2020届高考数学(文)总复习课堂测试: 正弦定理和余弦定理(一)

课时跟踪检测(二十九) 正弦定理和余弦定理(一)

A 级——保大分专练

1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若sina A=cobs B,则 B 的大小为

() A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

解析:选 B 由正弦定理知,ssiinn AA=csions BB,

∴sin B=cos B,∴B=45°.

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=40,c=20,C=60°,

则此三角形的解的情况是( )

A.有一解

B.有两解

C.无解

D.有解但解的个数不确定

解析:选 C 由正弦定理得sinb B=sinc C,

∴sin

B=bsicn

C=40×20

3 2=

3>1.

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.

3.(2018·重庆六校联考)在△ABC 中,cos B=ac(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),

则△ABC 的形状为( )

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解析:选 A 因为 cos B=ac,由余弦定理得a2+2ca2c-b2=ac,整理得 b2+a2=c2,即 C 为

直角,则△ABC 为直角三角形.

4.在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边.若 bsin A=3csin B,a=3,

cos B=23,则 b=( ) A.14

B.6

C. 14

D. 6

解析:选 D ∵bsin A=3csin B?ab=3bc?a=3c?c=1,∴b2=a2+c2-2accos B=9

+1-2×3×1×23=6,∴b= 6. 5.(2019·莆田调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 asin Bcos C

+csin Bcos A=12b,且 a>b,则 B=( )

π

π

A.6

B.3

2π C. 3

5π D. 6

解析:选 A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=12b,∴根据正弦定理可得 sin Asin Bcos C+

sin Csin Bcos A=12sin B,即 sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B.∵sin B≠0,∴sin(A+

C)=12,即 sin B=12.∵a>b,∴A>B,即 B 为锐角,∴B=π6. 6.(2019·山西大同联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2(bcos A
+acos B)=c2,b=3,3cos A=1,则 a=( )

A. 5

B.3

C. 10

D.4

解析:选 B 由正弦定理可得 2(sin Bcos A+sin Acos B)=csin C,

∵2(sin Bcos A+sin Acos B)=2sin(A+B)=2sin C,

∴2sin C=csin C,∵sin C>0,∴c=2,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+22-

2×3×2×13=9,∴a=3.

7.在△ABC 中,AB= 6,A=75°,B=45°,则 AC=________.

解析:C=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理得siAnBC=siAnCB,

即sin 660°=sinAC45°,解得 AC=2. 答案:2

8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=-14,3sin A= 2sin B,则 c=________.
解析:∵3sin A=2sin B,∴3a=2b. 又∵a=2,∴b=3. 由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abcos C,
∴c2=22+32-2×2×3×??-14??=16,∴c=4.
答案:4

9.(2018·浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 7,b=

2,A=60°,则 sin B=________,c=________.

解析:由正弦定理sina A=sinb B,



sin

B=ba·sin

A=

2× 7

23=

21 7.

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,

得 7=4+c2-4c×cos 60°,

即 c2-2c-3=0,解得 c=3 或 c=-1(舍去).

答案:

21 7

3

10.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,sin A,sin B,sin C 成等差

数列,且 a=2c,则 cos A=________.

解析:因为 sin A,sin B,sin C 成等差数列,所以 2sin B=sin A+sin C.由正弦定理

得 a+c=2b,又因为 a=2c,可得 b=32c,所以 cos A=b2+2cb2c-a2=94c2+ 2×c223-c24c2=-14.

答案:-14 11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A=2B. (1)求证:a=2bcos B; (2)若 b=2,c=4,求 B 的值.

解:(1)证明:因为 A=2B,所以由正弦定理sina A=sinb B,得sina2B=sinb B,所以 a=

2bcos B. (2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 因为 b=2,c=4,A=2B,

所以 16cos2B=4+16-16cos 2B,所以 cos2B=34, 因为 A+B=2B+B<π,

所以 B<π3,所以 cos B= 23,所以 B=π6. 12.(2019·绵阳模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A =(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,结合正弦定理, 得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc.

又由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,

所以 bc=-2bccos A,即 cos A=-12.

由于 A 为△ABC 的内角,所以 A=23π. (2)由已知 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,得 2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,

即 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin223π=34. 又由 sin B+sin C=1, 得 sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,

所以 sin Bsin C=14,结合 sin B+sin C=1,

解得 sin B=sin C=12.

因为 B+C=π-A=π3,所以 B=C=π6, 所以△ABC 是等腰三角形.
B 级——创高分自选 1.(2019·郑州质量预测)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 2cos2A+2 B -cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则 c 的值为( )

A. 13

B. 7

C. 37

D.6

解析:选 A 由 2cos2A+2 B-cos 2C=1,得 1+cos(A+B)-(2cos2C-1)=2-2cos2C-

cos C=1,即 2cos2C+cos C-1=0,解得 cos C=12或 cos C=-1(舍去).由 4sin B=3sin A 及正弦定理,得 4b=3a,结合 a-b=1,得 a=4,b=3.由余弦定理,知 c2=a2+b2-2ab

cos C=42+32-2×4×3×12=13,所以 c= 13.

2.(2019·长春模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c= 3,

2sin a

A=tanc

C,若

sin(A-B)+sin

C=2sin

2B,则

a+b=________.

解析:∵2sian A=tanc C=cscionsCC,且由正弦定理可得 a=2Rsin A,c=2Rsin C(R 为△ABC

的外接圆的半径),∴cos C=12.∵C∈(0,π),∴C=π3.∵sin(A-B)+sin C=2sin 2B,sin C

=sin(A+B),∴2sin Acos B=4sin Bcos B.当 cos B=0 时,B=π2,则 A=π6,∵c= 3,

∴a=1,b=2,则 a+b=3.当 cos B≠0 时,sin A=2sin B,即 a=2b.∵cos C=a2+2ba2b-c2= 12,∴b2=1,即 b=1,∴a=2,则 a+b=3.综上,a+b=3.
答案:3 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2acos C-c=2b. (1)求角 A 的大小;

(2)若 c= 2,角 B 的平分线 BD= 3,求 a. 解:(1)2acos C-c=2b?2sin Acos C-sin C=2sin B?2sin Acos C-sin C=2sin(A+C) =2sin Acos C+2cos Asin C, ∴-sin C=2cos Asin C, ∵sin C≠0,∴cos A=-12, 又 A∈(0,π),∴A=23π. (2)在△ABD 中,由正弦定理得,sin∠ABADB=sBinDA,

∴sin∠ADB=ABBsDin

A=

2 2.

又∠ADB∈(0,π),A=23π,

∴∠ADB=π4,∴∠ABC=π6,∠ACB=π6,b=c= 2, 由余弦定理,得 a2=c2+b2-2c·b·cos A=( 2)2+( 2)2-2× 2× 2cos23π=6,∴a= 6.


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