2016高考数学大一轮复习 11.2用样本估计总体课件 理 苏教版_图文

数学 苏(理)

第十一章

统 计

§11.2 用样本估计总体

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

1.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中 最大值 与 最小值 的差).

(2)决定 组距 与 组数 .
(3)将数据 分组 . (4)列 频率分布表 . (5)画 频率分布直方图 .

2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连结频率分布直方图中各小长方形上

端的 中点 ,就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线:随着 样本容量 的增加,作图时 所分的 组数 增加, 组距 减小,相应的频率折线图会越来越接近 于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

3.茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的 一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数. 4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中,出现次数 最多 的数据叫做这组数据的众数. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在 最中间 位臵的一个 数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

平均数:样本数据的算术平均数, 1 (x1+x2+?+xn) 即x= n . 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面

积应该 相等 .

(2)样本方差、标准差 标准差 s= 1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? + ? + ? x - x ? ], 2 n n 1

其中 xn 是样本数据的第 n 项,n 是 样本容量 , x 是 平均数 .

标准差 是反映总体波动大小的特征数, 样本方差是标准差的 平方 .通常用样本方差估计总体方差,当 样本容量接近总体 容量 时,样本方差很接近总体方差.

[知识拓展] 1.频率分布直方图的特点 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐 频率 频率 标表示 ,频率=组距× . 组距 组距

(2) 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1 ,因 此在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小 长方形高的比也就是频率比. (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布 的两种形式,前者准确,后者直观.

2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1,x2,?,xn的平均数为 x,那么mx1+a,mx2 +a,mx3+a,?,mxn+a的平均数是m x +a.

(2)数据x1,x2,?,xn的方差为s2.
①数据x1+a,x2+a,?,xn+a的方差也为s2;

②数据ax1,ax2,?,axn的方差为a2s2.

? 思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋 势.( 论.(



)

(2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结

× ) √
)

(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图 后,原有的具体数据信息就被抹掉了.(

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大

的顺序写,相同的数据可以只记一次.( 数.( 等的.(

× )

(5) 在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众



)

(6)在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相

× )

题号
1

答案
91.5,91.5
1 3

解析

2
3

总体 600

4

这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,
1 ∴中位数为 ×(91+92)=91.5. 2

1 平均数为 ×(87+89+90+91+92+93+94+96) 8 =91.5.

题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1 某校从参加高一年级期中考试的学生

中随机抽出60名学生,将其物理成绩(均为
整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,

100]后得到如图所示的频率分布直方图,
观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;

思维点拨 图中各小长方形的面积和等于1.

解 设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有
(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所

以频率分布直方图如图所示.

题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1 某校从参加高一年级期中考试的学生 中随机抽出60名学生,将其物理成绩(均为 整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90, 100]后得到如图所示的频率分布直方图, 观察图形的信息,回答下列问题: (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表, 据此估计本次考试中的平均分.

思维点拨 图中各小长方形的面积和等于1.



平均分:45×0.1+55×0.15+65×0.15+

75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分).

思维升华

(1)明确频率分布直方图的意义,即图中的

每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率,所

有小矩形的面积和为1.
(2)对于统计图表类题目,最重要的是认真观察图表, 从中提炼有用的信息和数据.

跟踪训练1

(2013· 陕西改编)对一批产品的长度(单位:mm)

进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标 准,产品长度在区间 [20,25) 上的为一等品,在区间 [15,20) 和区间[25,30)上的为二等品,在区 间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用 频率估计概率,现从该批产品中随 机抽取一件,则其为二等品的概率 为________.

解析

设区间 [25,30) 对应矩形的另一边长为 x ,则所

有矩形面积之和为 1 ,即 (0.02 + 0.04 + 0.06 + 0.03 +

x)×5 = 1 , 解 得 x = 0.05. 产 品 为 二 等 品 的 概 率 为
0.04×5+0.05×5=0.45. 答案 0.45

题型二 茎叶图的应用

例2 如图是某青年歌手大奖赛上七位
评委为甲、乙两名选手打出的分数的

茎叶图(其中m为数字0~9中的一个),
去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的

平均数分别为a1、a2,则一定有________.
①a1>a2; ②a2>a1;

③a1=a2;

④a1,a2的大小与m的值有关.

思维点拨

去掉第一行和第三行的数,只计算第

二行叶上的数即可.

解析

去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手

叶上的数字之和是20,乙选手叶上的数字之和是
25,故a2>a1. 答案 ②

思维升华

由于茎叶图完全反映了所有的原始数

据,解决由茎叶图给出的统计图表试题时,就要

充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或 者对某些问题作出判断.

跟踪训练 2

(2013· 山东 ) 将某选手的 9 个得分去掉 1个最高分,

去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为 91.现场作的9个分

数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:

则7个剩余分数的方差为________.

解析

87+94+90+91+90+90+x+91 由题意知 = 91 , 7
2

1 解得 x=4.所以 s = [(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+ 7 (91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2] 1 36 = (16+9+1+0+1+9+0)= . 7 7 36 答案 7

题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3 甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得 分情况如图.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差;

思维点拨

(1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩;

(2) 利用公式求出平均数、方差,再分析两人的成绩, 作出评价.

