安徽省2009年高考数学模拟试卷一

安 徽 省 2009 年 高 考 数 学 模 拟 试 卷 一 数 学(理)
参考公式: b = 参考公式: ?

∑ x y ? nx y ∑ x ? nx
i i 2 2 i

? ? a = y ? bx

本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页, 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
1. 设集合 A = ( x , y ) 4 x + y = 6 , B = ( x , y ) 3 x + 2 y = 7 , 则满足 C ? ( A ∩ B ) 的集合

{

}

{

}

C 的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3 2.如果复数 z = A .35

1+ i + (1 ? i )2 ,则 (1 + z )7 的展开式(按 z 的升幂排列)的第 5 项是 1? i C. ?21 D. 21i B. ?35i

3.下列是关于函数 y = f ( x) , x ∈ [ a , b ] 的几个命题: ①若 x0 ∈ [ a , b ] 且满足 f ( x0 ) = 0, 则 ( x0 , 0) 是 f ( x ) 的一个零点; ②若 x0 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f ( x ) 的零点是方程 f ( x ) = 0, 的根,但 f ( x ) = 0 的根不一定是函数 f ( x ) 的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值。 那么以上叙述中,正确的个数为 A .0 B.1 C.3 D.4 4.若函数 f ( x ) = a ? x ( a > 0 , a ≠ 1) 是定义域为 R 的增函数,则函数 f ( x ) = log a ( x + 1) 的 图像大致是

y

y

y

y

o

1 A

x o

1 B

x

-1 C

o

x

-1 o D

x

5.在 △ ABC 中, a , b , c 分别为三个内角 A , B , C 所对应的边,设向量

m = (b ? c , c ? a ) , n = (b , c + a ) ,若 m ⊥ n ,则角 A 的大小为

A.

π
6

B.

π
3

C.

π
2

D.

2π 3

6.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是 A.27 B.30 C.33 D.36

1

3

3 正视图 侧视图

7.在等比数列 {an } 中,已知 a1a3 a11 = 8 ,那么 a2 a8 =

A.4 B.6 C.12 D.16 8.在样本的频率发布直方图中,共有11个小长方形,若其中一个小长方形的面积等于其 他10个小长方形面积和的四分之一,样本容量为160,则该小长方形这一组的频数为 A .32 B. 0.2 C.40 D. 0.25 9.已知函数 f ( x ) = 为

a sin[(1 ? a ) x] + cos[(1 ? a ) x] 的最大值为 2,则 f ( x) 的最小正周期

A.

π
4

B.

π
2
2 0

C. π
2

D. 2π

10. 若 a =



2

0

x 2 dx , b = ∫ x 3 dx , c = ∫ sin xdx ,则 a , b , c 大小关系是
0

A. a < c < b 11.已知二次曲线

B. a < b < c

C. c < b < a

D. c < a < b

x2 y 2 + = 1 ,则当 m ∈ [?2 , ? 1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是 4 m
B. [

A. [

2 3 , ] 2 2

2 6 , ] 2 2

C. [

5 6 , ] 2 2

D. [

3 6 , ] 2 2

12.在一次实验中,测得 ( x , y ) 的四组值为 (1, 2) , (2 ,3) , (3 , 4) , (4 , 5) ,则 y 与 x 之间的 回归直线方程为

? A. y = x + 1 ? C. y = 2 x + 1

? B. y = x + 2 ? D. y = x ? 1

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在可行域内任取一点规范如框图所示,则能输出数对 ( x , y ) 的概率是 开始 .

给出可行域 ?

? ?1 ≤ x + y ≤ 1 ? ?1 ≤ x ? y ≤ 1

在可行域内任取有序数对 ( x , y )

x2 + y2 ≤

1 2




输出数对 ( x , y )

结束 14.不等式 x ? 3 + 1 ? x < 3 的解集是 .

