2017届高三数学(文)一轮复习课件:6-2 一元二次不等式及其解法

第六章 不等式、推理与证明

第二节
一元二次不等式及其解法
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一、知识清单 微知识? 一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数 微知识? 一元二次不等式的解集 判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
2

不等于 0。

Δ>0

Δ=0

Δ <0

判别式 Δ=b -4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2

Δ>0 有两相异实根 x1,x2(x1<x2)
{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

Δ=0 有两相等实根 b x1=x2=-2a
{x|x≠x1}

Δ<0

没有实数根

R
?

?

微知识? (x-a)(x-b)>0 或(x-a)(x-b)<0 型不等式解法 不等式 a<b (x-a)(x-b)>0 (x-a)(x-b)<0 {x|x<a 或 x>b}
{x|a<x<b}

解集 a=b
{x|x≠a}
?

a>b
{x|x<b 或 x>a}

{x|b<x<a}

二、小题查验 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有 a>0。( √)
解析:正确。由不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2)可知函数对应的 抛物线开口向上,因此必有 a>0。

(2)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1 和 x2。(√ )
解析: 正确。 由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论 是正确的。

(3)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R。(×) 解析:错误。只有当 a>0 时才成立,当 a<0 时,若方程 ax2+bx+c=
0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为空集。

(4)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2- 4ac≤0。( ×)
解析:错误。还要考虑 a=0 的情况,不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒 成立的条件是 a=0,b=0,c≤0 或 a<0 且 Δ=b2-4ac≤0。

2.不等式 x2-3x+2<0 的解集是( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)

)

解析:∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2,故原不等式的解集为(1,2),故选 D 项。 答案:D

3.不等式 2x2-x-1>0 的解集是(
? 1 ? A.?-2,1? ? ?

)

B.(1,+∞)
? 1? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞)

解析:∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1 或 x<-2,
? 1? 故原不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞), ? ?

故选 D。 答案:D

1 4.若不等式 ax +bx-2<0 的解集为{x|-2<x<4},则 ab=(
2

)

A.-28

B.-26

C.28

D.26

1 解析:∵x=-2,4是方程 ax2+bx-2=0 的两根,

?-2=?-2?×1=-1, ? a 4 2 ∴? ?-b=-7, 4 ? a
∴ab=28,故选 C。 答案:C

∴a=4,b=7,

5.不等式 ax2+2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为 __________。
?a>0, 解析:当 a=0 时,不等式为 1≥0 恒成立;当 a≠0 时,须? 即 ?Δ≤0, ?a>0, ? 2 所以 0<a≤1。 ?4a -4a≤0,

综上 0≤a≤1。 答案:[0,1]

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含参数的一元二次不等式的解法

【典例 1】解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R)。
解析:原不等式可化为 ax2+(a-2)x-2≥0。 ①当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0, 解得 x≤-1。
? 2? 2 ②当 a>0 时,原不等式化为?x-a?(x+1)≥0,解得 x≥ 或 x≤-1。 a ? ? ? 2? ③当 a<0 时,原不等式化为?x-a?(x+1)≤0。 ? ?

2 2 当 >-1,即 a<-2 时,解得-1≤x≤ ; a a 2 当a=-1,即 a=-2 时,解得 x=-1 满足题意;

2 2 当a<-1,即 a>-2 时,解得a≤x≤-1。 综上所述,当 a=0 时, 不等式的解集为{x|x≤-1}; 2 当 a>0 时,不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤-1}; a 2 当-2<a<0 时,不等式的解集为{x|a≤x≤-1}; 当 a=-2 时,不等式的解集为{x|x=-1}; 2 当 a<-2 时,不等式的解集为{x|-1≤x≤ }。 a

[规律方法] (1)二次项中若含有参数应讨论是小于零,等于零,还是大于零,然后将不 等式转化为二次项系数为正的形式。 (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 Δ 与零的关系。 (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小 关系,从而确定解集形式。

【微练 1】已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}。 (1)求 a,b 的值;

解析:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1 =1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,b>1 且 a>0。

?1+b=3, ? a 由根与系数的关系,得? ?1×b=2, a ?

?a=1, 解得? ?b=2。

(2)解关于 x 的不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0。
解析:(2)不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0。 当 c>2 时, 不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时, 不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时, 不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?。 所以,当 c>2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 的解集为?。

微考点?

一元二次不等式恒成立问题

【典例 2】函数 f(x)=x2+ax+3。 (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围;
解析:(1)∵x∈R 时,有 x2+ax+3-a≥0 恒成立,须 Δ=a2-4(3-a)≤0, 即 a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2。

(2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围;
解析:(2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨 论(如图所示):

(1)

(2)

①如图(1), 当 g(x)的图象恒在 x 轴上方时, 满足条件, 有 Δ=a2-4(3-a)≤0, 即-6≤a≤2。 ②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,

?Δ≥0, ? a 即?x=-2<-2, ? ?g?-2?≥0,
得 x∈?。

?a -4?3-a?≥0, ? a 即?-2<-2, ? ?4-2a+3-a≥0

2

?a≥2或a≤-6, ?a>4, ?? ?a≤7, ? 3

解之

③如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点,

?Δ≥0, ? a 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即?x=-2>2, ? ?g?2?≥0,

(3)

