 2 , 5

?

1 5

?

故选 D 二、填空题 13、解析:考查等可能事件概率 “抽出的 2 张均为红桃”的概率为 14、解析:由 1 ? p 2 ? 15、 【答案】
2 C13 3 ? 2 C 52 51

16 3 得p? 25 5

1 3

16 、【 解 析 】 该 地 拥 有 3 套 或 3 套 以 上 住 房 的 家 庭 可 以 估 计 有 :

99000 ?

50 70 ? 1000 ? ? 5700 户,所以所占比例的合理估计是 5700 ? 100000 ? 5.7% . 990 100

【方法总结】本题分层抽样问题,首先根据拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占的比例,得 出 100 000 户,居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的户数,它除以 100 000 得到的值,为该地 拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计. 17、解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 p ? 1 ?

69 68 67 3 ? ? ? 70 69 68 70

3 3 18、 【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈,则 P 1 ? C4 (0.9) ? (1 ? 0.9) ? 0.2916 ;

若共有 4 人被治愈,则 P ? (0.9)4 ? 0.6561 ,故至少有 3 人被治愈概率 P ? P ? P ? 0.9744 1 2 2 19、 【答案】0.4 【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9 联合解得 y ? 0.4 . 20、 【解析】由题意知,所求概率为 C5 ? 0.8 ? 0.2 =0.128 。
4 2
2

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的分
-8-

析问题、解决问题的能力。

21 、【 解 析 】 设 第 一 组 至 第 六 组 数 据 的 频 率 分 别 为 2 x,3 x, 4 x, 6 x, 4 x, x , 则

1 2 3 4 ,所以前三组数据的频率分别是 , , , 20 20 20 20 2n 3n 4n 故前三组数据的频数之和等于 ? ? =27,解得 n=60。 20 20 20

2 x ? 3x ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ? 1 ,解得 x ?

【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识,熟练基本公式是解答好本题的关键。 三、解答题 22、 【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 (1) 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6

P(? ? 1) ?
分布列为:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 , P (? ? 3) ? ? ? , P(? ? 4) ? ? ? , P(? ? 6) ? A2 ( ? ) ?1 ? 3 3 2 6 3 2 6 3 2 3

?
P

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

(2) E? ? 1?

1 1 1 1 7 ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 小时 3 6 6 3 2

23、解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么

P(A)=P(B)=P(C)= 1

6 1 5 2 25 ( ) ? 6 6 216 25 ……………………………………6 分 216

P( A B C )=P(A)P( B )P( C )=

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 (2)ξ 的可能值为 0,1,2,3

P(ξ =k)= C3k ( ) k ( )3? k (k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ 的分布列为 ξ 0
125 216

1 6

5 6

1
25 72

2
5 72

3
1 216

P

Eξ =0×

1 125 25 5 1 +1× +2× +3× = ………………………………………………12 分 216 72 72 216 2

-9-


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