两角和与差二倍角公式求值


1

两角和与差二倍角公式
sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

(二)倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2 ? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

例 1、求值

?1?sin 555?
例 2 设 cos?? ?

?2? tan? ? 5? ? ? ?
? 12 ?

? ?

??

? 1 ?? ? 2 ? ? ? ? , sin? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos?? ? ? ?. 2 2? 9 ?2 ? 3 2

(二),公式逆用 sin1630sin2230+sin2530sin3130

例3

已知

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ? 3 ? , 且 cos?? ? ? ? ? 0, 求 sin?? ? 3? ? tan? ? tan?? ? ? ? 4

(三).用用边角关系的公式解三角形 例 4、在三角形 ABC 中,角 A..B.C 对边 a,b,c

证明 :

a 2 ? b2 sin( A ? B) ? sin C c2

(四)综合 例 5、? ? ? ? ? ? (0, ? ),sin ? ? sin ? ? sin ?

2 cos ? ? cos ? ? cos ? , 求? ? ?

2

三角函数式的求值 (1)“给角求值” :给出非特殊角求式子的值。找出和特殊角之间的关系,利用公式转化或消 除非特殊角 例 1、计算 sin 400 (tan100 ? 3) 的值。 练习:(全国高考)tan20°+4sin20° “给值求值” 2 例 2、(上海高考)已知 tan(45°+θ )=3,求 sin2θ -2cos θ 的值

练习:已知 tan

?
2

?

1 ? , 求 sin(? ? ) 2 6

例 3、已知 sin(

?
4

? x)=

5 ? ,0<x< ,求 13 4

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

练习:设 cos(α ?

?
2

)= ?

1 ? 2 ,sin( ? ? )= ,且 ? ? ,求 cos(α +β ) ? ? ? ? ,0 ? ? ? 9 2 3
2 2

“给值求角” :求角的大小,常分两步完成:第一步,先求出此角的某一三角函数值;第二 步,再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时,要尽可能地将角的范围缩小,否则 易产生增解 例 4、若 ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

7

1 , tan ? ? ? ,求α +2β 。 3 50

练习:已知α ,β 为锐角,tanα =1/7

sinβ =

10 ,求 2α +β 的值 10

“给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。 例 5、已知 sin(? ? ? ) ?

1 1 , sin(? ? ? ) ? ,求 tanα :tanβ 的值。 2 3

练习: 已知 sinα +sinβ = m 已知 cosα +cosβ = n(mn≠0). 求⑴cos(α -β ); ⑵sin(α +β );⑶tan(α +β )

3

三角函数的化简与证明最值
化简基本方法:用公式;异角化同角;异名化同名;化切割为弦;特殊值与特殊角的三角函 数值互化。 例 1: (1)已知 ? 为第四象限角,化简: cos?

1 ? sin ? 1 ? cos? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos?

(2)已知 270 ? ? ? 360 ,化简
? ?

1 1 ? 2 2

1 1 ? cos 2? 2 2

求三角函数的最值的类型与方法: 1.形如 y=asinx+b 或 y=acosx+b,可根据 sinx,cosx 的有界性来求最值; 2. 形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bcosx+c 看成是关于 sinx 或 cosx 的 二次函数,变为 y=a(sinx+m)2+k 或 y=a(cosx+m)2+k,但要注意它与二次函数求 最值的区别,此时|sinx|≤1,|cosx|≤1

【例 1】 求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值 的 x 的集合.

例 2、试求函数 Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值,最小值. 若 x ? [0,

?
2

] 呢?

练习:a,b 为何值时,函数 y ? ?a ? b ? sin x ?
2

a?b cos 2 x 的值为 2?(a=3,b=1) 2

例 3、 求证 :

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? sin ? sin ?

4

练习、求证: tan x ?
2

1. sin

5 ? ? cos ? _________, 12 12

1 2?3 ? cos 4 x ? ? 2 1 ? cos 4 x tan x
sin15? sin 30? sin 75? ? _________,

cos 20? cos 40? cos 80? ? ________,

? ? 33 5 2.已知 ? ? (0, ), ? ? ( , ? ), 且 sin( ? ? ) ? , cos ? ? ? , 则 sin? 的值是 ( ? 2 2 65 13
A. ?
33 65


33 65

B.

3 5

C. ?

36 65

D. ( ) D.

3.已知 tan( ? ? ) ? ? A.
13 18

2 1 ? , tan(? ? ? ) ? , 那么tan( ? ) 的值是 ? 54 4 4

B.

3 22

C.

13 22

3 18

1 4.已知 sin x ? cos x ? , x ?[0, ? )则 tan x 的值是 ( 5

) C. ?
4 3

A. ?

3 4

B. ?

4 3

D. ?

3 4 或? 4 3

1 1 5.已知sin? ? , sin ? ? , 则 sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? __________ . ? ? ___ 3 2

6.已知 sin? ? ?

24 ? , 且? 是第三象限的角,求 sin( ? ) ? _______, 2? _______, ? sin 25 6

7.Δ ABC 中, cos A ? 3 ? 3 sin A, 则 A 的值为 A.

( C.
2? 3

) D. (

? 6

B.

? 2

? ? 或 2 6


8.若三角形的一个内角α 满足 sinα +cosα =

7 ,则这个三角形一定是 12

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 9.在Δ ABC 中,∠A>∠B,是 sinA > sinB 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即非充分又非必要条件 10.在Δ ABC 中,∠C=60°,则 cosAcosB 的取值范围是 ( )
1 1 3 1 1 A. (? , ] B. [0, ] C. [? , ] 2 4 4 4 4 11.在Δ ABC 中,C=90°,则 sin(A-B)+cos2A=___________.

D.以上都不对

12.函数 f ( x) ? cos2 ? sin x在区间 ? [

? ?

, ] 上的最小值是______________. 4 4

? ? 13.x =_________时,函数 y ? sin(x ? ) ? sin(x ? ) 的最大值为_____________. 4 4 14. 已知 2α +β =π , y = cosβ -6sinα 的最大值_____________, 求 最小值是_____________. 15.函数 f(x) = sinx + cosx 在区间[0,π ]上的最大值是____________,最小值是__________. 16.已知 x2 + y2 = 4,求 A = x2 + xy + y2 的最大值和最小值.

17.求函数 y = (1 + cosx ) sinx 在区间[0,π ]内的最大值


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