2018名师原创文科数学专题卷:专题17《坐标系与参数方程》

2018 名师原创文科数学专题卷 专题十七 坐标系与参数方程
考点 54:极坐标与直角坐标(1-6 题,13,14 题,17-19 题) 考点 55:参数方程(7-12 题,15,16 题,20-22 题) 考试时间:120 分钟 满分:150 分 说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1. 【来源】2017 届山西太原市高三上期中 考点 54 易 在极坐标系中,点 ?1,0 ? 与点 ? 2, ? ? 的距离为 ( A. 1 B. 3 C. 1 ? ?
2

) D. 9 ? ?
2

2. 【来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)考点 55 中难 下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是( ).

(A) ? ? 6 ? 5cos? (C) ? ? 6 ? 5cos?

(B) ? ? 6 ? 5sin ? (D) ? ? 6 ? 5sin?

3. 【来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试(江西卷) 考点 54 中难 若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段

y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( )
A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

4

4. 【来源】2015 届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点 54 在极坐标系中,关于曲线 C : ? ? 4sin ? ? ?

中难

? ?

??

? 的下列判断中正确的是 3?

A、曲线 C 关于直线 ? ? C、曲线 C 关于点 ? 2,

5? 对称 6

B、曲线 C 关于直线 ? ?

?
3

对称

? ?

??

? 对称 3?

D、曲线 C 关于极点 ? 0, 0 ? 对称

5. 【来源】2015 届安徽省淮南一中等四校高三 5 月联考 考点 54 中难 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? cos ? ( ? 为参数).以坐标原点为 y ? sin ? ?

极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 直线 l 与圆 C 相切,则实数 a 的取值个数为( ) A .0 B.1 C.2 D.3 6. 【来源】2016 届重庆市巴蜀中学高三 10 月月考

?
4

)?

2 .若 2

考点 54 难

在极坐标系中,设曲线 C1:? ? 2sin ? 与 C2:? ? 2cos? 的交点分别为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为( )

1 sin ? ? cos ? 1 B. ? ? sin ? ? cos ? ? C. ? ? ( ? ? R ) 4 3? D. ? ? ( ? ? R) 4
A. ? ? 7. 【来源】2014 届天津市蓟县马伸桥中学高三 5 月月考 考点 55 直线 ? 易

x?t (t 为参数)与曲线 ? =1 的位置关系是( ? y ? at ? 2a ?

) D.不确定

A.相离 B.相交 C.相切 8. 【来源】2016 届四川省成都市高三模拟 考点 55 易

? x ? 2 ? t sin 300 ? 若曲线 ? ( t 为参数)与曲线 ? ? 2 2 相交于 B , C 两点,则 | BC | 的值 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30
为( A. 2 7 ) . B. 60 C. 7 2 D. 30

9. 【来源】2015-2016 学年河北省黄骅中学高二下期中 考点 55 中难

参数方程 ?

1 ? ?x ? t ? t (t 为参数)所表示的曲线是 ( ? ? y ? ?2
B.两条射线 C.一条直线



A.一条射线

D.两条直线

10. 【来源】2013 届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点 55 若直线 l 的参数方程为 ? A. ?

中难 )

? x ? 1 ? 3t (t为参数) ,则直线 l 倾斜角的余弦值为( ? y ? 2 ? 4t
3 5
C.

4 5

B. ?

3 5

D.

4 5

11. 【来源】2014 届江西师大附中高三三模 考点 55 中难 直线 l 的参数方程是 ?

? ? x ? 2t ? ? y ? 2t ? 4 2

(其中 t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程

? ? ? 2 cos(? ? ) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是(
4
A. 2 B.2 C. 3 D. 2 6



12. 【来源】2017 届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点 55 难 已知实数 A. 6 满足 B. 12 C. 13 ,则 的最大值为( )

D. 14 第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. 【2017 天津】考点 54 易 在极坐标系中, 直线 4 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 与圆 ? ? 2sin ? 的公共点的个数为___________. 14.【2017 北京】 考点 54 中难 在极坐标系中, 点 A 在圆 ? 2 ? 2? cos ? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 上, 点 P 的坐标为 (1,0) , 则|AP| 的最小值为___________. 15. 【来源】2016 届上海市行知中学高三第一次月考 考点 55 方程 ? 易

? 6

? x ? sin ? ? cos? ( ? 为参数)所表示曲线的准线方程是__________. ? y ? 1 ? sin 2?
中难

16. 【来源】2015-2016 学年宁夏六盘山高中高二下第二次月考 考点 55 直线 y ? x ? b 与曲线 ?

