2.1-函数的概念及其表示

第二章 函数 2.1 函数的概念及其表示 一、 【考点概述】 ①理解函数是描述变量之间的相互关系的数学模型,理解集合与对应语言刻画的函数概念 ②掌握常见的三种函数的表示方法, 会根据不同的需要选择恰当的方法 (如列表法、 解析法、 图像法)表示函数 ③了解分段函数并能进行简单应用。 二、 【重点难点】 ①了解映射的概念,理解映射与函数的关系 ②掌握函数解析式的几种求法,理解并能表示分段函数 ③求分段函数或复合函数的函数值;判断两个函数是否为同一函数 三、 【知识回顾】 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应, 那么就称这样的对应 f: A→B 叫做从集合 A 到集 合 B 的一个函数。记作: 。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的输出值 y 叫做 函数值,这些函数值的集合叫做函数的值域。 注意:①“”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ;②函数符号“”中的是一 个整体,不可分开,表示与 x 对应的函数值,是一个数,而不是 f 乘 x。③A、B 均为非空集 合,因此定义域或值域为空集的函数不存在,如就不是函数。④集合 B 不一定是值域,前面 所讲的“与 x 的值相对应的输出值 y 所组成的集合”才称为值域,易知“值域 B” 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域与从定义域 到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的 两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是同一 个函数。 4.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称这样的单值对应叫 做从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个 非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映 射。 注意:①两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体 的对应法则,可以用汉字叙述。②“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一 个,也就是说有且只有一个的意思。③由函数与映射的定义可知,函数是特殊的映射,映射 是函数概念的推广。 5.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表

达式,简称解析式, (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系,如平方表、平方根表等 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 6.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数称分段函 数 注意:①分段函数是由几个解析式来表示的函数,不能认为分段函数是几个函数,它只是一 个函数。 ②分段函数的图像由几部分构成, 它的值域就是各部分上的函数值的取值集合的并集。 ③作 分段函数的图像时,应分别分段作出其图像,在作每一段图像时,先不管定义域的限制,用 虚线作出图像,再用实线保留每一段的图像。 7.复合函数 如果函数的定义域为 D,值域为 C,函数的定义域为 A,则当时,称为与在 D 上的复合 函数,其中叫做中间变量,叫内函数,叫外函数。 注意:①复合函数的定义域由外函数的定义域、内函数的定义域及内函数的值域共同确定。 ②与中“”含义不同,是用同一个字母表示两个不同函数的自变量,它们的取值范围不一定 相同,但又有一定的联系,即只有在的值域是的定义域的子集时才有复合函数的说法。 四、 【技巧平台】 1.函数解析式的求法 (1)求函数解析式的题型有: ①已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; ②已知求或已知求:换元法、配凑法; ③已知函数图像,求函数解析式; ④满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另一个等式,解方程组法; (2)求函数解析式方法有: ①代入法:如已知,求时,有 ②待定系数法:当已知函数类型,要求的解析式时,可根据类型设其解析式,从而确定其系 数即可。 例如:已知为一次函数,且,求 解析:设则 ③凑配法:已知的解析式,求时,可从的解析式中拼凑出,即用来表示,再将解析式两边的 用 x 代替即可。 例如:已知,求 解析:可将左右两过凑配成的形式,如 ④换元法:在上例中,可令 ⑤方程组法:与满足某关系,求时, 可用代替两边所有的,得到关于与的方程组,消去解 出即可。一般方程同时出现与或同时出现与,可构造一个新方程组,解方程组即可。 例如:已知,求 解析:用,得 由消去可得 ⑥特殊值法:通过取某些特殊值代入题设中的等式,可使抽象的问题具体化、简单化,从而 找到规律,求出函数的解析式,又称为赋值法,常对抽象函数适用。 例 1. (1)已知,求;

(2)已知,求; (3)已知是一次函数,且满足,求; (4)已知满足,求。 解: (1)∵, ∴(或) 。 (2)令() ,则, ∴, 。 (3)设, 则, ∴, , ∴。 (4) ①,把①中的换成,得 ②, 得, ∴ 【点评】第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系 数法;第(4)题用方程组法。 2.判断两个函数是否相同 例 2.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) , ; (2) , ; (3) , ; (4) , ; (5) , 。 解: (1)由于, ,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数; (2)由于函数的定义域为,而的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数,∴, ,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以 它们是同一函数; (4)由于函数的定义域为,而的定义域为,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数。 【点评】 ①对于两个函数和,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,和才表示同一函数 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。 ②第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透,要知道,在 函数的定义域及对应法则不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式, 这对于函数本身并无影响,比如都可视为同一函数。 ③对于两个函数来讲, 只要函数的三要素中有一要素不相同, 则这两个函数就不可能是同一 函数。 3.分段函数 例 3.(2009 北京文)已知函数,则 . 解:由,或 无解,故应填. 【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考 查. 五、 【练习】 1.,则的值为 。 2.函数,若,则= 。

3.已知函数满足,则 。 4.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用 为万元,要使一年的总费用之和最小,则= 吨。 5.已知,则不等式的解集是 。 6.已知,那么 。 7.已知,则 。 8.已知两个函数由下表给出,则满足为 。 9.直角梯形 ABCD 如图 (1) 所求, 动点 P 从点 B 出发, 由沿边运动, 设点 P 运动的路程为 x, 的面积为,若的图像如图(2)所示,则的面积为 。

10.已知一次函数满足,求的表达式。

11.已知二次函数满足,求的表达式。

*12.已知二次函数满足 (1)求的解析式 (2)当时, 不等式:恒成立,求实数的范围

13.求下列函数的解析式 (1)已知为一次函数,且,求

(2)如果,求

(3) 如果,求

(4)若如果,求

14.设如果是 R 上的函数,且,并且对任意实数如果都有,求

15.若是定义在 R 上的函数,对一切函数均有,且当时, ,求当时的解析式.


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