福建省南平市2014届高三5月质量检查(数学理)含答案

福建省南平市 2014 年普通高中毕业班质量检查

数学(理)试题
本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为必考 题.本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域 (黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 213 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

第I卷

(选择题共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 f ( x ) ? tan x ?

1 ? 在区间(0, )内的零点个数是 x 2

A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 2 2.在△ABC 中,若角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,则“a +b =b +ac” ,是“A、B、C 依 次成等差数列”的 A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件 3.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1 , a3 , 2a2 成等差数列,则

1 2

a8 ? a9 等于 a6 ? a7

1

7.设 a ?

?

?

0

a (cos x ? sin x), 则二项式 ( x 2 ? ) 6 展开式中的 x3 项的系数为 x
B.20 C.一 160 D.160

A.一 20

A.13

B.12

C.11

D.10

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知 f ( x) ? x ? 1, i 是虚数单位,复数

f (1 ? ai) 为纯虚数, 1? i

则实数 a 的值为 . 12.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图 如右图所示,若图中圆的半径为 1,等腰三角形的腰长为 5 , 则该几何体的体积是 .

13.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? mx ? n, m, n 是区间[0,4]内任意 两个实数,则事件“f(1)<0”发生的概率为 . 2 14.倾斜角为锐角的直线,与抛物线 y =2x 相交于 A、B 两点,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 13 分) 为减少“舌尖上的浪费” ,某学校对在该校食堂用餐的学生能否做到“光盘” ,进行随机 调查,从中随机抽取男、女生各 15 名进行了问卷调查,得到了如下列联表:

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin( x ?

?

) ? cos( x ? ). 6 6
3

?

(I)当 x∈A 时,函数 f(x)取得最大值或最小值,求集合 A; (Ⅱ)将集合 A 中 x∈(0,+ ? )的所有 x 的值,从小到大排成一数列,记为{an},求数列{ an} 的通项公式; (Ⅲ)令 bn ?

?2
an ? an?1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.(本小题满分 13 分)

19.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 T : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
(I)若椭圆 T 的离心率为

8 5 ,过焦点且垂直于 z 轴的直线被椭圆截得弦长为 . 3 3

(i)求椭圆方程; (ii)过点 P(2,1)的两条直线分别与椭圆 F 交于点 A,C 和 B,D,若 AB//CD,求直线 AB 的斜率; (II)设 P(x0,y0)为椭圆 T 内一定点(不在坐标轴上),过点 P 的两条直线分别与椭圆厂交于 点 A,C 和 B,D,且彻∥CD,类比(I)(ii)直接写出直线彻的斜率.(不必证明)

4

20.(本题满分 14 分)

21. 本题有(1)、(2)、 (3)三个选答题, 每小题 7 分, 请考生任选 2 个小题作答, 满分 14 分. 如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4--2:矩阵与变换

(2)(本小题满分 7 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知

曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos? ( ? 参数) ,直线三的极坐标方程为 ? y ? sin ?

(I)写出曲线 C 的普通方程与直线三的直角坐标方程。 (II)P 为曲线 C 上一点,求尸到直线工距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4--5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?|1 ? x | ? | 2 ? x | . (I)求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ) | 2t ? 1|? f ( x) 恒成立,求实数 f 的取值范围.

5

2014 年南平市高中毕业班适应性考试 理科数学试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B; 2.D; 3.C; 4.B; 5.A; 6.C; 7.C; 8.A; 9.A; 10.D. 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11.2; 12.

4? ; 3

13.

23 ; 32

14. x ? y ? 2 ? 0 ;

15. 2 2 ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.本题满分 13 分.
解 :

男性 做不到“光盘” 能做到“光盘” 合 计 3 15

女性 5 15

合计 17 13

(Ⅰ)

????3 分
2

由已知数据得 K ?
2

30(12 ? 10 ? 3 ? 5) ? 6.652 ? 6.635,所以,有 99%以上的把握 15 ? 15 ? 17 ? 13

认为“在学校食堂用餐的学生能否做到‘光盘’与性别有关”????6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2????7 分
2 1 1 C10 C10 ? C5 C52 3 10 2 , , ? P ( X ? 1 ) ? ? P ( X ? 2 ) ? ? 2 2 2 21 C15 7 C15 C15 21

P( X ? 0) ?