? x ? cos ? ? ? ( ? 为参数,且 ? ? ? ? )有两个不同的交点,则实数 2 2 ? y ? sin ?

b 的取值范围___________.
三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (本题满分 10 分) 【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学 2017 届高三下学期第三次模拟考试 考点 54 中难 已知半圆 C 的参数方程为 {

x ? cos? y ? 1 ? sin?

,其中 ? 为参数,且 ? ? ? ?

? ? ?? . , ? 2 2? ?

(1)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 求半圆 C 的极坐标方程; (2)在(1)的条件下,设 T 是半圆 C 上的一点,且 OT ? 3 ,试写出 T 点的极坐标. 18.(本题满分 12 分) 【来源】辽宁省鞍山市 2017 届高三下学期第一次质量检测 考点 54 中难 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 { 在以 O 为极点,

x ? acos? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) , y ? bsin?

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 是圆心在极轴上,且经过极点
? ? 3? ? ? 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C2 交于点 ? ? 3 3 2 ?

的圆 . 已知曲线 C1 上的点 M ? 1, ?

? ?? D ?1, ? . ? 3?
(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 A ? ?1 ,? ? , B ? ? 2 ,? ?

? ?

??

1 1 ? 在曲线 C1 上,求 2 ? 2 的值. 2? ?1 ? 2

19.(本题满分 12 分) 【2017 课标 II】 考点 54 中难 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的 极坐标方程为 ? cos ? ? 4 。 (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2,

?
3

) ,点 B 在曲线 C2 上,求 △OAB 面积的最大值。

20. (本题满分 12 分) 【2017 课标 1】考点 55 易
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方程 ? y ? sin ? ,

为 ? x ? a ? 4t , (t为参数) . ? ? y ? 1 ? t, (1)若 a=? 1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.

21. (本题满分 12 分)【2017 课标 3】 考点 55 中难
? x ? 2+t , 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数),直线 l2 的参数方程为 ? y ? kt ,

? x ? ?2 ? m, ? (m为参数) .设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. m ? y? , ? k ?
(1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l3 : ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 ? 0 ,

M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径.
22.(本题满分 12 分) 【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点 55



在平面直角坐标系,将曲线 C1 上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的 得到曲线 C2 ,以坐标原点 O 为极点, 方程为 ? ? 2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的参数方程;

1 , 2

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, C1 的极坐标

(Ⅱ)过原点 O 且关于 y 轴对称的两条直线 l1 与 l2 分别交曲线 C2 于 A 、 C 和 B 、 D ,且 点 A 在第一象限,当四边形 ABCD 的周长最大时,求直线 l1 的普通方程.

参考答案
1. 【答案】B 【解析】在极坐标系中,作出点 ?1,0 ? 与点 ? 2, ? ? ,可得两点之间的距离为 d ? 1 ? 2 ? 3 , 故选 B. 2. 【答案】D 【解析】依次取 ? ? 0, , π, 3. 【答案】A 【解析】根据 ? cos ? ? x, ? sin ? ? y, ? ? 0,? ?[0, 2? ] , y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 得:

π 2

3π ,结合图形可知只有 ? ? 6 ? 5sin ? 满足,选 D. 2

y ?[0,1], ? sin ? ? 1 ? ? cos? ,(0 ? ? cos ? ? 1,0 ? ? sin ? ? 1,)

1 ? , 0 ? ? ? ,选 A. cos ? ? sin ? 2 4. 【答案】 A .
解得 ? ? 【解析】由 ? ? 4sin ? ? ?

? ?

??

2 ? 得 ? ? 2? sin ? ? 2 3? cos? 即 x ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 , 3?

?

?

2

2

所以曲线 C 是圆心为 ? 3,1 ,半径为 2 的圆,所以曲线 C 关于直线 ? ?

?

?

5? 对称,关于点 6

? 5? ? 2, ? 6

? ? 对称. ?

