导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离课时训练理

第二课时

求空间角与距离

【选题明细表】 知识点、方法 利用向量法求异面直线所成角 利用向量法求直线与平面所成角 利用向量法求二面角 利用向量法求距离 综合应用 【教师备用】 (2016 邢台摸底考试)如图,已知四棱锥 PABCD 的底面为菱形,∠BCD =120°,AB=PC=2,AP=BP 题号 3 2 3,4 1 5

=

.

(1)求证:AB⊥PC; (2)求二面角 BPCD 的余弦值. (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 PO,CO,AC, 因为△APB 为等腰三角形,所以 PO⊥AB, 又四边形 ABCD 是菱形,∠BCD=120°, 所以△ACB 是等边三角形,所以 CO⊥AB. 又 CO∩PO=O, 所以 AB⊥平面 PCO,又 PC? 平面 PCO, 所以 AB⊥PC. (2)解:易求得 PO=1,OC=
2 2 2

,

所以 OP +OC =PC , 所以 OP⊥OC. 以 O 为坐标原点,以 OC 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系如图所示.

则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C(

,0,0),P(0,0,1),D(

,-2,0),

=(

,-1,0),

=

(

,0,-1),

1

=(0,2,0). 设平面 DCP 的法向量 n=(x,y,z), 则



令 x=1,得

所以 n=(1,0,

),

设平面 PCB 的法向量 m=(a,b,c), 即

令 a=1,则 b=c= 所以 m=(1, ,

, ),

所以 cos<m,n>=

=

,

由图易知二面角 BPCD 的平面角为钝角. 所以二面角 BPCD 的余弦值为.

1.(2016 郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,PD⊥ 底面 ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q 为 AD 的中点,M 为棱 PC 的中点.

(1)证明 PA∥平面 BMQ; (2)已知 PD=DC=AD=2,求点 P 到平面 BMQ 的距离. (1)证明:连接 AC 交 BQ 于 N,连接 MN,因为∠ADC=90°, Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点, MN 为△PAC 的中位线, 故 MN∥PA,又 MN? 平面 BMQ,
2

所以 PA∥平面 BMQ. (2) 解 : 以 D 为坐标原点 ,DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴 ,y 轴 ,z 轴建立空间直角坐标 系,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1).

所以

=(0,-1,1),

=(-1,1,1),

=(-1,-1,1),

设 n=(x,y,z)是平面 BQM 的法向量, 则 n⊥ ,n⊥ ,

所以

即 令 z=1,则 x=1,y=0, 所以 n=(1,0,1), 则 P 点到平面 BQM 的距离为 d= = = .

2.(2015 高考新课标全国卷Ⅱ)如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别 在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面α 所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形 EHGF 如图.

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M, 则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为 EHGF 为正方形,

3

所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= =6,所以 AH=10.

以 D 为坐标原点 ,

的方向为 x 轴正方向 , 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则

A(10,0,0),H(10,10,0), E(10,4,8),F(0,4,8), 设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量, 则

=(10,0,0),

=(0,-6,8).



所以可取 n=(0,4,3).又

=(-10,4,8),

故|cos<n,

>|=

=

.

所以 AF 与平面α 所成角的正弦值为

.

3.(2016 贵阳监测考试)如图,已知四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且 AB⊥ AC,AB=AC=PA=2,E 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 AE 与 PC 所成的角; (2)求二面角 DPCA 的平面角的余弦值. 解:(1)如图所示,以 A 点为原点建立空间直角坐标系 Axyz,

则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2). 故 E(1,1,0), =(1,1,0),

4

=(0,2,-2),

cos<

,

>=

=,

即<

,

>=60°,

故异面直线 AE 与 PC 所成的角为 60°. (2)因为 AB=AC=2,AB⊥AC, 所以∠ABC=∠ACB=45°, 因为 AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=45°, 又 AD⊥CD,所以 AD=CD= ,

所以 D(-1,1,0),又 C(0,2,0), 所以 =(-1,-1,0), =(0,2,-2).

