江西省红色六校2013届高三第二次联考数学理科试题卷


江西省红色六校 2013 届高三第二次联考数学理科试题卷
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置 ) ........
[来源:Zxxk.Com]

1. 若 A ? ? ?a
?

a ? ? b ?1 ? ? Z ? , B ? ?b ? Z ?, A ? B ? ( 3 3 ? ? ?

) D. Z )

A.

B

B. A

C. ?

2 . “? ﹤1”是“数列 an ? n 2 - 2?n 为递增数列”的(

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3.两个变量 x,y 与其线性相关系数 r 有下列说法 (1)若 r>0,则 x 增大时,y 也相应增大; (2)若 r<0,则 x 增大时,y 也相应增大; (3)若 r=1 或 r=-1,则 x 与 y 的关系完全对应( 有函数关系),在散点图上各个散点均在一条直线上. 其中正确的有( ) A. ① B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数 是( ) |x| A.f(x)=x2 B.f(x)=

x

C.f(x)=

e -e ex+e-x
?
0

x

-x

D. f(x)=

1+sin x-cos x 1+sin x+cos x
f ?(0) ? ?3 ,则 f (0)

5. 设函数 f ( x) ? ( x ? a) n ,其中 n ? 6 ? 2 cos xdx , 开式中 x 4 的系数为( A.-360 B.360 6.已知实数 x,y 满足 ? ?
13 6 5 2

f ( x) 的 展

) C.-60
x ? 2y ? 0

D.60 )

?x ? y ? 5 ? 0 ?y ?3 ? 0 ?

且不等式 axy ? x 2 ? y 2 恒成立,则实数 a 的最小值是(
3 2

A.

B.

C.

D.2 )
a1 a 2 a15

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的是( A.
S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

8.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 腰三角形,则 E 的离心率为( A. 1 2 B. 2 3 ) C. 3 4 D. 4 5

x2 y2 a b

3a 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等 2

9.有 20 张卡片分别写着数字 1,2,?,19,20.将它们放入一个盒中,有 4 个人从中各抽取一张卡片,取 到两个较小数字的二人在同一组,取到两个较大数字的二人在同一组,若其中二人分别抽到 5 和 14,则此 二人在同一组的概率等于( ) 1 7 5 2 A. B. C. D. 2 51 51 51 R 10.下图展示了一个由区间 (0, 4) 到实数集 的映射过程:区间 (0, 4) 中的实数 m 对应数轴上的 点 M (如图 1 ) ,将线段 AB 围成一个正方形,使两端点 A、B 恰好重合(如图 2 ) ,再将这个 正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0, 4) (如图 3 ) ,

若图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) ? n .现给出以下命题: ① f (2) ? 0 ; ② f ( x) 的图象关于点 (2, 0) 对称; ③ f ( x) 为偶函数; ④ f ( x) 在 (3, 4) 上为常数函数. 其中正确命题的个数为( A. 4 B. 3 ) C. 2 D. 1
[来源:学科网 ZXXK]

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案 填 在 答题卷中的横线上 ) ... . . ........ 11.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1·z2 是实数,则 z2 等 于 12.在 4×□+9 ×□=60 的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填 上 和 。 2 2 13.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与

CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为
? ? ?? 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? tan x . 项 数 为 17 的 等 差 数 列 ?a n ? 满 足 a n ? ? ? , ? , 且 公 差 d ? 0 . 若 ? 2 2?

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a17 ) ? 0 ,则当 k =__________时, f (a k ) ? 0 .
三、选 做 题 : 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 . 若 两 题 都 做 , 则 按 做 的 第 一 题 评 阅 计 分 . 本 题 共 5 分. 15.⑴(坐标系与参数方程选做题)化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 . ⑵ (不等式选择题)不等式 | 2 ? x | ? | x ? 1 |? a 对任意 x ? [0,5] 恒成立的实数 a 的取值范围为 _____________ 四、本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) π? ? 设 f(x)=4cos ?ω x- ?sinω x-cos(2ω x+π ),其中 ω >0. 6? ? (1)求函数 y=f(x)的值域; ? 3π π ? , ?上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间?- 2 2? ?