2 a ? -4?3-a?≥0, ? a 即?-2>2, ? ?7+a≥0

a≥2或a≤-6, ? ? ??a<-4, ? ?a≥-7。

∴-7≤a≤-6。 综合,得-7≤a≤2。

(3)当 a∈[4,6]时,f(x)≥0 恒成立,求 x 的范围。

解析:(3)令 h(a)=xa+x2+3, 当 a∈[4,6]时,h(a)≥0 恒成立。
?h?4?≥0, ?x2+4x+3≥0, 只需? 即? 2 ?h?6?≥0, ?x +6x+3≥0,

解之得 x≤-3- 6或 x≥-3+ 6。

[规律方法] 不等式恒成立问题的求解方法 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范 围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数。 (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于零就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在 x 轴上方,恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定 的区间上全部在 x 轴下方。另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最 值。

【微练 2】设函数 f(x)=mx2-mx-1。 (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围;
解析:(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0;
?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0。 2 Δ = m + 4 m < 0 ?

所以 m 的取值范围为(-4,0]。

(2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围。
解析:(2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,只需 mx2-mx+m<6 恒成 立(x∈[1,3]),
? 1? 3 6 又因为 x2-x+1=?x-2?2+4>0,所以 m< 2 。 x -x+1 ? ?

6 6 令 y= 2 = , x -x+1 ? 1?2 3 ?x- ? + 2? 4 ?
? 1?2 3 因为 t=?x-2? +4在[1,3]上是增函数, ? ?

6 所以 y= 2 在[1,3]上是减函数。 x -x+1 6 因此函数的最小值 ymin=7。
? 6? ? 所以,m 的取值范围是 -∞,7?。 ? ?

微考点?

一元二次不等式的实际应用

【典例 3】行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段 距离才能停下,这段距离叫做刹车距离。在某种路面上,某种型号汽车的刹车 nv v2 距离 s(m)与汽车的车速 v(km/h)满足下列关系:s=100+400(n 为常数,且 n∈
?6<s1<8, N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中? ?14<s2<17。

(1)求 n 的值。
解析:(1)由试验数据知, 2 7 49 s1= n+4,s2= n+ , 5 10 4

?6<2n+4<8, ? 5 所以? ?14< 7 n+49<17, 10 4 ?
又 n∈N,所以取 n=6。

? ?5<n<10, 解之得?5 。 95 ? ?2<n<14

(2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
3v v2 解析:(2)由(1)知,s=50+400,v≥0。 3v v2 依题意,s=50+400≤12.6, 即 v2+24v-5 040≤0,解之得-84≤v≤60。 注意到 v≥0,所以 0≤v≤60。 故行驶的最大速度为 60 km/h。

[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系。 (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系, 建立相应的数学模型。 (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义。 (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果。

【微练 3】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销售量为 10 000 辆。本年度为适应市场需求,计划提高产品质 量,适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂 价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润 =(出厂价-投入成本)×年销售量。 (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;

解析:(1)由题意,得 y=[12×(1+0.75x)-10×(1+x)]×10 000(1+0.6x)(0 <x<1), 整理得 y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1)。

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在 什么范围内?
解析:(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有
?y-?12-10?×10 000>0, ? ?0<x<1, ?-6 000x2+2 000x>0, 1 即? 解得 0<x<3。 ?0<x<1, ? 1? ∴投入成本增加的比例应在?0,3?范围内。 ? ?

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1. (2016· 长沙模拟)在关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a<0 的解集中恰有两个 整数,则 a 的取值范围是( A.(3,4) C.(3,4] ) B.(-2,-1)∪(3,4) D.[-2,-1)∪(3,4]

解析:由题意得,原不等式化为(x-1)(x-a)<0。当 a>1 时,解得 1<x <a,此时解集中的整数为 2,3,则 3<a≤4;当 a<1 时,解得 a<x<1,此时 解集中的整数为 0,-1,则-2≤a<-1,故 a∈[-2,-1)∪(3,4]。 答案:D

x-3 2.(2016· 菏泽模拟)已知 a∈R,不等式 ≥1 的解集为 p,且-2?p,则 a x+a 的取值范围为( ) B.(-3,2) D.(-∞,-3)∪[2,+∞) A.(-3,+∞) C.(-∞,2)∪(3,+∞)

-2-3 解析:∵-2?p,∴ <1 或-2+a=0,解得 a≥2 或 a<-3。 -2+a 答案:D

3. (2016· 九江一模)若关于 x 的不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解, 则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-2) C.(-6,+∞) ) B.(-2,+∞) D.(-∞,-6)

解析:不等式 x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2-4x- 2)max,令 g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2。 答案:A

4.(2016· 德州模拟)如果不等式 5-x>7|x+1|和不等式 ax2+bx-2>0 有相 同的解集,则( ) D.a=-1,b=2 A.a=-8,b=-10 B.a=-1,b=9 C.a=-4,b=-9

解析:由不等式 5-x>7|x+1|,可知 5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x +1)2,整理得 4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0。又因为两不等式的解集相 同,所以可得 a=-4,b=-9,故选 C。 答案:C

?-|x+1|?x≤0?, 5. (2016· 合肥模拟)已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(x)<0 的解 ?x -1?x>0?,

集为________。

解析:若 x>0,由 f(x)<0 得 x2-1<0,解得 0<x<1。若 x≤0,由 f(x) <0 得-|x+1|<0,解得 x≤0 且 x≠-1,综上不等式的解为 x<1 且 x≠-1, 即不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)。 答案:(-∞,-1)∪(-1,1)


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