????10 分 所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

10 2 21 21 3 10 2 2 X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ????13 分 7 21 21 3
17.本题满分 13 分. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2[

3 7

3 ? 1 ? sin(x ? ) ? cos(x ? )] ????1 分 2 6 2 6

6

? 2 sin[( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 sin x ????3 分

当函数 f ( x) 取得最值时,集合 A ? {x x ? k? ?

?
2 2

, k ? Z } ????4 分 , , ,?, (2n ? 1)? ,? . 2
????6 分

(Ⅱ) x ? (0,??) 的所有 x 的值从小到大依次是

? 3? 5?
2 2

即数列 {an } 的通项公式是 a n ? (Ⅲ)由(Ⅱ)得 bn ?

(2n ? 1)? ????8 分 2

?2
an ? an?1

?

4 1 1 ? 2( ? ) ????10 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ????11 分 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2(1 ? 1 4n )? 2n ? 1 2n ? 1
? ? ? ? 13 分

18.本题满分 13 分. (Ⅰ)证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵ AC 1 1 ?B 1D 1 , BB 1 ? AC 1 1 ???? 1 分 ∵E,F 分别为 A1B1,B1C1 的中点,? EF / / AC 1 1 ????2 分

? EF ? B1D1 , EF ? BB1 , B1D1 ? BB1 ? B1 ,? EF ? 面BB1D1D
又 EF ? 面DEF ????3 分

? 面DEF ? 面BB1D1D

????4 分

(Ⅱ)∵OP 与 DM 相交,

?OP 与 DM 确定一个平面 ? ,P 为正方体底面 ABCD 上的点????5 分 ?平面 ? ? 面ABCD ? DP ,平面 ? ? 面A1B1C1D1 ? OM ????6 分
∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 面ABCD / /面A1B1C1D1

? DP / / OM

????7 分

(Ⅲ)如图以 D1 为原点, D1 A1 , D1C1 , D1D 所在直线分别为 x 轴,

7

B ( , 2, 0),C ( , 2, 0),O( 1 , 1 , 0),D(0, 0, 2), z 1 2 1 0 E (2,1, 0) , F (1, 2, 0) ????8 分 D 设 M (m, n, 0) , A 2 2 由 EM ? EF ,得 (m ? 2, n ? 1, 0) = ( ?1,1, 0) 3 3 4 5 4 5 解得 m ? , n ? ,即 M ( , , 0) ????10 分 D1 3 3 3 3
由(Ⅱ)可知:面 CPD 与面 ABCD 共面, 面 DOP 与面 DOM 共面, 面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0, 0, 1 ) x A1 E

y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A ( 0, 0), 1 2,

C P B

O M B1

F

C1 y

OM ? ( , ,0) 设面 DOM 的一个法向量为 n2 ? , , ? OD ? (?1 (x,y,z) , ?1 , 2)

1 2 3 3

?? x ? y ? 2 z ? 0 ? ?n2 ? OD ? 0 ? ∴由 ? ,可得 ? 1 2 x? y?0 ? ? ?n2 ? OM ? 0 3 ?3 令 z ? 1 ,则 x ? 4 , y ? ?2 , 即 n2 ? ????12 分 (4, ? 2, 1 )

cos n1, n2 ?

1 1 ? 21

?

21 21 , 故 cos? ? ????13 分 21 21

19.本题满分 13 分.

