福建省闽南四校2013-2014年度高三上学期第一次联合数学(理)试卷

厦门禾山中学、石狮永宁中学、南安柳城中学、晋江英林中学联合考试

2013-2014 年度上学期高三数学(理科)试卷
组卷:洪少波 审核:吴艺团
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.全集 U ? {0,1, 2,3} , CU M ? {2} ,则集合 M ? ( A.{1,3}
2

). D.{2}

B.{0,1,3} ).

C.{0,3}

2.命题“ ?x ? 1, x ? 1 ” 的否定是( A. ?x ? 1, x ? 1
2 2

B. ?x ? 1, x ? 1

C. ?x ? 1, x ? 1
2

D. ?x ? 1, x ? 1
2

3.已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ). D.25 ). D. ?

).

4.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20

? ? ? ? 1 5.向量 a ? ( , tan ? ) , b ? (cos ? ,1) ,且 a ∥ b ,则 cos 2? ? ( 3 1 1 7 A. ? B. C. 3 3 9 2 6. 命题 p : f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在 (1, ??) 上是增函数;

7 9
).

命题 q : f ( x) ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (0,??) 是减函数,则 p 是 q 的( A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 7. 函数 y ? x cos x ? sin x 的图像大致为( C.充分不必要条件 ).

D.必要不充分条件

8.设 a ? 0, 若关于 x 的不等式 x ? A.4 B.2

a ? 4在x ? ?0, ? ? 恒成立,则 a 的最小值为( ). ? x
C.16
2

D.1

9.满足 a, b ? ?? 1,0,1,2?,且使函数 f ?x ? ? ax ? 2 x ? b 有零点的有序数对的个数为( ).

A.10

B. 12

C. 13

D. 14

10.若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? x1 ,则关于 x 的方程

3( f ( x)) 2 ? 2af ( x) ? b ? 0 的不同实根个数是(
A.3 B.4 第Ⅱ卷 C.5

). D.6

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.

11.计算:

?

2

1

1 (1 ? )dx = x
?log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 ? 4 , x ? 1 ?
x

.

12.已知函数 f ( x) ? ?

,则 f ( f ( )) ?

1 2

.

13.若数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 14.函数 y ? tan?

2 1 a n ? ,则数列{ an }的通项公式是 an =______. 3 3

? ?x ? ? ? ??0 ? x ? 4? 的图像如图所示, A 为图像 ? 4 2?

与 x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 C, B 两点, 则 (OB ? OC ) ? OA ? __________. 15.如果对于任意一个三角形,只要它的三边长 a, b, c 都在函数
? ? ?

f ( x) 的定义域内,则 f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称函数 f ( x) 为“保三角形
函数”.现有下列五个函数:① f ( x) ? 2 x ;② f ( x) ? e ;③ f ( x) ? x ;④ f ( x ) ?
x

2

x ;⑤

f ( x) ? sin x .则其中是 “保三角形函数”的有

(写出所有正确的序号).

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 设向量 a ?
?

?

3 sin x, sin x , b ? ?cos x, sin x ?. .

?

?

(I)若 x ? [0,

?
2

] 且 a ? b ,求 x 的值;
? ?

?

?

(II)设函数 f ? x ? ? a ? b ,求 f ? x ? 的最大值与最小值.

17.(本小题满分 13 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a1a2 a3 ? 125 , a2 ? a3 ? 10 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 明理由.

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说 a1 a2 am

18.(本小题满分 13 分) 甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是

3 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(I)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (II)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润.

19.(本小题满分 13 分)如图,在 ?ABC 中,?ABC ? 90 , AB ?
?

3 , BC ? 1 ,P 为 ?ABC 内一点,

?BPC ? 90 ? .
(I)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2
?

(II)若 ?APB ? 150 ,求 tan ?PBA .

