2018高中数学人教A版必修四第三章 3第1课时二倍角公式及其应用 训练案知能提升 练习题含答案

单元练习 , [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1 1.已知 cos α = ,则 cos(π -2α)的值等于( ) 3 7 7 A.- B. 9 9 2 2 C. D.- 3 3 解析:选 B.cos(π-2α)=-cos 2α=-2cos2α+1 1?2 7 =-2×? ?3? +1=9,故选 B. A 2.在△ABC 中,若 sin Bsin C=cos2 ,则△ABC 是( ) 2 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1+cos A 解析:选 B.由 sin Bsin C= 2 ?2sin Bsin C=1-cos(B+C) ?2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C ?cos Bcos C+sin Bsin C=1 ?cos(B-C)=1,又-180°<B-C<180°,所以 B-C=0°?B=C?△ABC 是等腰三 角形. sin 2α -cos 2α 3.若 tan α =2,则 的值是( ) 1+cos2α 7 3 A. B. 6 2 1 1 C. D.- 6 6 2sin αcos α-cos2α+sin2α 解析:选 A.原式= sin2α+2cos2α 2tan α-1+tan2α 2×2-1+22 7 = = = . 6 tan2α+2 22+2 1 4.tan 67°30′- 的值为( ) tan 67°30′ A.1 B. 2 C.2 D.4 1 解析:选 C.tan 67°30′- tan 67°30′ 2 tan 67°30′-1 = tan 67°30′ -2 -2 = = =2. 2tan 67°30′ tan 135° 2 1-tan 67°30′ π 5.已知 0<α<β< ,sin α +cos α =m,sin β +cos β =n,则( ) 4 A.m<n B.m>n C.mn<1 D.mn>1 单元练习 解析:选 A.m2=(sin α+cos α)2=1+sin 2α, π n2=(sin β+cos β)2=1+sin 2β,因为 0<α<β< , 4 π π 所以 0<2α<2β< , 因为 y=sin x 在?0, ?上为增函数, 所以 sin 2α<sin 2β, 即 m2<n2, 2 2? ? 又 m>0,n>0, 所以 m<n,故选 A. sin 2α cos α -sin α 6.化简: =________. cos 2α sin 2αcos α-sin α 2sin αcos2α-sin α 解析: = cos 2α 2cos2α-1 sin α(2cos2α-1) = =sin α. 2cos2α-1 答案:sin α π 7.已知 tan x=2,则 tan 2?x- ?=________. ? 4? 2tan x 4 解析:因为 tan x=2,所以 tan 2x= =- . 3 1-tan2x π sin ?2x- ? 2? ? π π tan 2?x- ?=tan?2x- ?= 2? ? 4? ? π cos?2x- ? 2? ? -cos 2x 1 3 = =- = . sin 2x tan 2x 4 3 答案: 4 1 8.函数 y= sin 2x+sin2x,x∈R 的值域是________. 2 1-cos 2x 1 1 解析:y= sin 2x+sin2x= sin 2x+ 2 2 2 π? 1 1 1 1 2 ? = sin 2x- cos 2x+ = sin 2x- + , 2 2 2 2 4? 2 ? 2 1 2 1 所以函数的值域为?- + , + ?. ? 2 2 2 2? 2 1 2 1 答案:?- + , + ? ? 2 2 2 2? π 3 9.已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 3 1 3 解:(1)f(x)=cos x? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin 2x- cos2x+ 4 2 4 1 3 1+cos 2x 3 = sin 2x- × + 4 2 2 4 π 1 3 1 = sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?, 4 4 2 ? 3? 故 f(x)的最小正周期为π. 单元练习 π π (2)因为 x∈?- , ?, ? 4 4? π 5π π 所以 2x- ∈?- , ?, 3 ? 6 6? 1 1 1 π -1, ?,所以 f(x)∈?- , ?, 所以 sin?2x- ?∈? 2? ? 2 4? 3? ? ? π π 1 1 函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 4 4 ? ? 10. 如图, 有一块以点 O 为圆心的半圆形空地, 要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B,C 落在半圆的圆周上.已知半圆 的半径长为 20 m,如何选择关于点 O 对称的点 A,D 的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最 大? 解: 连接 OB,设∠AOB=θ,则 AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且 π θ∈(0, ). 2 因为 A,D 关于点 O 对称, 所以 AD=2OA=40cos θ. 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AD· AB=40cos θ·20sin θ π =400sin 2θ.因为 θ∈?0, ?, 2? ? π 所以当 sin 2θ=1,即 θ= 时,Smax=400(m2). 4 此时 AO=DO=10 2(m). 故当 A、D 距离圆心 O 为 10 2 m 时,矩形 ABCD 的面积最大,其最大面积是 400

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