2019年最新-人教版高中数学选修2.1合情推理与演绎推理ppt课件_图文

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理 1 1、什么是推理 推理是人们思维活动的过程,是根据一个或几个已知的判 断来确定一个新的判断的思维过程。 在日常生活中,人们常常需要进行这样那样的推理。例如: 医生诊断病人的病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天气的可能状态, 考古学家推断遗址的年代, 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中,证明的过程更离不开推理。 2 2、数学猜想 数学中有各种各样的猜想,如:歌德巴赫猜想、费马 猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。 3 歌德巴赫猜想提出猜想的过程: 据说歌德巴赫无意中观察到: 3+7=10,3+17=20,13+17=30, 他有意把上面的式子改写成: 10=3+7,20=3+17,30=13+17。 其中反映了一个规律: 偶数=奇质数+奇质数 于是,歌德巴赫产生了一个想法:10,20,30都是偶数,那么 其他偶数是否也有类似的规律呢? 4 显然,第一个等于两个奇 再看看超过6的偶数: 质数之和的偶数是6,即 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 6=3+3 14=7+7, 16=5+11, …… 1000=29+971, 1002=139+863, …… 根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶 数都等于两个奇质数之和。 5 现在,我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程: 通过对一些偶 数的验证,他发现它们总可以表示成两个奇质数之和,而且没有出现 反例。于是,提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”。 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对 象都具有这些特征的推理,或者由个别事物概括出一般结论的推理,称 为归纳推理(简称归纳)。 简而言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。 6 应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论,下面是一个数 学中的例子。 例1 观察图2.1-1,可以发现: 1 23456 7 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, …… 由上述具体事实能提出怎样的 结论? 可以猜想:前n (n ?个连N续* )奇数的和等于n的平方, 即 1?3? ?(2n? 1 )?n2. 7 例2 已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1 (n?1,2, ),试归纳出这个数列的通项公式。 ? an 1 ? an 可以根据已知的递推公式,算出数列的前几项,然后归纳猜想它的 通项公式。 an ? 1. n 在例1和例2中,我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们 是否正确还有待严格的证明,但猜想可以为我们的研究提供一 种方向。 8 归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可靠,还需证明 例如,法国数学家费马观察到 2 2 1 ? 1 ? 5 , 2 2 2 ? 1 ? 1 7 , 2 2 3 ? 1 ? 2 5 7 , 2 2 4 ? 1 ? 6 5 5 3 7 都是质数,于是他用归纳推理提出猜想:任何形如 22n ?1(n?N的*数) 都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现,第5个费马数 F 5 ? 2 2 5 ? 1 ? 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7 ? 6 4 1 ? 6 7 0 0 4 1 7 不是质数,从而推翻了费马的猜想。 9 除了归纳,在人们的创造发明活动中,还常常应用类比。 例如: 据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙,发明了锯; 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理,发明了潜水艇;等 等。事实上,仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。 为了回答“火星上是否有生命”这个问题,科学家把火星与地球作 类比,发现火星具有一些与地球类似的特征,如火星也是围绕太阳运行、 绕轴自转的行星,也有大气层,在一年中也有季节的变更,而且火星上 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等。由此,科学 家猜想:火星上可能有生命存在。 10 思考:P72 科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 答:在提出上述猜想的过程中,科学家对比了火星与地球 之间的某些相似特征,然后从地球的一个已知特征(有生 命存在)出发,猜测火星也可能具有这个特征。 11 数学研究中也常常进行这样的推理。 例如,在研究球体时,我们会自然地联想到圆。由于求与圆在形状上都 有类似的地方,即都具有完美的对称性,都是到定点的距离等于定长的 点的集合,因此我们推测对于圆的特征,球也可能具有。 圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于圆的半径, 类比: 对于球,我们推测可能存在这样的平面,与球只交于一点,该点都 球心的距离等于球的半径。 平面内不共线的3个点确定一个圆, 类比: 猜想空间中不共面的4个点确定一个球;等等。 12 探究P72: 类比圆的特征,填写表2-1中球的相关特征,并说说推理的过程。 13 类比推理定义: 这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象的某些一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)。 简而言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 14 探究P74: 你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象? 从构成几何体的元素数目看,四面体由4个平面围成,它是空间中由数 目最少的基本元素(平面)围成的封闭几何体; 从构成几何体的元素数目看,三角形由3条直线围成, 它是平面内由数目最少的基本元素(直线)围成的封闭图形。 从这个角度看,我们可以把三角形作为四面体的类比对象。 15 例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想。 解:考虑到直角三角形的两条边互 B 相垂直,我们可以选取有3个面两 两互相垂直的四面体,作为直角三 a c 角形的类比对象。 C

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