奥赛辅导第六讲万有引力和天体运动(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)

第六讲

万有引力和天体运动
陈礼生

湖南郴州市湘南中学

一、知识点击
1.开普勒定律 第一定律(轨道定律) :所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运 动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律(面积定律) :对每个行星来说,太阳和行星的连线(叫矢径)在 相等的时间内扫过相等的面积。 “面积速度” : 度 υ 的夹角) 第三定律(周期定律) :所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期 T2 的平方的比值相等。即: 3 = 常量 . a
2.万有引力定律 ?S 1 = rυ sin θ (θ为矢径 r 与速 ?t 2

⑴万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之 间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反 比. F =G Mm , r2 G = 6.67 × 10?11 N ? m 2 / kg 2 ,称为引力常量.

⑵重力加速度的基本计算方法 设 M 为地球的质量,g 为地球表面的重力加速度. 在地球表面附近( h << R )处: G
Mm GM = mg , g = 2 =9.8m/s2 2 R R

M 在地球上空距地心 r=R+h 处: g r = G 2 , r

gr R 2 R 2 = 2 =( ) g r R+h

4 3 πr ρ 4 g r Mr 3 在地球内部跟离地心 r 处: g r = G 2 = G = Gπρ r , r = , 2 r r 3 g R
gr = r g R

3.行星运动的能量
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⑴行星的动能 当一颗质量为 m 的行星以速度 υ 绕着质量为 M 的恒星做平径为 r 的圆周运 动:
EK =

GM 1 Mm mυ 2 = G ,式中 υ = 。 2 2r r

⑵行星的势能 对质量分别为 M 和 m 的两孤立星系,取无穷远处为万有引力势能零点,当
m 与 M 相距 r 时,其体系的引力势能: EP = ?G Mm r 1 Mm Mm ⑶行星的机械能: E = EK + EP = mυ 2 ? G = ?G 2 r 2r

4.宇宙速度和引力场

⑴宇宙速度(相对地球) 第一宇宙速度:环绕地球运动的速度(环绕速度) . 第二宇宙速度:人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度(脱离速度) . 第三宇宙速度:使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度(逃逸速度) . ⑵引力场、引力半径与宇宙半径. 对于任何一个质量为 M,半径为 r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的 这两个特征速度.如果第二宇宙速度超过光速,即 c < 系. r <
2GM c2

2GM ,则有关 r

在这种物体上,即使发射光也不能克服引力作用,最终一定要落回此物体上 来, 这就是牛顿理论的结论, 近代理论有类似的结论, 这种根本发不了光的物体, 被称为黑洞,这个临界的 r 值被称为引力半径,记为 rg =
2GM c2

用地球质量代入,得到 rg≈0.9 cm,设想地球全部质量缩小到 1 cm 以下的小 球内,那么外界就得不到这个地球的任何光信息. 如果物质均匀分布于一个半径为 r 的球体内,密度为ρ,则总质量为
4 M = π r3ρ 3

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4 2G ? π rg3 ρ 3c 2 1 3 又假设半径 r 正好是引力半径,那么 rg = ,得 rg = ( )2 c2 8π G ρ 此式表示所设环境中光不可能发射到超出 rg 的范围, 联想起宇宙环境的质量 密度平均值为 10-29g/cm3, 这等于说, 我们不可能把光发射到 1028cm 以外的空洞, 这个尺度称为宇宙半径. 二、方法演练 类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题,解这类问题时一定要注 类型一、 天体运动中一类应用开普勒定律的问题, 意运动的轨道、面积、周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此 为如此, 意运动的轨道、面积、周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此,解题时 要特别注意“面积速度” 。 要特别注意“面积速度” 例 1.要发射一艘探测太阳的宇宙飞船,使其具有与地球相等的绕日运动周期, . 以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船 时,应使其具有多大的绕日速度? 分析与解: 分析与解:如示 6—1 所示,圆为地球绕日轨道,椭圆为所发射飞船的绕日轨道, S 点(太阳)为此椭圆的一个焦点,因飞船与地球具有相等的绕日周期,由开普 勒周期定律: T2 4π 2 T 2 = = a 3 GM S R 3