? 2b 2 8 ? ? ?a ? 3 ? a 3 解: (Ⅰ) (ⅰ)由题意得 ? 解得 ? ????2 分 2 2 b ? 2 a ? b 5 ? ? ? ? 9 ? a2 2 2 x y ? ? 1 .????3 分 则椭圆 Г 的方程为 9 4 (ⅱ)设点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), AP ? ? PC. 则 2 ? x1 ? ? ( x3 ?2), 1 ? y1 ? ? ( y3 ? 1) , 2(1 ? ? ) ? x1 (1 ? ? ) ? y1 故 x3 ? , y3 ? .????5 分 ? ? x2 y 2 [2(1 ? ? ) ? x1 ]2 [(1 ? ? ) ? y1 ]2 ? ?1 因为点 C 在椭圆上,所以 3 ? 3 ? 1 ,则 9 4 9?2 4?2 1 2x y x2 y2 2 2 4 整理得 (1 ? ? ) ( ? ) ? 2(1 ? ? )( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 = ? ????6 分 9 4 9 4 9 4 2 2 x y 由点 A 在椭圆上知 1 ? 1 ? 1 , 9 4 4 1 2x y 2 2 故 (1 ? ? ) ( ? ) ? 2(1 ? ? )( 1 ? 1 ) ? ? ? 1. ①????7 分 9 4 9 4 又 AB ∥ CD ,则 BP ? ? PD. 1 2x y 2 4 2 同理可得 (1 ? ? ) ( ? ) ? 2(1 ? ? )( 2 ? 2 ) ? ? ? 1. ②????8 分 9 4 9 4
8

①-②得

2 1 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? 0. 9 4

由题意可知 x1 ? x2 ,则直线 AB 的斜率为 k ? (Ⅱ)直线 AB 的斜率为 ?

y2 ? y1 8 ? ? .????10 分 x2 ? x1 9

b 2 x0 .????13 分 a 2 y0

20.本题满分 14 分. 解: (Ⅰ)曲线方程为 y ? ln x ,设切点为 ( x0 , ln x0 )

1 1 1 得切线的斜率 k ? ,则切线方程为 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) ????2 分 x x0 x0 因为切线过点 P(0,?1) ,所以 ? 1 ? ln x0 ? ?1 ,即 x0 ? 1 故所求切线方程为 x ? y ? 1 ? 0. ????3 分
由 y? ? (Ⅱ)函数 y ? g ( x) 的定义域为 (0,??) , g ?( x) ? 2 x ? 2 ? 令 g ?( x) ? 0 并结合定义域得 2 x 2 ? 2 x ? m ? 0, 对应一元二次方程的判别式 ? ? 4(1 ? 2m) .????5 分

m 2x2 ? 2x ? m ? . x x

1 时, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 的增区间为 (0,??) ; 2 1 1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2 m ② 当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 的增区间为 (0, ), ( ,??) ; 2 2 2 1 ? 1 ? 2m ③ 当 m ? 0 时,函数 g ( x) 的增区间为 ( ,??). ????7 分 2 m 2x2 ? 2x ? m 2 ? (Ⅲ) g ?( x) ? 2 x ? 2 ? ,令 g ?( x) ? 0 得 2 x ? 2 x ? m ? 0, x x ?? ? 4(1 ? 2m) ? 0, ? 由题意知方程有两个不相等的正数根 a, b(a ? b) ,则 ? m ?0 ? ?2
① 当 ? ? 0 ,即 m ?

1 1 1 ? 1 ? 2m , 解方程得 b ? ,则 ? b ? 1 . ????9 分 2 2 2 2 2 又由 2b ? 2b ? m ? 0 得 m ? ?2b ? 2b , 1 所以 g (b) = b2 ? 2b ? 1 ? m ln b ? b2 ? 2b ? 1 ? (?2b2 ? 2b) ln b , b ? ( ,1). 2 1 g ?(b) ? 2b ? 2 ? (?4b ? 2) ln b ? 2 ? 2b ? ?4(b ? ) ln b 2 1 1 当 b ? ( ,1) 时, g ?(b) ? 0 ,即函数 g (b) 是 ( ,1) 上的增函数 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 ? g (b) ? 0 ,故 g (b) 的取值范围是 ( ,0 ) . 所以 4 4 则 [ g (b)] ? ?1 .????11 分 1 1 2 2 同理可求 0 ? a ? , g (a ) = a ? 2a ? 1 ? (?2a ? 2a) ln a , a ? (0, ). 2 2
解得 0 ? m ?
9