设 n=(x,y,z)是平面 PCD 的法向量, 则 ⊥n, ⊥n,



·n=0,

·n=0,

所以 令 x=-1 得 y=1,z=1, 则 n=(-1,1,1),|n|= 又 AB⊥平面 PAC, 所以 =(2,0,0)是平面 PAC 的一个法向量, .

所以 cos<

,n>=

=- ,

所以二面角 DPCA 的平面角的余弦值为 .

4.(2015 河南三市第三次调研)在三棱锥 PABC 中,PA⊥底面 ABC,PB=PC=

,

5

BC=4

,PA=m(m>0).

(1)当 m 为何值时,点 A 到平面 PBC 的距离最大,并求出最大值; (2)当点 A 到平面 PBC 的距离取得最大值时, 求二面角 APBC 的余弦值. 解:(1)设 D 为 BC 的中点, 连接 AD,PD, 因为 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 在等腰三角形 PBC 中, 因为 BD=DC, 所以 BC⊥PD, 又因为 PD∩PA=P, 所以 BC⊥平面 PAD, 又因为 BC? 平面 PBC, 所以平面 PBC⊥平面 PAD. 在平面 PAD 中,过 A 作 AM⊥PD 于 M, 则 AM⊥平面 PBC. 即 AM 为点 A 到平面 PBC 的距离. 在△PDB 中,PD= =3 .

在 Rt△PAD 中,AD= 且 PA·AD=PD·AM, 所以 AM=

=

,

=

=


2

,
2

当且仅当 m =18-m ,即 m=3 时等号成立. 故当 m=3 时,点 A 到平面 PBC 的距离最大,最大值为 .

(2)当 m=3 时,AD=3,过 D 作 DE∥AP,以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DB,DE 所在直线为 x,y,z

6

轴,建立空间直角坐标系如图所示.

则 A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,2

,0),C(0,-2

,0),

所以

=(0,0,3),

=(3,-2

,3),

=(0,4

,0).

设平面 PAB 的法向量 p=(x,y,z). 则





取 p=(

,1,0).

同理,平面 PBC 的一个法向量 q=(1,0,-1). cos<p,q>= = .

所以二面角 APBC 的余弦值为

.

5. 如图,侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3, AB=AC=t(t>0),P 是侧棱 AA1 上的动点.

(1)当 AA1=AB=AC 时,求证:A1C⊥平面 ABC1; (2)试求三棱锥 PBCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值; (3)若二面角 ABC1C 的平面角的余弦值为 ,试求实数 t 的值.

(1)证明:因为 AA1⊥平面 ABC,AB,AC? 平面 ABC,

7

所以 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 又 AB⊥AC, 所以以 A 为原点,分别以 AB,AC,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系. 则 A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1), =(0,1,-1),

=(0,1,1),

=(1,0,0).

设平面 ABC1 的法向量 n=(x,y,z), 则

解得 令 z=1,则 n=(0,-1,1). 因为 =-n,所以 A1C⊥平面 ABC1.

(2)解:因为 AA1∥平面 BB1C1C, 所以点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离. 所以 V=
2 3

=

=t (3-2t)

2

=t -t (0<t<), 2 3 令 f(t)=t -t , 则 f′(t)=-t(t-1), 易得 f(t)在(0,1)递增,在(1, )递减, 所以当 t=1 时,Vmax=. (3)解:A(0,0,0),C1(0,t,3-2t),B(t,0, 0),C(0,t,0),A1(0,0,3-2t), =(0,t,

2t-3),

=(0,t,3-2t),

=(t,0,0),

=(0,0,3-2t),

=(-t,t,0).

设平面 ABC1 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),

8



解得 令 z1=t,则 n1=(0,2t-3,t). 设平面 BCC1 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则

解得 令 y2=1,则 n2=(1,1,0). 设二面角 ABC1C 的平面角为θ , 则有 cos θ =
2

=

=

.

化简得 5t -16t+12=0, 解得 t=2(舍去)或 t=. 所以当 t=时,二面角 ABC1C 的平面角的余弦值为 .

9


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