5. 【答案】C 【解析】圆 C 的普通方程为 ( x ? a) ? y ? 1 ,直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,因为
2 2

直线 l 与圆 C 相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即 故选 C . 6. 【答案】A

| a ? 0 ? 1| ? 1, a ? ?1 ? 2 , 2

2 2 2 2 【 解 析 】 曲 线 C1 : ? ? 2 sin ? 的 直 角 坐 标 方 程 x ? y ? 2 y 即 x ? ( y ? 1) ? 1 , 曲 线

C2 : ? ? 2 cos? 的直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 2 x 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,两曲线均为圆,圆心分
别 C1 (0,1),C2 (1,0) ,所以线段 AB 的中垂线为两圆心连线,其直角坐标方程为 x ? y ? 1 , 化为极坐标方程得 ? ? 7. 【答案】D 【解析】在平面直角坐标系下, ?

1 ,故选 A. sin ? ? cos ?
x?t 表示直线 y ? ax? 2 a , ? =1 表示半圆 ? y ? at ? 2a ?

x2 ? y 2 ? 1(y ? 0) ,由于 a 的取值不确定,所以直线与半圆的位置关系不确定,选 D.
8. 【答案】D
0 ? ? x ? 2 ? t sin 30 【解析】将直线 ? 化为普通方程为 x ? y ? 1 ,曲线 ? ? 2 2 的直角坐标方 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30

程 为 x2 ? y 2 ? 8 ; 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

?1 2

?

2 ,根据圆中特殊三角形,则 2

BC ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 8 ?
9. 【答案】B

1 ? 30 ,故选 D. 2
1 t

【解析】 x ? t ? ? 2 或 x ? t ? ? ?2 ,所以表示的曲线是两条射线 10. 【答案】B 【解析】? ?

1 t

? x ? 1 ? 3t x ?1 2 ? y ,故直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 , (t为参数),? ? y ? 2 ? 4 t 3 4 ?
4 ?? ? ,所以 ? ? ? , ? ? ,所以直线 l 倾斜角的余弦值为 3 ?2 ?

所以倾斜角 ? 的正切值为 tan ? ? ?

cos ? ? ?

1 1 ? tan 2 ?

3 ?? . 5

11. 【答案】D 【解析】将圆的极坐标方程和直线 l 的参数方程转化 为普通方程

? 2? ? 2? 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x ? ? y ? ? ? ? ? ?1和 x ? y ? 4 2 ? 0, ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
l 的距离 d=5,要使切线长最小,必须直线 l 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心 到直线的距离 d,求出 d,由勾股定理可求切线长的最小值. 12. 【答案】B

2

2

【解析】实数

满足的区域为椭圆

及其内部,椭圆的参数方程为

( 为参数) ,记目标函数 , 故

,易知 . 设 椭 圆 上 的 点

,则

,其中

,所以 的

最大值为 12,故选 B. 13. 【答案】2 【解析】直线为 2 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,圆为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,因为 d ? 个交点 14. 【答案】1 【 解 析 】 将 圆 的 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 整 理 为

3 ? 1 ,所以有两 4

? x ? 1?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 ,圆心 C ?1, 2? ,点 P 是圆外一点,所以 AP 的最小值就是
2

AC ? r ? 2 ?1 ? 1 .
15. 【答案】 y ? ?

1 4

【解析】利用同角三角函数的基本关系,消去参数 ? ,参数方程 ?

? x ? sin ? ? cos? (? 为 y ? 1 ? sin 2 ? ?

参数)化为普通方程可得 x 2 ? y?0 ? y ? 2? ,表示抛物线的一部分,故其准线方程为

y??

1 . 4

16. 【答案】 ? 2, ?1?

?

?

【解析】曲线 ?

? x ? cos ? ? ? ( ? 为参数,且 ? ? ? ? )的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) , 2 2 ? y ? sin ?

它是半圆,单位圆在 y 右边的部分,作直线 y ? x ? b ,如图,它过点 A(0, ?1) 时, b ? ?1 , 当它在下方与圆相切时, b ? ? 2 ,因此所求范围是 b ? (? 2, ?1] .
y B O A C x

17.【答案】 (1) ? ? 2sin? , ? ? ? 0,

? ? ?? .(2) ? ? ? 3 ? 2?
x ? cos? y ? 1 ? sin?
,其中 ? 为参数,且 ? ? ? ?

【解析】 (1)根据半圆 C 的参数方程 {
2 圆的普通方程为: x ? ? y ? 1? ? 1 2

? ? ?? ,得 , ? 2 2? ?

? 0 ? x ? 1? ,

所以,半圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2sin? , ? ? ? 0,

? ?? . ? 2? ?

(2)因为 OT ? 3 ,所以令 3 ? 2sin? , ? ? ? 0,

? ?? , ? 2? ?