解 由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分.

10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 5 1 2 s甲= [(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2] =4, 5 1 2 s乙= [(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. 5

(2) 根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出
评价.
2 解 由 s2 > s 甲 乙可知乙的成绩较稳定.

从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上 下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明 显提高 .

思维升华

平均数与方差都是重要的数字特征,是对

总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要 的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小.

跟踪训练 3

(2013· 江苏 ) 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次

训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 乙 87 89 91 90 90 91 89 88 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.

解析

1 x 甲= (87+91+90+89+93)=90, 5

1 x 乙= (89+90+91+88+92)=90, 5 1 2 s 甲 = [(87- 90)2+ (91- 90)2+ (90- 90)2+ (89- 90)2+ (93- 5 90)2] =4, 1 2 s 乙 = 5 [(89- 90)2+ (90- 90)2+ (91- 90)2+ (88- 90)2+ (92- 答案 2 90)2] =2.

高频小考点10 高考中频率分布直方图的应用
典例:(2014· 山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进

行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为
[12,13) , [13,14) , [14,15) , [15,16) , [16,17] ,将其按从左到右的

顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验
数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三

组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为________.

解 析

温 馨 提 醒

解 析

温 馨 提 醒

解析

20 志愿者的总人数为 =50, ?0.16+0.24?×1

所以第三组人数为 50×0.36=18, 所以有疗效的人数为 18-6=12.

答案 12

解 析

温 馨 提 醒

本题的难点是对频率分布直方图意义的理解以及利用这

个图提供的数据对所提问题的计算,频率分布直方图中
纵轴上的数据是频率除以组距,组距越大该数据越小, 在解答这类问题时要特别注意.

方 法 与 技 巧

1.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布 表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总 体分布;难点是频率分布表和频率分布直方图的理解 宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对 总体作出估计.

及应用.在计数和计算时一定要准确,在绘制小矩形时,

2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描

方 法 与 技 巧

述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成, 没有损失任何样本信息,可以随时记录;而频率分布 表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须 在完成抽样后才能制作.
则其平均值为x1p1+x2p2+?+xnpn;若x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为s2,则ax1+b,ax2+b,?,axn +b的平均数为a x +b,方差为a2s2.

3.若取值 x1 ,x2 ,? , xn 的频率分别为 p1 , p2 , ? , pn ,

失 误 与 防 范

频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,每一个小长方 形的面积表示样本个体落在该区间内的频率;条形图

的纵坐标为频数或频率,把直方图视为条形图是常见
的错误.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.(2013· 重庆改编 ) 下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数

量 ( 单位:台 ) 的茎叶图,则数据落在区间 [22,30) 内的概率为
________.

1

2

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6

7

8

9

解析

10 个 数 据 落 在 区 间 [22,30) 内 的 数 据 有
4 =0.4. 10

22,22,27,29共4个,因此,所求的频率为
答案 0.4

1

2

3

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8

9

2.(2014· 陕西改编)某公司10位员工的月工资(单位:元)为

x1,x2,?,x10,其均值和方差分别为 x 和s2,若从下月
起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资
2 x + 100 , s 的均值和方差分别为___________. x1+x2+?+x10 解析 =x, yi=xi+100, 所以 y1, y2 , ?, 10

y10 的均值为 x +100,方差不变.

1

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3.(2013· 辽宁 ) 某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布 直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低 于60分的人数是15,则该班的学生人数是________.

1

2

3

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解析 由频率分布直方图,知低于60分的频率为 (0.01+0.005)×20=0.3. ∴该班学生人数n= 15 =50. 0.3

答案 50

1

2

3

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5

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7

8

9

4.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方

图 . 若第一至第六组数据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1 ,
60 且前三组数据的频数之和等于27,则n等于________. 解析 设第一至第六组数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x,

x,则2x+3x+4x=27,解得x=3,故n=20x=60.

1

2

3

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9

5.(2013· 湖北)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环

数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则:(1)平均命中环数为________;
(2)命中环数的标准差为________.

1

2

3

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7

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解析

1 (1) x =10(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)

70 =10=7. 1 2 (2)s =10[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+

(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2] =4,

∴命中环数的标准差为2. 答案 (1)7 (2)2

1

2

3

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5

6

7

8

9

6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞 赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班

学生的平均分是 85 ,乙班学生成绩的中位数是 83,则x + y 的值
为________.

1

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3

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5

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7

8

9

解析

依题意,甲班学生的平均分

78+79+85+80+92+96+80+x 85= ,故 x = 5. 7

乙班学生成绩的中位数是83,故其成绩为
76,81,81,83,91,91,96, ∴y=3,∴x+y=8.

答案 8

1

2

3

4

5

6

7

8

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7.在样本频率分布直方图中,共有5个小长方形,已知中 间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的 1 , 3 且中间一组的频数为10,则这个样本的容量是________.