1 1 g ?(a) ? ?4(a ? ) ln a ? 0 ,即函数 g (a) 是 (0, ) 上的减函数 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 ? g ( a ) ? 1,故 g (a) 的取值范围是 ( ,1) 所以 4 4 则 [ g (a)] = ? 1 或 [ g (a)] =0????12 分 [ g (a )] 当 [ g (a)] = ? 1 时, sin ? cos([g (a)][g (b)]) ; [ g (b)] [ g (a )] 当 [ g (a)] = 0 时, sin ? cos([g (a)][g (b)]) .????14 分 [ g (b)]
21.本题满分 14 分. (1)解(Ⅰ)由 ?

? a 1 ?? ?2 ? ?1 ? ?? ? ? ? ? ????1 分 ? 1 b ??1 ? ? 2 ? ??2a ? 1 ? 1 得 ? 解得 a ? 0 , b ? 4 ????2 分 ??2 ? b ? 2 ?0 1? M ?? ? ????3 分 ?1 4? ? 1 0 ?? 0 1 ? ? 0 1 ? (Ⅱ) NM ? ? ?? ??? ? ????4 分 ? 2 1 ?? 1 4 ? ? 1 6 ? 设 P( x, y) 为 x ? y ? 1 ? 0 上任一点,在 NM 变换作用下的对应点为 P?( x?,y?) ,

' ? 0 1 ?? x ? ? x ? 则? ?? ? ? ? ? '? ? ????5 分 ? 1 6 ?? y ? ? y ? ? y ? x? 得 ? ,代入 x ? y ? 1 ? 0 得 y? ? 5 x? ? 1 ? 0 ????6 分 ? x ? 6 y ? y? 即所求的曲线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ????7 分 ? x ? 2cos ? x2 ? y 2 ? 1????1 分 (2)解: (Ⅰ)由 ? 得曲线 C 的普通方程: 4 ? y ? sin ?

?=

3 2 cos ? ? 2sin ?

可化为 ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 3 2 ????2 分

即直线 L 的直角坐标方程: x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ????3 分 (Ⅱ)解法一:设曲线 C 上任一点为 P(2 cos ? , sin ? )

它到直线的距离为 d ? 当 sin(? ?

2 cos ? ? 2sin ? ?3 2 12 ? 22

2 2 sin(? ? ) ?3 2 4 ? ????5 分 5

?

?
4

) ? 1 时, dmin ?

10 ????7 分 5

解法二:设与直线 L 平行且与曲线 C 相切的直线方程为 x ? 2 y ? m ? 0

10

?x ? 2 y ? m ? 0 ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
当 m ? ?2 2 时,

可化得 8 y 2 ? 4my ? m2 ? 4 ? 0 ????5 分

? ? 16m2 ? 32(m2 ? 4) ? 8 ? m2 ? 0 得 m ? ?2 2 ????6 分

曲线 C 上点到直线 L 距离取最小值 d min ?

(?3 2) ? (?2 2) 1 ?2
2 2

?

10 ????7 分 5

(3)解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? x ? 2 ? x ≤ 1 ? x ? 2 ? x ? 3????2 分 当且仅当 x ≤-2 时等号成立,? f max ( x) ? 3 ????3 分 (说明:通过数形结合直接答出 f max ( x) ? 3 也给 3 分) (Ⅱ)由 2t ?1 ? f ( x) 恒成立得 2t ?1 ? f max ( x) ????4 分 即 2t ?1 ? 3 , 2t ? 1 ? 3 或 2t ? 1 ? ?3 ????5 分 解得: t ? 2 或 t ? ?1 ????6 分

?实数 t 的取值范围是 (??, ?1? ??2, ??) ????7 分

11


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