20.(本小题满分 14 分)已知 f ?x ? ? e ? ax(e ? 2.718 ?) .
x

(I)讨论函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在区间 ?0,2 ? 上有两个零点,求 a 的取值范围; (Ⅲ) A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 是 f ? x ? 的图象上任意两点,且 x1 ? x2 ,若总存在 x0 ? R , 使得 f ' ( x o ) ?

y1 ? y 2 , 求证: x0 ? x1 . x1 ? x 2

21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答.如果多做,则按所做的前两 、 、 题记分. (1)已知矩阵 A ? ? ? 1 ○求矩阵 A ;

? 1 ? 1? ? ,若点 P?1,1? 在矩阵 A 的变换下得到点 P ' ?0,?3? . ? ?a 1 ?
2 ○求矩阵 A 的特征值.

(2) 已知直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 3, . (t为参数) 以直角坐标系 xoy 中的原点 O ? y ? 3t ,
2

为极点, x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 . 1 ○求直线 l 与圆 C 的直角坐标方程; 2 ○判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

(3)若 a, b, c 为正实数且满足 a ? 2b ? 3c ? 6 . 1 ○求 abc 的最大值; 2 ○求

a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

厦门禾山中学、石狮永宁中学、南安柳城中学、晋江英林中学联合考试 2013-2014 年度上学期高三数学(理科)试卷参考答案
一.选择题(每题 5 分).

题 号 答 案

1 B

2 C

3 D

4 B

5 C

6 D

7 D

8 A

9 0 C

1 A

二 .填空题(每题 4 分).

11. 1? ln 2
三.解答题.
2

12. -2;

13. a n ? ?? 2?

n ?1



14.

8;

15. ①④.

16.解:

由a
2

? ( 3 sin x) 2 ? (sin x) 2 ? 4 sin 2 x. -------------------------1 分

b ? (cos x) 2 ? (sin x) 2 ? 1. ----------------------------------2 分


a ? b ,得 4 sin 2 x ? 1 .
?
2 ] ,? sin x ?

又 x ? [0,

1 .-----------------------------------5 分 2

?x??
(2)

6

-----------------------------------------------6 分

f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin 2 x
? 3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? .-----------------11 分 2 2 2 6 2

? sin(2 x ?
?当sin(2 x ?

?
6

) ? [?1,1] ,

?

3 ) ? 1时,f ( x)有最大值 . ----------------------13 分 6 2
3 ? a2 ? 125 ,?a2 ? 5 .-----------------1 分

17.解: (I)由已知条件得: a1a2 a3 又

a2 ? a3 ? a2 ? a2 q ? a2 1 ? q ? 10 ,? q ? ?1或q ? 3 .--------3 分

当q

? ?1时,a1 ? ? 3时,a1 ?

a2 ? ?5 ,此时 an ? (?5) ? (?1) n ?1 ? 5 ? (?1) n .---5 分 q

当q

5 a2 5 ? ,此时 an ? ? (3) n?1 ? 5 ? 3n?2 .------------7 分(II)若 q 3 3

q ? ?1 ,

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ;-------10 分 a1 a2 am 5

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 若q ? 3, ? ,不存在这样的正整数 m .13 分 ??? ? ?1 ? ? ? ? ? a1 a2 am 10 ? ? 3 ? ? 10 ? ?

3 3 ? 0 .---------------3 分 x x 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 . ------------------------------5 分 900 3 1 1 61 (2)设利润为 y 元,则 y ? ?100(5x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] .-------11 分 x x x 6 12
18. 解:(1) 根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.--------------------------------13 分 19.解(Ⅰ)由已知得, ?PBC ? 60 ,∴ ?PBA ? 30 .---------------------3 分
? ?

在 ?PBA 中, PA ? 3 ?
2

7 1 1 7 ? 2 ? 3 ? cos30 ? ? ,? PA ? .----------6 分 2 4 2 4

(Ⅱ)设 ?PBA ? ? ,由已知得, PB ? sin ? ,在 ?PBA 中, 由正弦定理得,

3 sin ? ? .------------------------------10 分 o sin150 sin(30o ? ? )

化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , ∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = . -------------------------------------13 分 4 4
x x

20.解:(1) f ' ( x) ? e ? a ,令 f ' ( x) ? e ? a ? 0 . --------------------------1 分 1 ○当 a ? 0 时, f ' ( x) ? e x ? a ? 0在x ? R 上恒成立,所以 f ( x)在R 上单调递增.-3 分 2 ○当 a ? 0 时, f ' ( x) ? e x ? a ? 0 ? e x

? a ? x ? ln a .

