平面向量专题

平面向量专题
基础知识
1、 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作_____,它的长度与方向规定如下: ①

? a =____;② 当 ? >0 时, ? a 与 a 的方向____,当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向____.

2、 平面向量基本定理:________________________________________________. 3、 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =_________. 4、 已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b =_______, a ? b =______, ? a =_______, 5、两个非零向量 a与b 的夹角 ? 的范围__________. 6、平面向量的数量积的坐标表示:若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 ⑴ a ? b =_____________;⑵ a =_____________;⑶ a ? b ? ____________; ⑷ a // b ? ________________;⑸cos ? =____________________________; ⑹设 A(x1,y1),B(x2,y2)则 | AB | =____________________________.

?

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一、共线
例 1 如图,在△OAB 中,点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点,点 D 是将 OB 分成 2:1 的一个内分 点,DC 和 OA 交于点 E,设 OA ? a , OB ? b 。 (1)用 a 和 b 表示向量 OC 、 DC ; (2)若 OE ? ? OA ,求实数 ? 的值。

练习 1、已知平面上有 A(-2,1) 、B(1,4) 、D(4,-3)三个点,又有一点 C 在 AB 上, AC ? 连结 DC,并延长至 E,使 CE ? ?

1 CB 。 2

1 ED ,则 E 点的坐标为( 4
C、 ? ? 8,? 5 ? ? ?
? 3?



A、 (0,1) B、 (0,1)或 ? 2, 11 ? ? ? ? 3?

D、 ? ?

? 8 11 ? ,? ? ? 3 3?

? ? ? AB AC ? 2、 是平面上一点, B、 是平面上不共线的三点, O A、 C 满足 OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,?? ? , ? AB AC ? ? ? 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

3、已知 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 ( OB ? OC )( OB ? OC ? 2OA )=0,则△ABC 的形状是 · 。 4、已知 a=6i+j,b=-2i+2j,若单位向量 c 与 2a+3b 共线,则向量 c 的坐标是_____

二、垂直
例 2 设 OA =(2,5) OB =(3,1) OC =(6,3) , , ,在 OC 上是否存在点 M,使 MA ? MB 若 存在,求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由.

练习 1、已知向量 ,如果向量 垂直,则 的值为( )

A 、

B 、

C、

D、

2、设向量 OA =(3,1) OB =(-1,2) OC ⊥ OB , BC ∥ OA ,且 OD + OA = OC ,则 OD , , 等于( )A、 (11,-8) B、 (-11,8) C、 (11,6) D、 (6,11)

三、夹角
例 3 已知两个向量 a 及 b 的夹角为 60 ,|a|=3,|b|=4,则向量 a-2b 与向量 3a+b 的夹角的余弦 值是
o

练习 o 1、已知 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且 a 与 b 的夹角大于 90 ,则实数 m 的取值范围为( A、m>2 或
4 ? m< 3



B、

?

4 3

<m<2

C、m≠2

D、m≠2 且

4 ? m≠ 3

2、钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其中最大角不超过 120 ,则 a 的取值范围是( A 、 0<a<3 B、 2 ? a ? 3 C、

0



3 ?a?3 2
,则

D、 1 ? a ?

5 2


3、已知 A、 B、 C、

的夹角为( D、

四、模长
例 4 已知平面向量 a=( cos 求:a·b 及|a+b|

3 3 1 1 ? ,b=( cos x, sin x ) ,且 x ? [0, ], x, sin x, ) 2 2 2 2 2

练习 1、已知正方形 A、 0 B、 3 的边长为 1,则 C 、 D、 2 2 的模等于( )

2、设向量 a 和 b 的长度分别为 4 和 3,夹角为 60 ,则| a + b | =_____ 3、已知向量 a = (cos? , sin? ) ,向量 b = ( 3 ,?1) ,则 2a ? b 的最大值是

0

五、数量积
例 5 已知 a =4,| b |=3, (2a ? 3b ) ? (2a ? b ) ? 61 求:(1)向量 a与b 的夹角; ⑵

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b 和 a ? b ;(3)若 AB = a , AC = b ,作 ?ABC ,求 ?ABC 的面积。

1、在边长为 1 的等边△ABC 中,若 BC =a, CA =b, AB =c,则 a·b + b·c + c·a 等于(



3 A、 2

B

3 2

C、3

D、0

2、平面内有向量 OA =(1,7) OB =(5,1) OP =(2,1) 、 、 ,点 M 为直线 OP 上的一个动点。 (1)当 MA? MB 取最小值时,求 OM 的坐标; (2)当点 M 满足(1)条件和结论时,求∠AMB 的值。


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