17、 (本小题满分 12 分)
1 1 已知 {an } 是各项均为正数的等比例数 列,且 a1 ? a2 ? 2( ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( 1 ? 1 ? 1 ) a1 a2 a3 a4 a5 .

(Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, 侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, D1A=D1D= 2 , 底面 ABCD 为直角梯形, 其中 BC//AD, AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. A1 D1 ⑴求证:A1O//平面 AB1C; ⑵求锐二面角 A—C1D1—C 的余弦值.
B1 C1 A

·

O

D

B

C

19.(本小 题满分 12 分) 某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示: 休假次数
0
1 2

3

5 10 20 15 人数 根据上表信息解答以下问题: ⑴从该单位任选两名职工, 用 ? 表示这两人休年假次数之和, 记 “函数 f ( x) ? x 2 ? ?x ? 1 在区间 (4 ,6) 上 有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; ⑵从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望

E? .

20.(本小题满分 13 分) 如图,直角坐标系 xOy 中,一直角三角形 ABC , ?C ? 90? ,B、D 在 x 轴上且关于原点 O 对称, D 在边 BC 上, BD=3DC,△ABC 的周长为 12.若一双曲线 E 以 B、C 为焦点,且经过 A、D 两点. ⑴ 求双曲线 E 的方程; ⑵ 若一过点 P(m, 0) ( m 为非零常数)的直线 l 与双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 M 、 N ,且
???? ???? MP ? ? PN , 问 在 x 轴 上 是 否 存 在 定 点 G , 使
y A

??? ? ???? ? ???? BC ? (GM ? ?GN ) ?若存在,求出所有这样定点 G 的坐

标;若不存
x

在,请说明理由
B O D C

21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? a ln x ? bx2 在点(1,f(1))处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 (1)求 f(x)的表达式; (2) 若 f(x)满足 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则称 f(x)为 g(x)的一个 “上界函数” , 如果 f(x)为 g ( x) ? 的一个“上界函数” ,求 t 的取值范围; (3)当 m>0 时讨论 F ( x) ? f ( x) ?
x2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 2 m
t ? ln x(t ? R) x

答案
一、选择题:

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 C

5 D

6 B

7 C

8 C

9 B

10 B

二、填空题: 11. 4+2i. 12. 6、4。 13. 4x2 4y2 + =1. 25 21 14.9

15 (1) x2 ? y 2 ? 0或x ? 1,(2) [9,??) 三、解答题: 3 1 16.解:(1)f(x)=4? cosωx+ sinωx?sinωx+cos2ωx 2 ?2 ?
[来源:学_科_网]

=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin2ωx+1. ?????????4 分 因-1≤sin2ωx≤1,所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].???6 分 π π? (2) 因 y = sinx 在 每 个 闭 区 间 ? ?2kπ-2,2kπ+2? (k ∈ Z) 上 为 增 函 数 , 故 f(x) = 3 sin2ωx + 1(ω > 0) 在 每 个 闭 区 间 ?kπ- π ,kπ+ π ?(k∈Z)上为增函数.????8 分 ? ω 4ω ω 4ω? 3π π kπ π kπ π - , ?? ? - , + ??????????9 分 依题意知? ? 2 2? ? ω 4ω ω 4ω? 3π π - ≥- , 2 4ω 对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于是 ???????10 分 π π ≤ , 2 4ω 1 1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大值为 .?????????12 分 6 6

? ? ?

17 解: (Ⅰ)设公比为 q,则 an ? a1q n?1 .由已知有

? ?1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2 ? ? ?, ? a12 q ? 2, ? ? ? a1 a1q ? 化简得 ? 2 6 ????????3 分 ? a q ? 64. ? ? ? 1 1 1 ? 1 ?a q 2 ? a q 3 ? a q 4 ? 64 ? 2 ? 3 ? 4 ?. 1 1 ? 1 ? a1q a1q a1q ? ?
又 a1 ? 0, 故q ? 2, a1 ? 1 ?????????5 分 所以 an ? 2n?1 ?????????6 分

? 1? 1 1 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? ? an ? ? ? an ? 2 ? 2 ? 4 ? n ?1 ? 2 ??????8 分 an ? an 4 ?
因此 Tn ? 1 ? 4 ? ? ? 4

2

?

n ?1

1 1 ??? ?1 ? ? ? ? 4 ? 4

n ?1

1 n 1?n ? ? ? 2n ? ? 4 ? 4 ? ? 2n ? 1 ???12 分 3 ?