可知椭圆的半长轴 a=R,两轨道的交点必为半轴顶点, 发射飞船时,绕日速度 υ 应沿轨道切线方向,即与椭圆 长轴平行的方向.
1 π Rb 2π R 则飞船的“面积速度”为: ?S椭 = υ b = ,υ = 2 T T 1 π R2 2π R 地球的“面积速度”为: ?S圆 = υ0 R = , υ0 = 2 T T

故: υ0 = υ 当绕日速度的方向不同时,其轨道的短轴 b 不同,但长半轴 R 相同,太阳 为椭圆轨道的一个焦点,且发射的绕日速度大小相同. 例 2.一物体 A 由离地面很远处向地球下落,落至地面上时,其速度恰好等于第 . 一宇宙速度.已知地球半径 R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力, 求此物体在空中运动的时间。
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分析和解: 分析和解:物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值,即: υ = Rg 上式中 R 为地球半径,g 为地球表面处的重力加速度。 设 A 最初离地心的距离为 r,则由其下落过程中机械能守恒,应有:
1 Mm Mm mυ 2 ? G = ?G 2 R r

且 GM=gR2 联立上三式可解得:r=2R 物体在中心天体引力作用下做直线运动时,其速度、加速度是变化的,可以 将它看绕中心天体的椭圆轨道运动,将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的 “轨道极限化” 。 物体 A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行,其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端,如图 6—2 所示,则由开普勒第一定律, 得知地心为椭圆的一个焦点.则椭圆长半轴为
a=R

又由开普勒第三定律,物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心(轨道不计 为 R)的圆轨道运行的周期相等.其周期为:
T= 2π R

υ

= 2π

R g
S t = S0 T

再由开普勒第二定律得:

1 1 S = π ab + ab , S0 = π ab 4 2 1 1 π ab + ab S 2 ? 2π R = ( π + 1) R t= T= 4 π ab S0 g 2 g

=(

3.14 6400 ×103 + 1) = 2.06 × 103 s 2 9.8

类型二、天体质量(密度) 类型二、天体质量(密度)的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公 式建立天体计算的基本方程, 式建立天体计算的基本方程,解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建
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立,同时还要注意忽略微小量(次要因数)的问题,这是解决这类问题的两个 同时还要注意忽略微小量( 次要因数) 的问题, 非常重要的因数。 非常重要的因数。 例 3.新发现一行星,其星球半径为 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它 . 所有的表面,海洋的深度为 10 km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验 样品浸入行星海洋的不同深度时, 各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持 不变. 试求此行星表面处的自由落体加速度. 已知万有引力常量 G=6. 67×10-11N m2/ kg2。 分析和解: 分析和解:解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星,才能运用基本 方程式求行星表面处的自由落体加速度,若把水视为运动卫星群,则关键是如何 求中心天体的质量。 以 R 表示此星球的半径,M 表示其质量,h 表示其表面层海洋的深度,R0 表示除海洋外星球内层的半径,r 表示海洋内任一点到星球中心的距离.则: R > r > R0 ,且 R = R0 + h ,以ρ水表示水的密度.则此星球表面海洋水的总质
4 4 4 3 量为 m = π R 3 ρ水 ? π R0 ρ水 = πρ水 3R02 h + 3R0 h 2 + h3) ( 3 3 3 因 R>>h,略去 h 高次项,得 m = 4πρ水 R 2 h 由G Mm GM G M ? m) (M ? m)m ( = mg 表 , g 表 = 2 , G = mg 0 , g 0 = 2 2 R R R0 R02
M (M ? m)(M ? m) R 2m = = ,M = 2 R2 R02 (R ? h) 2 Rh ? h 2

依题意: g 表 = g 0 ,即:

则 g表 =

G × 4πρ水 R 3h = 2π G ρ水 R R 2 ? 2h

将 G=6. 67×10-11N m2/kg2,ρ水=1.0×103kg/m3,R=6.4 ×106 m 代入得:g


=2. 7 m/s2。 类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能 动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能, 类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能,然后利用