1

2

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7

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9

解析 设中间小长方形的面积为S, 1 则S= (1-S),3S=1-S, 3 1 1 ∴S=4 ,即频率=4 . 频数 10 ∵频数=10,∴样本容量= = 1 =40. 频率 4 答案 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm时, 则视为合格品,否则视为不合格品 .在近期一次产品抽样检 查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检 测,结果发现有 50件不合格品 . 计算这 50件不合格品的直径 长与标准值的差 ( 单位: mm) ,将所得数据分组,得到如下 频率分布表:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4]

频数

频率 0.10

8 0.50 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位臵; 解 如下表所示频率分布表. 分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] 频数 频率 5 8 25 0.10 0.16 0.50

1

2

3

4

5

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9

(2,3] (3,4] 合计

10 2 50

0.20 0.04 1.00

1

2

3

4

5

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7

8

9

(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准

值的差落在区间(1,3]内的概率;
解 由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品 的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为 0.50+0.20=0.70.

1

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9

(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20 件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.
50 20 解 设这批产品中的合格品数为 x 件, 依题意5 000= , x+20 5 000×20 解得 x= -20=1 980. 50

所以该批产品的合格品件数大约是1 980件.

1

2

3

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9.(2014· 广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零 件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43, 31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

1

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3

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9

(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;
解 由所给数据知,落在区间 (40,45] 内的有 7 个,落在 (45,50]内的有2个,故n1=7,n2=2,
n1 7 n2 2 所以 f1=25=25=0.28,f2=25=25=0.08.

1

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3

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(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
解 样本频率分布直方图如图.

1

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(3) 根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4人,至少有 1 人 的日加工零件数落在区间(30,35]的概率. 解 根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间 (30,35]的概率为0.2,设所取的4人中,日加工零件数落在区间 (30,35]的人数为ξ ,则ξ~ B(4,0.2), P(ξ≥1)=1 -P(ξ =0) =1- (1-0.2)4=1-0.409 6=0.590 4,所以在该厂任取4人,至少有 1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4.

1

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5

1.(2013· 四川)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物
经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以组距为5将数据 分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图 是________.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

解析

由于频率分布直方图的组距为 5,排除③④,又

[0,5),[5,10)两组各一人,排除②,应选①. 答案



3 1 2 4 5 2.(2013· 安徽)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机

询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生
的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下 列说法一定正确的是________. ①这种抽样方法是一种分层抽样; ②这种抽样方法是一种系统抽样;

③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差;
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数.

1

2

3

4

5

解析

1 x 男= (86+94+88+92+90)=90, 5

1 x 女= (88+93+93+88+93)=91, 5 1 2 s男= [(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8, 5 1 2 s女= [(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2] 5 =6.故③正确.
答案 ③

1

2

3

4

5

3.如果数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则 2x1 +3,2x2+3,?,2xn+3 的平均数和方差分别为________.
解析 方法一 1 平均数为n (2x1 +3 + 2x2 + 3 + ?+ 2xn + 3)

1 =n[2(x1+x2+…+xn)+3n] =2 x +3;

1

2

3

4

5

1 方差为 {[(2x1 +3)-(2 x +3)]2 +[(2x2 +3)-(2 x +3)]2 +? n +[(2xn+3)-(2 x +3)]2} 1 =n[4(x1- x )2+4(x2- x )2+?+4(xn- x )2] =4s2.
方法二 原数据乘以2加上3得到一组新数据,则由平均数、方 差的性质可知得到的新数据的平均数、方差分别是2 x +3和4s2.

答案 2 x +3,4s2

1

2

3

4

5

4.(2014· 江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60株树木的底部周长 ( 单位:cm) ,所得数据均在区间 [80,130] 上, ________株树木的底部周长小于100 cm.

其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 则 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 , 有

1

2

3

4

5

解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10=0.15, 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10=0.25, 样本容量为60,所以树木的底部周长小于100 cm的株数 为(0.15+0.25)×60=24.

答案 24

1

2

3

4

5

5.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生
的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示.
组号
第1组 第2组

分组
[160,165) [165,170)

频数
5 ①

频率
0.050 0.350

1

2

3

4

5

第3组

[170,175)

30



第4组
第5组 合计

[175,180) [180,18
5]

20
10 100

0.200
0.100 1.00

1

2

3

4

5

(1)请先求出频率分布表中①、②位臵相应数据,再完成下 列频率分布直方图;

1

2

3

4

5

解 由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35, 30 第3组的频率为 =0.300, 100 频率分布直方图如图所示:

1

2

3

4

5

(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,则第3、4、 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 解 因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名 学生中抽取6名学生,每组分别为 30 20 第 3 组: ×6=3 人,第 4 组: ×6=2 人, 60 60 10 第 5 组: ×6=1 人. 60 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.

1

2

3

4

5

(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受 A考官进行面试,求:第4组至少有一名学生被考官A面试的概率. 解 设第3组的3位同学为A1,A2,A3, 第4组的2位同学为B1,B2, 第5组的1位同学为C1, 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1), (B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).

1

2

3

4

5

其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的有 (A1 , B1) , (A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1, B2),(B1,C1),(B2,C1)9种可能,
所以第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 9 3 = . 15 5


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