18.解(Ⅰ)证明:如图(1) ,连结 CO、A1O、AC、AB1,??1 分 则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC=AB=A1B1, A1 D1 所以,四边形 A1B1CO 为平行四边形,???3 分 所以 A1O//B1C, B1 又 A1O ? 平面 AB1C,B1C ? 平面 AB1C C1 O 所以 A1O//平面 AB1C??????6 分 D · A (Ⅱ)因为 D1A=D1 D,O 为 AD 中点,所以 D1O⊥AD, 又侧面 A1ADD1⊥底面 ABCD, B C 图 所以 D1O⊥底面 ABCD,?????7 分 (1) 以 O 为原点,OC、OD、OD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图(2)所示的坐标系,则 C (1,0,0) , D (0,1,0) , D1 (0,0,1) , A (0,-1,0)..8 分 ???? ???? ? ???? ? ????? ???? 所以 DC ? (1, ?1,0), DD1 ? (0, ?1,1), D1 A ? (0, ?1, ?1), DC 1 1 ? DC ? (1, ?1,0) ,??9 分
A1

z

D1

B

? 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 C1CDD1 的一个法向量, ? ?x ? y ? 0 ? ???? ? ???? 由 m ? DC, m ? DD1 ,得 ? , ?? y ? z ? 0 ? 令 z ? 1 ,则 y ? 1, x ? 1,? m ? (1,1,1) .??10 分 ? 又设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 AC1D1 的一个法向量, ? ? ????? ?? y1 ? z1 ? 0 ? ???? 由 n ? D1 A, n ? DC , 1 1 ,得 ? ? x1 ? y1 ? 0 ? 令 z1 ? 1,则 y1 ? ?1, x1 ? ?1,?n ? (?1, ?1,1) ,????????11 分 ? ? 1 ?1 ? 1 ? 1 1 则 cos ? m, n ?? ? ? ,故所求锐二面角 A-C1D1-C 的余弦值为 ??12 分 3 3 3? 3

? f (4) ? 0 19.解:(1) 函数 f ? x? ? x2 ?? x ?1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有 ? 即: ? f (6) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ,解得: ? ? ? ? 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0 所以, ? ? 4 或? ? 5 ????3 分
2 1 1 1 1 C20 ? C10 C15 C20 C15 68 12 当 ? ? 4 时, P ,当? ? 5 时, P2 ? ? ? 1 ? 2 2 C50 245 C50 49 ? ? 4 与? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个 发生的概率公式 68 12 128 ? ? 所以 P ? P ????6 分 1?P 2 ? 245 49 245 ( 2 ) 从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值, 则 ? 的可能取值分别是 0,1, 2,3 , ????7 分





P ?? ? 0 ? ?

C52 ? C ? C 12 ? C 0 2 ? 2 C50 7

2 2 ,

2 0

P(? ? 1) 1 ?

1 1 1 1 1 1 C5 C10 22 5 ? C10C20 ? C15C20 ? 2 C50 49



1 1 1 1 1 1 C5 C20 ? C10 C15 C5 C15 3 10 , ????10 分 ? P ( ? ? 3) ? ? 2 2 C50 49 C50 49 从而 ? 的分布列: ? 0 1 2 3 2 22 10 3 P 7 49 49 49 2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ????12 分 7 49 49 49 49

P(? ? 2) ?