机械能的改变及功能原理来解题, 机械能的改变及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变 轨机理,又要符合能量原理。 轨机理,又要符合能量原理。 例 4.质量为 m 的人造地球卫星,在圆形轨道上运行.运行中受到大小恒为 f 的 微弱阻力作用,以 r 表示卫星轨道的平均半径,M 表示地球质量,求卫星在
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旋转一周的过程中: (1)轨道半径的改变量Δr=? (2)卫星动能的改变量ΔEk=? 分析和解: 分析和解:因卫星沿圆形轨道运动,则 G 则卫星的机械能为 E = Mm υ2 1 GMm = m ,则 EK = mυ 2 = , 2 r r 2 2r

GMm GMm GMm ? =? 2r r 2r

(1) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为
GMm GMm GMm 1 1 1 1 ?r ?r + = ( ? ) , ? = ≈ 2 (r + ?r) 2r 2 2 r r + ?r r r + ?r r(r + ?r) r GMm ?E = ?r 2r 2 ?E = ? 根据功能原理:W=ΔE,即 ?2π rf = 径减小。 (2)卫星动能的改变量为:
?EK = GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4π r 3 f ? = ( ? ) ≈ ?r = ? × ? ( ) 2π rf = (r + ?r) 2r 2 2 r + ?r r 2r 2 2r 2 GMm

GMm 4π r 3 f ?r , ?r = ? ,负号表示轨道半 2r 2 GMm

类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题: 类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所 需要的能量的问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料, 需要的能量的问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要么来 源于碰撞。 源于碰撞。 例 5.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比 小行星的质量小很多, 飞行器的速率为 υ0 , 小行星的轨道半径为飞行器轨道 半径的 6 倍。有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于 是他便设计了如下方案:Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时,突然点 燃飞行器上的喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器获 得所需的速度,沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ.飞行器到达小行星 的轨道时正好位于小行星的前缘, 速度的方向和小行星在该处速度的方向相 同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃 烧的燃料质量. (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系.
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(2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1.如果不采取上述 方案而令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动 机, 以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳 系.采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用 E2 表示.问 少? 分析和解: 分析和解:(1)设太阳的质量为 M0,飞行器的质量为 m,飞行器绕太阳做圆周运 动的轨道半径为 R。根据所设计的方案,可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处 出发,沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的.该椭圆既与飞行器原来的圆轨道 相切,又与小行星的圆轨道相切.要使飞行器沿此椭圆轨道运动,应点燃发动机 使飞行器的速度在极短时间内,由 υ0 变为某一值 u0.设飞行器沿椭圆轨道到达 小行星轨道时的速度为 u,因为大小为 u0 和 u 的这两个速度的方向都与椭圆的长 轴垂直,由开普勒第二定律可得 u0 R= 6 Ur
M m 1 M m 1 2 由能量关系,有 mu0 ? G 0 = mu 2 ? G 0 2 R 2 6R

E1 为多 E2

(1) (2 ) (3 )

由万有引力定律,有 G

GM 0 M 0m υ2 = m 0 ,或 υ0 = 2 R R R 12 υ0 7
(4 ) u = ,

解(1) 2) 3)三式得 u0 = ( (

1 υ0 21

(5 )

设小行星绕太阳运动的速度为 V,小行星的质量为 M,

GM 0 M 0M 1 V2 由万有引力定律 G =M ,得 V = = υ0 2 (6 R) 6R 6R 6
可以看出 V>u (7 )

(6 )

由此可见,只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道,使得它到 达小行星轨道处时,小行星的前缘也正好运动到该处,则飞行器就能被小行星撞 击。可以把小行星看作是相对静止的,飞行器以相对速度 V ? u 射向小行星,由 于小行星的的质量比飞行器的质量大得多, 碰撞后, 飞行器以同样的速度 V ? u 弹 回,即碰撞后,飞行器对小行星的速度的大小为 V ? u ,方向与小行星的速度的 方向相同,故飞行器相对太阳的速度为 u1 = V + V ? u = 2V ? u

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或将(5) (6)式代入得 u1 = (

2 1 ? )υ0 3 21

(8)