15.已知 f (x) 是定义在 (?∞,+∞) 上的减函数,其图象经过 A(?4,1) 、 B (0,?1) 两点,则不 等式 | f ( x ? 2) |< 1 的解集是_________________。 16. 已知直线 x + y = a 与圆 x 2 + y 2 = 4 交于 A , B 两点, OA + OB = OA ? OB , 且 其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为_________________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

x x 3x 3x P = (cos , sin ) Q(? cos , sin ) 2 2 、 2 2 ,其中 设平面上 P 、 Q 两点的坐标分别是 x ∈ [0, ] 2 。
(I)求 | PQ | 的表达式;
2 (II)记 f ( x ) =| PQ | ?4λ | PQ | (λ ∈ R ) ,求函数 f (x ) 的最小值。

π

18.(理)(本小题满分 12 分) 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必 须整改,整改后经复查仍不合格,则强制关闭,设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且 每家煤矿整改前合格的概率是 0.5,整改后安检合格的概率是 0.8,度求(结果精确到 0.01) (I)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (II)平均有多少家煤矿必须整改; (III)至少关闭一家煤矿的概率。 19.(本小题满分 12 分) 如图,多面体 PABCD 的直观图及三视图如图所示,E、F 分别为 PC、BD 的中点. (I)求证:EF∥平面 PAD; (II)求证:平面 PDC⊥平面 PAD.

1

1

2
正视图

侧视图 P

2

1
E

1

D F 俯视图

C

2

A 直观图

B

20.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) = ln x , g ( x ) = ax + 交点也在函数 g (x ) 的图象上,且在此点有公切线. (I)求 a 、 b 的值; (II)对任意 x > 0, 试比较f ( x)与g ( x) 的大小.

b ,函数 f (x ) 的图象与 x 轴的 x

21. (本小题共 14 分) 已知函数 y = f (x ) 的图象经过坐标原点, f ′( x) = 2 x ? 1, 数列{a n } 且 的前 n项和S n = f ( n)( n ∈ N ).
*

(I)求数列 {a n } 的通项公式;(文理)

(II)若数列 {bn }满足a n + log 3 n = log 3 bn , 求数列{bn }的前n项和. (文理)

x2 y 2 3 22(理).已知椭圆 C1 : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 ,直线 l : y = x + 2 与以原 a b 3 点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直
线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (III)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS = 0, 求 QS 的 取值范围.

(理)参考答案及评分标准
一、选择题:(1)-(12)CAADB 二、填空题:(13) 三、解答题: ( 17 ) 解 : ( 1 ) | PQ |= BAACD CA

π
4

(14) ? x

? 1 7? < x < ? (15) { x ?2 < x < 2} (16) a = ±2 2? ? 2

x 3x x 3x (cos + cos ) 2 + (sin ? sin ) 2 2 2 2 2

= 2 + 2 cos 2 x

= 4 cos 2 x = 2 cos x(∵ x ∈ [0, ]) 2
(2) f ( x ) = 4 cos x ? 8λ cos x = 4(cos x ? λ ) ? 4λ
2 2 2

π

…………6 分 …………8 分

∵ cos x ∈ [0,1] ∴ 0 ≤ λ ≤ 1 时, f ( x) min = ?4λ2
2 2 当 λ > 1 时, f ( x ) min = 4(1 ? λ ) ? 4λ = 4 ? 8λ 2 2 当 λ < 0 时, f ( x ) min = 4(0 ? λ ) ? 4λ = 0 ……11 分

f ( x) min
综上所述:

( λ < 0) ?0 ? 2 = ?? 4λ (0 ≤ λ ≤ 1) ?4 ? 8λ (λ > 1) ?

………………12 分

(18)解:(1)每家煤矿必须整改的概率 1-0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的,所以 恰好有两家煤矿必须整改的概率是

P = C52 × (1 ? 0.5)2 × 0.53 = 1

5 = 0.31 16

………………4 分

(2)由题设,必须整改的煤矿数 ξ 服从二项分布 B (5 , 0.5) ,从而 ξ 的数学期望是

Eξ = 5 × 0.5 = 2.5 ,即平均有 2.50 家煤矿必须整改.

………………8 分

(3)某煤矿被关闭,即煤矿第一次安检不合格,整改后复查仍不合格,所以该煤矿被关闭 的概率是 P2 = (1 ? 0.5) × (1 ? 0.8) = 0.1 ,从而该煤矿不被关闭的概率是 0.9,由题意,每家 煤矿是否关闭是相互独立的,所以 5 家煤矿都不被关闭的概率是
1 3 P = 0.95 = (1 ? 0.1)5 = 1 ? C5 × 0.1 + C52 × 0.12 ? C5 × 0.13 + ? ≈ 0.590

从而至少关闭一家煤矿的概率是 1 ? 0.590 = 0.41 ………………12 分 (19)证明:由多面体 PABCD 的三视图知,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是等腰三角形, PA = PD =

2,

且平面 PAD ⊥ 平面 ABCD .……2 分 (1) 连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, 在△ CPA 中, EF // PA ,………4 分 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , ∴ EF ∥平面 PAD ………6 分 (2) 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD , 又 CD ⊥ AD ,所以, CD ⊥平面 PAD , ∴ CD ⊥ PA …………8 分 又 PA = PD = 2 , AD = 2 ,所以△ PAD 是 等腰直角三角形,