[来源:Zxxk.Com]

20 解:(1) 设双曲线 E 的方程 为
?| AB |2 ? | AC |2 ? 16a 2 , ? ∴ ?| AB | ? | AC |? 12 ? 4a, ?| AB | ? | AC |? 2a. ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,则 B(?c,0), D(a,0), C (c,0) . a 2 b2 由 BD ? 3DC ,得 c ? a ? 3(c ? a) ,即 c ? 2a .
y

???????.3 分
B O D C

A

解之得 a ? 1 ,∴ c ? 2, b ? 3 .
y2 ? 1 .???????.5 分 3 ??? ? ???? ? ???? (2) 设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .

x

∴双曲线 E 的方程为 x2 ?

y

设直线 l 的方程为 x ? m ? ky , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) . ???? ???? 由 MP ? ? PN ,得 y1 ? ? y2 ? 0 .
y 即? ? ? 1 ① ????6 分 y2 ??? ? ???? ? ???? ∵ BC ? (4,0) , GM ? ?GN ? ( x1 ? t ? ? x2 ? ?t, y1 ? ? y2 ) , ??? ? ???? ? ???? ∴ BC ? (GM ? ?GN ) ? x1 ? t ? ? ( x2 ? t ) .

B O

G

C

P N

x

M

即 ky1 ? m ? t ? ? (ky2 ? m ? t ) . ② ???????.8 分 把①代入②,得 2ky1 y2 ? (m ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ ???????.9 分

y2 ? 1 并整理得 (3k 2 ? 1) y 2 ? 6kmy ? 3(m2 ? 1) ? 0 3 1 其中 3k 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,即 k 2 ? 且 3k 2 ? m 2 ? 1 . 3 2 ?6km 3(m ? 1) . ????? ??.10 分 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 3k ? 1 3k 2 ? 1 6k (m2 ? 1) 6km(m ? t ) 1 代入③,得 ? ? 0 ,化简得 kmt ? k .当 t ? 时,上式恒成立. 2 2 m 3k ? 1 3k ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 因此,在 x 轴上存在定点 G ( ,0) ,使 BC ? (GM ? ?GN ) .???????.13 分 m

把 x ? m ? ky 代入 x2 ?

21. 解: (1) f ? ? x ? ?

? f ? ?1? ? a ? 2b ? 1 a ? ? 2bx ,由题可知 ? ????2 分 x f 1 ? a ln1 ? b ? 0 ? ? ? ?

a=1,b=0, f ( x) ? ln x ????? ????4 分 (2) ln x ?

t ? ln x ? t ? 2 x ln x x 1 ?????????6 分 e
[来源:Z*xx*k.Com]

令 ? ( x) ? 2 x ln x , ? ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 1 x ? (0, ) 时, ? ( x) ? x ? ( ,?? ) 时, ? ( x) ? e e 2 1 2 ? ? ( x) m i n? ? ( ) ? ? ,即得 t ? ? ?????????9 分 e e e

(3) F ( x) ? ln x ?

x2 m2 ? 1 ? x 2 m

F ' ( x) ?

1 m 2 ? 1 m x2 ? (m 2 ? 1) x ? m (m x ? 1)(x ? m) ?x? ? ? ?0 x m mx mx

1 或 x=m?????????10 分 m 1 ? 1 1 (i)当 ?0 ? m ? 2 ,即 ? m ? 2 且 m ? 1 时,F(x)在(0,2)上有两个极值点 m 和 ? m 2 ?0 ? m ? 2

即得 x ?

? 1 ?m ? m ?

(ii)当 ? m

?1 ?2 ,即 0 ? ? ?0 ? m ? 2

?m?

1 时 F(x)在(0,2)上只有一个极值点为 x=m 2

(iii)当 m ?

1 ,即 m=1 时无极值点 m

1 ? 1 0? ?2 ? (iv)当 ? ,即 m ? 2 时,F(x)在(0,2)上只有一个极值点 ?14 分 m m ? ?m ? 2


相关文档

江西省红色六校2013届高三第二次联考数学理科试题
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(文)试题
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试卷
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考理科综合试题 Word版含答案
江西省红色六校2013届高三第二次联考理科综合试题
江西省红色六校2013届高三第一次联考数学(理)试题
江西省红色六校2013届高三第一次联考数学理试题
江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考数学(理)试题
电脑版