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系, 它应具有的最小速度为 u2, 则
M m 1 2 有 mu2 ? G 0 = 0 2 6R

得 u2 =

GM 0 1 = υ0 3R 3

(9 )

可以看出 u1 =

1 1 1 ( 2? )υ0 > υ 0 = u2 3 7 3

(10)

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系. (2) 为使飞行器能进人椭圆轨道,发动机应使飞行器的速度由 υ0 增加到 u0, 飞行器从发动机取得的能量 (3) E1 =
1 1 1 12 1 5 2 2 2 mu0 ? mυ0 = m υ02 ? mυ0 = mυ02 2 2 2 7 2 14

(11)

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系,飞行器应具有最小速度为 u3, M m 1 2 则有 mu3 ? G 0 = 0 2 R 由此得 u3 = 2G

M0 = 2υ0 R

(12)

飞行器的速度由 υ0 增加到 u3,应从发动机获取的能量为
1 1 1 2 mu3 ? mυ02 = mυ02 2 2 2 5 mυ 2 E1 14 0 所以 = = 0.71 1 E2 2 mυ0 2

E2 =

(13)

(14)

类型五、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题: 类型五、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力 场所需要的能量的问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料, 场所需要的能量的问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要 么来源于碰撞。 么来源于碰撞。 例 7.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通 . 过对它们的研究, 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻 的认识,双星系统由两个星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星之 间的距离,一般双星系统距离其他星体很远,可以当作孤立系统处理,现
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根据对某一双星系统的光度学测量确定,该星系统中每个星体的质量 M, 两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,,且 T 观测∶T 计算=1∶ N (N>l) , 为了解释 T 观测与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中 可能存在一种望远镜观测不到的暗 物质,作为一种简化模型,我们 假定在以这两个星体连线为直径的球体内均这种暗物质,而不考虑其 他暗物质的影响,试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种 暗物质的密度. 解.(1)双星均绕它们的连线的中点作圆周运动,设运动速度为 υ ,向心加速度 满淀下面的方程 M

υ2
L/2

=

GM 2 L2 ②



υ=

GM 2L 2π L / 2) ( =πL 2L GM

周期 T计算 =

υ



(2)根据观测结果,星体的运动周期 T观测 = 1 T计算 < T计算 N ④

这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力, 故它一定还受到其他指向 中心的作用力,按题意,这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内 的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M'、位于中点处 的 质 点 相 同 , 考 虑 暗 物 质 作 用 后 双 星 的 速 度 即 为 观 察 到 的 速 度 υ观 , 现 有

GM 2 MM ′ M = 2 +G L/2 L ( L / 2) 2

2 υ观



υ观 =

G ( M + 4M ′) 2L



因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由④式得

1

υ观

=

1 1 Nυ



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N ?1 M 4 4 L N ?1 设所求暗物质的密度为ρ,则有 π ( )3 ρ = M 3 2 4 3( N ? 1) M 故ρ = ⑨ 2π L3

把②⑥式代入⑦式得 M ′ =



三、小试身手 1.质量为 m 的人造地球卫星,绕半径为 r0 的圆轨道飞行,地球质量为 M,试求 (1)卫星的总机械能. (2)若卫星受微弱摩擦阻力 f (常量),则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球, 因 f 很小,轨道半例径变化非常缓慢,每周旋转可近似按半径为 r 的 圆轨道处理,但 r 将逐周缩短,在 r 轨道上旋转一周 r 的改变量Δr 是 多少. (3)在 r 轨道上旋转一周卫星动能的改变量是多少.

2.一个飞行器被发射到一个围饶太阳的椭圆轨道上,以地球轨道为近日点,而 以火星轨道为远日点,如图 6—3 所示,已知地球至太阳的距离为 R1,火星 至太阳的距离为 R2. (1)求轨道方程的参数λ和ε值; (2)利用开普勒第 三定律计算沿此轨道到达火星轨道所需时间.

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3.地球 m 绕太阳 M(固定)作椭圆运动,已知轨道半长轴为 A,半短轴为 B, 如图 6 一 4 所示,试求地球在椭圆各 顶点 1、2、3 的运动速度的大小及其 曲率半径.