则解得 ? ?

?
3

.故点 T 的极坐标为 ? 3,
2

? ?

??

?. 3?
5 4

2 18. 【答案】 (1) ? x ? 1? ? y ? 1 (2)

【解析】 (Ⅰ)将 M ? 1, ?

? ?

x ? acos? 3 3? ? 及对应的参数 ? ? ,代入 { ,得 { , ? ? 3 2 ? y ? bsin? 3 ? ? bsin 2 3

1 ? acos

?

即{

a?2 , b ?1

所以曲线 C1 的方程为 {

x ? 2cos? y ? sin?

( ? 为参数) ,或

x2 ? y 2 ? 1 .设圆 C2 的半径为 R ,由题 4
2

2 2 意 , 圆 C2 的 方 程 为 ? ? 2 Rcos? , ( 或 ? x ? R ? ? y ? R ) . 将 点 D ? 1,

? ?? ? 代入 ? 3?

? ? 2 R c o? s ,得 1 ? 2 Rcos
(或由 D ? 1,

?
3

,即 R ? 1 .

?1 3? 2 ? ?? 2 2 , ,代入 ? x ? R ? ? y ? R ,得 R ? 1 ) , ? ? ,得 D ? ? ? 2 2 ? 3? ? ?
2

2 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .

(Ⅱ)因为点 A ? ?1 ,? ? , B ? ? 2 ,? ?
2 ?2 sin 2?

? ?

??
2?

? 在曲线 C1 上,所以

?12cos2?
4

? ?12sin 2? ? 1 ,

4

?
1 1
2 ?2

2 ?2 cos2? ? 1 ,所以

?12

?
2

? cos 2? ? ? sin 2? ? 5 ?? ? sin 2? ? ? ? ? cos 2? ? ? . ? 4 ? ? 4 ? 4

2 19. 【答案】(1) ? x ? 2 ? ? y ? 4 ? x ? 0 ? ;(2) 2 ? 3 。

【解析】

(2) 设点 B 的极坐标为 ? ?B ,? ?? ?B ? 0? ,由题设知 OA ? 2, ?B ? 4cos ? ,于是 △OAB 面 积

S?

1 OA ? ? B ? sin ?AOB 2 ?? ? ? 4 cos ? ? sin ? ? ? ? 3? ?

?? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? 3? 2 ?
? 2 ? 3。
当? ? ?

?
12

时,S 取得最大值 2 ? 3 。

所以 △OAB 面积的最大值为 2 ? 3 。

20. (2)直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? a ? 4 ? 0 ,故 C 上的点 (3cos ? ,sin ? ) 到 l 的距离为

d?

| 3cos ? ? 4sin ? ? a ? 4 | . 17 a?9 a?9 ? 17 ,所以 a ? 8 ; .由题设得 17 17

当 a ? ?4 时, d 的最大值为

当 a ? ?4 时, d 的最大值为 综上, a ? 8 或 a ? ?16 .

?a ? 1 ?a ? 1 .由题设得 ? 17 ,所以 a ? ?16 . 17 17

21. 【答案】(1) x ? y ? 4 ? y ? 0? ;(2)
2 2

5

【解析】

? y ? k ? x ? 2? ? 设 p ? x, y ? ,由题设得 ? ,消去 k 得 x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0? . 1 ? y ? ? x ? 2? k ?
所以 C 的普通方程为 x ? y ? 4 ? y ? 0? .
2 2

22. 【答案】(1) {

x ? 2cos? 1 ( ? 为参数) . (2) y ? x 4 y ? sin?

【解析】 (Ⅰ)

x ? 2cos? x2 ? y2 ? 1 , { ( ? 为参数) . 4 y ? sin?

(Ⅱ)设四边形 ABCD 的周长为 l ,设点 A? 2cosq,sinq ? ,

l ? 8cos? ? 4sin? ? 4 5 ? 2 cos? ? 1 sin? ? ? 4 5sin ?? ? ? ? , ? ?
? 5 5 ?

且 cos? ?

1 2 , sin? ? , 5 5

所以,当 ? ? ? ? 2k? ? 此时 ? ? 2k? ?

?
2

( k ? Z )时, l 取最大值,

?
2

?? ,

所以, 2cos? ? 2sin? ?

4 1 , sin? ? cos? ? , 5 5

此时, A ?

1 ? 4 1 ? , ? , l1 的普通方程为 y ? 4 x . ? 5 5?


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