P E D F A B

C

,即 PA ⊥ PD ………………10 分 2 又 CD ∩ PD = D , ∴ PA ⊥ 平面 PDC , 又 PA ? 平面 PAD , 所以 平面 PAD ⊥平面 PDC ………………12 分 (20)解:设 f ( x) = ax 2 + bx + c, 由 f (0) = 1得c = 1, 故f ( x) = ax 2 + bx + 1,

且 ∠APD =

π

∵ f ( x + 1) ? f ( x) = 2 x, ∴ a ( x + 1) 2 + b( x + 1) + 1 ? (ax 2 + bx + 1) = 2 x,
即 2ax + a + b = 2 x, 所以?

?2 a = 2 ?a + b = 0

?a = 1 ∴? , ?b = 1
∴ f ( x) = x 2 ? x + 1,
………………6 分

(2)由题意得 x 2 ? x + 1 > 2 x + m在[ ?1,1] 上恒成立。 即 x ? 3 x + 1 ? m > 0 在[-1,1]上恒成立。
2

设 g ( x ) = x 2 ? 3 x + 1 ? m 其图象的对称轴为直线 x =

3 ,所以 g ( x)在[ ?1,1] 上递减, 2

故只需, g (1) > 0 ,即 12 ? 3 × 1 + 1 ? m > 0, 解得m < ?1. ………………12 分 (21)解:(I)由 f ′( x ) = 2 x ? 1得 : f ( x ) = x 2 ? x + b(b ∈ R )

∵ y = f ( x)的图像过原点 ∴ f ( x) = x 2 ? x

∴ Sn = n2 ? n ∴ a n = S n ? S n ?1 (n ≥ 2) = n 2 ? n ? [(n ? 1) 2 ? (n ? 1)]
= 2n ? 2

∵ a1 = S1 = 0
所以,数列 {a n }的通项公式为a n = 2n ? 2( n ∈ N )
*

…………6 分

(II)由 a n + log 3 n = log 3 bn 得:

bn = n ? 32 n ? 2 (n ∈ N* ) ∴ Tn = b1 + b2 + b3 + ? bn
= 30 + 2 ? 32 + 3 ? 34 + ? + n ? 32 n ? 2 …………(1) ∴ 9Tn = 3 2 + 2 ? 3 4 + 3 ? 36 + ? + n ? 3 2 n …………(2)
(2)-(1)得: 8Tn = n ? 3
2n

…………10 分
2n?2

? (1 + 3 + 3 + 3 + ? + 3
2 4 6

) = n ?3

2n

32n ? 1 ? 8

∴ Tn =

n ? 3 2 n 3 2 n ? 1 (8n ? 1)3 2 n + 1 ? = 8 64 64

…………12 分

(22)解:(Ⅰ)∵ e =

3 c2 a 2 ? b2 1 = ,∴ 2a 2 = 3b 2 ,∴ e2 = 2 = 2 3 a c 3

∵直线 l : x ? y ? 2 = 0与圆x 2 + y 2 = b 2 相切, ∴

2 2

= b,∴ b = 2 , b 2 = 2

∴a = 3
2

…………3 分

∵椭圆 C1 的方程是

x2 y2 + =1 3 2

………………6 分

(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x = ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ………………6 分 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 (Ⅲ)Q(0,0),设 R (
2 1

y 2 = 4x
2 2

…………9 分

y y , y1 ), S ( , y 2 ) 4 4 2 2 2 y y ? y1 ∴ QR = ( 1 , y1 ), RS = ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4 ∵ QR ? RS = 0

2 y12 ( y 2 ? y12 ) + y1 ( y 2 ? y1 ) = 0 16

∵ y1 ≠ y 2 , y1 ≠ 0 ,化简得

16 ) ………………11 分 y1 256 2 2 ∴ y 2 = y1 + 2 + 32 ≥ 2 256 + 32 = 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 = 2 , y1 = 16, y1 = ±4 时等号成立 y1
∴ y 2 = ?( y1 + ∵ | QS |=
2

…………13 分

(

2 y2 2 1 2 2 2 ) + y2 = ( y 2 + 8) 2 ? 64,又 ∵ y 2 ≥ 64 4 4

| ∴当 y 2 = 64, y 2 = ±8时,QS | min = 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5 ,+∞)
……14 分


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