4.要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球作匀速圆周 运动, 为此先将卫星发射到半径为 r1 的近地暂 行轨道上绕地球作匀速圆周运动。如图 6—5

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所示,在 A 点,实际使卫星速度增加,从而使卫星进入一个椭圆的转移轨 道上,当卫星到达转移轨道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入 预定轨道运行,试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间,设万有引力恒量为 G,地球质量为 M.

5.宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R,今设飞船 在极短时间内向外侧点喷气,使飞船获得一径向速度,其大小为原速度的 α 倍,因 α 量很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会.如图 6 一 6,飞船 喷气质量可忽略不计. (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h近 和远火星点高度 h远 , (2)设飞船原来的运动速度 υ0 ,试计算新轨道的运行周期 T.

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6.质量为 m 的登月器连接在质量为 M(=2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周 运动,其轨道半径是月球半径 Rm 的 3 倍,某一时刻,将登月器相对航天飞 机向运动反方向射出后,登月器仍沿原方向运动,并沿图 6 一 7 所示的椭圆 轨道登上月球表面,在月球表面逗留一段时间后,经快速发动沿原椭圆轨道 回到脱离点与航天飞机实现对接, 试求登月器在月球表面可逗留多长时间? 已知月球表面的重力加速度为 gm=1.62m/s2,月球的半径 Rm = 1.74 × 106 m 。

7.从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的

能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km.已知
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质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为
E=? GMm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量. 2a

(1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地 心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示). (2)若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? (3)试导出 E = ?
GMm . 2a

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参考解答

1.解: 1)因人造地球卫星沿圆形轨道运动,则 G (
1 GMm mυ 2 = , 2 2r0 GMm GMm GMm ? =? 2r0 r0 2r0

Mm υ2 =m ,则 r02 r0

EK =

则卫星的机械能为 E =

(2) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为
GMm GMm GMm 1 1 1 1 ?r ?r , ? + = ( ? ) = ≈ 2 (r + ?r) 2r 2 2 r r + ?r r r + ?r r(r + ?r) r GMm ?E = ?r 2r 2 GMm 根据功能原理:W=ΔE,即 ?2π rf = ?r , 2r 2 ?E = ? 4π r 3 f ?r = ? ,负号表示轨道半径减小。 GMm (3)卫星动能的改变量为:
?EK = GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4π r 3 f ? = ( ? ) ≈ ?r = ? × ? ( ) 2π rf = (r + ?r) 2r 2 2 r + ?r r 2r 2 2r 2 GMm

2.解: (1)在近日点处,椭圆轨道方程中的θ=0,即 R1 = 在远日点处 θ = π 即 R2 =

λ (1 + ε ) 1? ε
R1 ? R2 R1 + R2

λ (1 + ε ) =λ 1+ ε





均①②式解得: λ = R 1 , ε =

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(2)根据开普勒第三定律,

T2 = C (常数)地球绕太阳的运行周期 T1(=1 a3 ( R1 + R2 3 ) 2 R13

T2 年) ,设飞行器运行的周期为 T,则 2 = T1 即T = (
R1 + R2 3 2 ) T 2 R1

因此该飞行器沿此轨道运行到火星轨道所需时间为
t= T 1 R1 + R2 3 2 = ( ) 年。 2 2 2 R1 ①

1 Mm 1 Mm 2 3. 对顶点 1、 由机械能守恒定律有 mυ12 ? G 解: 2, = mυ2 ? G 2 A?C 2 A+C

根据开普勒第二定律有 V1 A ? C) V2 A + C) ( = ( ②式中 C = A2 ? B 2
A + C GM A + A2 ? B 2 由①②式解得 V1 = = B A B V2 = A ? C GM A ? A2 ? B 2 = B A B mυ12 GM A GM A



由万有引力提供向心力得

ρ1

Mm =G 2 (A ? C) Mm =G 2 (A + C)