所以,此时 f ( x)在?? ?, ln a ?上单调递减;在(ln a,??)上单调递增.--------5 分

? ?1 ? 0 ? f ( 0) ? 0 ? ln a ? (2)由(1) a ? 0 不可能,依题意 ? f (ln a ) ? 0 ? ?e ? a ln a ? 0 ? ln a ? 1 . ? f ( 2) ? 0 ? 2 ? ?e 2 ? 2a ? 0 ? a ? e 2 ?

e2 所以 e ? a ? .--------------------------------------8 分 2
(3)证明:

y ? y2 e 1 ? ax1 ? (e x2 ? ax2 ) e x1 ? e x2 ? a ( x1 ? x 2 ) f ' ( x0 ) ? 1 ? e x0 ? a ? ? e x0 ? a ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2
?e
x0

x

e x1 ? e x2 ? . ---------------------------------------10 分 x1 ? x 2
x

等式两边同除以 e 1 得

e x0 1 ? e x2 ? x1 ? . --------------------------------12 分 x1 ? x 2 e x1

设 t ? x2 ? x1 ,则 t ? 0 ,构造函数 g (t ) ? 下证: t ? 0时,g?t ? ? 1.

1 ? et et ? 1 ? . ?t t

因为g?t ? ? 1 ?

et ? t ? 1 , 令h?t ? ? e t ? t ? 1?t ? 0 ?. t , t 0 h ?t ? ? e ? 1 ? e ? 1 ? 0.
h?t ? ? 0在?0, ? ?恒成立. ?

所以h?t ?在?0, ? ?上是增函数,h?t ?m i n ? h?0 ? ? 0. ?

所以g ?t ? ? 1 ? 0即g ?t ? ? 1在?0, ??恒成立. . ?
e x0 ? 1, ------------------------------------------------------------------------------------- --14 分 e x1 所以x0 ? x1 . 所以
21.解: (1)
1 ○由 ? a ?

?1 ?

? 1? ? 1 ? ?

? 1? ? 0 ? ? ? = ? ? 得 a ? 1 ? ?3 ? a ? ?4 。 ? 1? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 1? ? .-----------------------------------------------3 分 1 ? ?

?1 ?矩阵 A ? ? ?? 4 ?

由○知 A= ? 1 ?

?1 ?? 4

? 1? ?. 1 ? ?

则矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
4

1

? ?1

? ?2 ? 2? ? 3 .

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 A 的特征值为-1 或 3.---------------------------------7 分
(2)○由 x 1

? t ? 3 可得 t ? x ? 3 ,代入 y ? 3t .

? y ? 3 ( x ? 3) 即 直线l的方程为 3x ? y ? 3 3 ? 0 .-------------------------------------2 分
由?

? x ? ? cos? 2 2 2 2 可得圆 C 的方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 ,即 ( x ? 2) ? y ? 1 .-----4 分 ? y ? ? sin ?

2 1 ○由○可知圆 C 的圆心为 (2,0) ,半径 r ? 1 .

?圆心到直线 l 的距离 d ? ?d ? r.

3?2?0?3 3 ( 3 ) ? (?1)
2 2

?

5 3 . 2

?直线 l 与圆 C 的位置关系为相离. -----------------------------------------------------------------7 分
(3)○? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 3 3 a ? 2b ? 3c 1

? abc ?

4 3.

当且仅当 a ? 2b ? 3c 即 a ? 2, b ? 1, c ? 2 ○由柯西不等式,?

2 4 时等号成立。所以 abc 的最大值为 .-3 分 3 3

a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? (a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1)(1 ? 1 ? 1) ? 3 3

当且仅当 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1即 a ? 2, b ? 1, c ? 所以 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 3 .

2 时等号成立. 3

-----------------------------7 分


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