2 mυ2

ρ2



解得 ρ1 = ρ 2 =

B2 A

1 Mm 1 Mm 对顶点 3,由机械能守恒得 mυ32 ? G = mυ12 ? G ⑤ 2 B 2 A?C

将 υ1 代入⑤得 υ3 = 同样可得 ρ3 =
A2 B

GM A

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4.解:以 V 表示卫星的速度,当卫星在暂行轨道上经过近地点 A 和远地点 B 时.V 与 r 垂直,根据并普勒第二定律,有 VB = 卫星在暂行轨道上总机械能守恒 E A = EB EA =
1 Mm 1 Mm 1 1 1 1 mVA2 ? G , EB = mVB2 ? G , mVA2 ? mVB2 = GMm ( ? ) 2 r1 2 r2 2 2 r1 r2 2GMr2 2GMr1 , VB2 = (r1 + r2) r1 r2 r1 + r2) ( r1 VA r2

解得 VA2 =

卫星的面积速度为 S = S A = S B =

1 rVA 1 2 r +r 椭圆的面积为 π ab ,其中 a = 1 2 , b = r1r2 2

因此周期为 T =

π ab
S



3 (r1 + r2) 2GM

从 A 到 B 点所需时间 t 为 t =

T π r1 + r2) r1 + r2 ( = 2 2 2GM

5.解:设火星和飞船的质量分别为 M 和 m,飞船沿椭圆轨道运行时,飞船在最

近点 或最远点与火星中心的距离为 r,飞船速度为 υ .
1 因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为 r0υ0 。 等于喷气后飞船绕椭圆轨道在 P 2 1 点的面积速度 r0υ P sin θ (P 点为圆和椭圆的交点) ,由开普勒第二定律,后 2 1 者 又 应 等 于 飞 船 在 近 、 远 火 星 点 的 面 积 速 度 rυ , 故 2 1 1 1 r0υ0 = r0υ P sin θ = rυ ,即 r0υ0 = rυ 2 2 2 1 Mm 1 Mm 2 由机械能守恒定律有 mυ 2 ? G = m(υ0 + α 2υ02 ) ? G 2 r 2 r0

飞船沿原圆轨道运动时,有 G 式中 r0 = R + H ,r=R+h

υ2 Mm =m 0 r02 r0

上述三个方程消去 G、 、 0 后可解得关于 r 的方程为 (1 ? α 2 )r 2 ? 2r0 r + r02 = 0 M υ
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上式有两个解,大者为 r远 ,小者为 r近 . r近 = r0 r R+H R+H = , r远 = 0 = 1+α 1+α 1?α 1?α
H ?αR H +αR , h近 = r近 ? R = 1+α 1?α r0 1?α 2

故近、远火星点距火星表面的高度为
h远 = r远 ? R =

(2)设椭圆轨道的半长轴为 a r近 + r远 = 2a ,即 a =

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为 T0 =

2π r0

υ0

,设飞船喷气后,绕椭圆轨道运

行的周期为 T,由开普勒第三定律有

T a 3 = ( )2 T0 r0

3 3 2π r0 a 3 1 2π R + H) 1 ( 故 T = T0 )2 = ( ( )2 ,即 T = ( )2 。 2 2 r0 υ0 1 ? α υ0 1?α

6.解:设脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动的速度为 V0,有

GM m ? GM m (M + m)(M + m)V02 = ,得 V0 = 2 (3Rm) 3Rm 3Rm
其运动周期 T0 =

2π 3Rm) ( 3Rm = 6π Rm V0 GM m
GM m , 2 Rm

①式中 Mm 为月球的质

量,而月球表面的重力加速度 g m =



GM m = g m Rm = 1.62 ×1.74 × 106 = 2.82 × 106 m 2 / s 2 Rm

因而①式中 T0 ≈ 33812 s ≈ 9.4h 设登月器与航天飞机脱离后两者的的速度分别为 V1 和 V2,由动量守恒可得 (M + m)V0 = mV1 + MV2 ②

此后两者沿不同的椭圆轨道运动,设登月器运动到月球表面时的速度为 V1′ , GM m m 1 2 GM m m 1 = V1′ ? 则由机械能守恒得 mV12 ? 2 3Rm 2 Rm
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由开普勒第二定律 3RmV1 = RmV1′ 由③④可得, V1 =

④ ⑤

GM m 1 = V0 6 Rm 2


3 1 将⑤代入②得, V2 = ( ? )V0 2 2 2

设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为 KRm ,速度为 V2′ ,同样可得
GM m m 1 GM m m 1 类似于③④式的方程 mV22 ? = mV2′2 ? 2 3Rm 2 Rm 3RmV2 = KRmV2′




3 =

由⑦⑧式可解得 K =

19 ? 6 2 ≈ 5.75 V0 2 2 2 ?1 2( ) ? 1 V2
1 ( K + 3) Rm 2

故航天飞机运动轨道的半长轴为 d m =



由题意知,登月器为能沿原轨道返回脱离点与航天飞机实现对接,则它 在月球上 可逗留的时间应是 ?t = (n + 1)TM ? Tm (n = 0,1, 2 ???) ⑩

式中 TM 与 Tm 分别为航天飞机与登月器运动周期,由开普勒第三定律,得
d 3 TM K + 3 32 =( m ) 2 =( ) ≈ 1.76 T0 3Rm 6 Tm 2R 3 2 3 = ( m ) 2 = ( ) 2 ≈ 0.54 T0 3Rm 3 TM ≈ 1.76T0 , Tm ≈ 0.54T0

将两式代入⑩式,得

?t = [ (n + 1) × 1.76 ? 0.54] T0 = (1.76n + 1.22) × 9.4h

(n = 0,1, 2 ???)

上式即为登月器在月球表面可逗留的时间,最短时间为 11.5 h.
7.解: 1)这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球 (

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引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到 N 点, 则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的 发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内, 因此导弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内, 地心 O 是椭圆的一个焦点.根据对称性, 注意到椭圆上的 C、 两点到焦点 O N 的距离相等,故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB, 椭圆的另一焦点必在 AB 上.已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的 引力作用下作椭圆运动时, 物体和地球构成的系统的能量 E(无穷远作为引力 势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 E = ?
GMm (1) 2a

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短.根据椭圆的几何性质可 知,椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值, 等于地球的半径 R, 只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离 最小,该椭圆的半长轴就最小.显然,当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂 足处时,C 到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

2a = R +

2 R 2

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有
E= 1 GMm mυ 2 ? 2 R (3)

解(1)、(2)、(3)式得 υ =

2GM ( 2 ?) R

(4)

因G

Mm = mg R2

(5)

比较(4)、(5)两式得 υ = 2 Rg ( 2 ?)

(6)

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代入有关数据得 υ = 7.2km / s

(7)

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识,过椭圆上一点的切 线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出, 速度方向 与 OC 的夹角

θ = 900 ? × 450 = 67.50

1 2

(8)

(2)由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为

υC =

2π R (9) T

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故

υC = 0.46km / s (10)
C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上 C 点的导弹发射前也

有与子午面垂直的速度 υC ,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满 足(7)、 两式的要求, (8) 导弹相对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 υC 、 方向与 υC 相反的分速度,以使导弹在此方向相对于地心的速度为零,导弹 的速度的大小为
2 υ ′ = υ 2 + υC (11)

代入有关数据得 υ ′ = 7.4km / s

(12)

它在赤道面内的分速度与 υC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式. (3)质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普 勒定律,故对于近地点和远地点有下列关系式

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1 GMm 1 GMm 2 mυ12 ? = mυ2 ? 2 2 r1 r2
1 1 r1υ1 = r2υ2 2 2

(13)

(14)

式中 υ1 、υ2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点 到地心的距离.将(14)式中的 υ1 代入(13)式,经整理得

2 1 GMm 2 r2 mυ2 ( 2 ? 1) = (r2 ? r1 ) 2 r1 r1r2

(15)

注意到 r1+r2=2a
1 GMm r1 2 得 mυ2 = 2 2a r2

(16)

(17)



E=

1 GMm 2 mυ2 = 2 r2

(18)

由(16)、(17)、(18)式得 E = ?

GMm 2a

(19)

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