湖南省新化一中2014-2015学年高二第四次阶段性测试数学(理)试卷(教师版)


湖南省新化一中 2014-2015 学年高二第四次阶段性测试试题

理科数学
命题:伍震斌 审题:卿梁松 满分:150 分 时量:120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个答案中,只 有一项是符合题目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。)
1、设集合 A ? ? x D A. ? , 1 ?2 ? ? 【解析】 A ? ? x ?

? 2x ? 1 ? ? 0? ,集合 B 是 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域,则 A B =( ? x?2 ?
B.



?1 ?

? ?1, 2?

C.

, 2? ? ?11 ? ?1,

D.

2? ? ?1,

? ?

1 ? ? x ? 2? , B ? ? x ?1 ? x ? 1? , A B = ? x ?1 ? x ? 2? 。 2 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2、设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?y ?1 ?
B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
? ?x+y-2=0, ? ?x=1, 【解析】画出可行域,如图所示.解方程组? 得? 即点 A(1,1). ?y=1, ?y=1, ? ?



当目标函数线过可行域内 A 点时,目标函数有最小值,即 zmin=1× 1+2× 1=3。 3、如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a ,

AD ? b , AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是(
1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. ? a ? b ? c 2 2
A. ?

)C
A1

D1

M B1

C1

1 1 a? b?c 2 2 1 1 a? b?c D. 2 2
B.

D A B

C

4、已知曲线 y ?
A. 3 【解析】 y ?

1 x2 ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
B. 2 C. 1 D.

)A

1 2

1 3 1 3 1 x2 ? 3 ln x ? y ' ? x ? ( x ? 0 );令 y ' ? x ? ? ,解得 x ? 3 。 (另 2 x 2 x 2 4

一根 x ? ?2 舍去) 5、设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是 “ a ? b ”的( )A A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )C

6、为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图像(

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 12 ? ? ? ?? ?? ? 【 解 析 】 y ? sin 3x ? cos3x = 2 cos ? 3x ? ? = 2 cos ?3 ? x ? ? ? , 所 以 将 函 数 4? ? ? ? 12 ? ? ? y ? 2 cos3x 的图像向右平移 个单位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,故选 C。 12
A.向右平移 B.向左平移 7、从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率 等于( )D A.

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 12

? ??

B.

? ?

C.

? ?

D.

? ?

【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,以它们作为顶点 的四边形共有 15 个,其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为

3 1 ? 。故选 D。 15 5

8、已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的右支上一点,F1、F2 为双曲线的左、 a 2 b2

右焦点,若 OP ? OF2 ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点),且△PF1F2 的面积为 2ac(c 为双 曲线的半焦距),则双曲线的 离心率为( A. )C B.

?

?

2 ?1 2

3 ?1 2

C.

2 ?1

D. 3 ? 1 D1 A1 D A B B1 P C C1

9、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点, 若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲

线是( A.直线

)D B.圆 D.抛物线

C.双曲线

10、设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ? a, b ? S ,有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法是封 闭的。 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T A. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的 B. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的 【解析】举例以说明:

V ? Z 且 ? a, b, c ? T , 有 abc ? T ;
)B

? x, y, z ?V ,有 xyz ?V 。则下列结论恒成立的是(

① T ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , V ? x x ? 2k , k ? Z 符合条件,这种情况下, T , V 都关 于乘法封闭; ② T ? x ? Z x ? 0 , T ? x ? Z x ? 0 符合条件,这种情况下, T 关于乘法是封闭的, 但 V 关于数的乘法不封闭。 由此可知,应选正确答案 B。

?

?

?

?

?

?

?

?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡 中对应题号后 ...
的横线上。) 11、已知 i 为虚数单位,则复数 【解析】因为

1 ? 2i ? ?i ,所以其虚部为 ?1 。 i?2

1 ? 2i 的虚部为 i?2

。 ?1

12、若执行如图所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2 , 则输出的数等于 。

2 3

【解析】由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,

(1 ? 2)2 ? (2 ? 2)2 ? (3 ? 2) 2 2 ? 。 则S ? 3 3
1 1 ? a 的图象关于原点对称,则 a= 。 2 2 ?1 1 ? a 的图象关于原点对称,知函数 f ? x ? 为奇函数, 【解析】由 f ( x) ? x 2 ?1
13、若 f ( x) ?
x

又因为 f ? ? x ? ?

1 1 ?2 x ? a ? ? a ,所以 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ? a ? 。 ?x x 2 2 ?1 2 ?1
2

14、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M ?1, m? ( m ? 0 )到其焦点的距离为 5,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的 左 顶 点 为 A 。 若 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 AM 平 行 , 则 实 数 a 等 a
于 。

1 9

【解析】 MF ? d ? 1 ?

p ? 5 ? p ? 8 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 16 x ,M 的坐标为 ?1, 4 ? ; 2

又双曲线的左顶点为 A ? a , 0 ,渐近线为 y ? ?

?

?

1 x, a

所以,由题设可得

1 4 1 ,解得 a ? 。 ? 9 1? a a
P

15、如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA ? 3 ,

PB ? 2 , PC ? 1 ,设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ? M ? ? ? m, n, p ? ,

其中 m, n, p 分别是三棱锥 M-PAB、三棱锥 M-PBC、三棱锥 M-PCA 的体积, 若 f ? M ? ? ? , x, y ? ,且 。1 【解析】首先,由题设可知 VP ? ABC ? VA? BPC ? 于是依 f ? M ? 的意义可得 从
2 ? ? y ax ? ? 1 a ?1 a? ? ? ? ? ? ? 2 ? x ? y ? ? 2 ?1 ? a ? ? ? ? ? ? 2 1 ? a ? 2 a ? 2 1 ? a ; x y ?x y? ? x y ?? ? y ax (其中等号当且仅当 ? 即y? ax 时成立。) x y 2 1 a 因此由 ? ? 8 恒成立得 2 1 ? a ? 8 ,解之得 a ? 1 。 x y

?1 ?2

? ?

1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y
1 S 3 ? PA ? 1 ;

C A M B

PBC

1 1 ? x ? y ? 1 ,即有 x ? y ? ; 2 2


?

? ?

?

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
2 16、(本题满分 12 分) 已知命题 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒

成立,命题 q :函数 f ? x ? ? ? 3 ? 2a ? 是增函数。若 p ? q 为真,且 p ? q 为假,求实数 a 的
x

取值范围。 【解析】设 g ? x ? ? x ? 2ax ? 4 ,由命题 p 为真,可知函数 g ? x ? 的图象开口向上且与 x 轴
2

没有公共点,

故 ? ? 4a ? 16 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ; …………………3 分 若命题 q 为真,则有 3 ? 2a ? 1 ,即 a ? 1 ;…………………5 分 由题设“ p ? q 为真,且 p ? q 为假”可知,命题 p 与命题 q 必定一真一假;…………………7 分
2

(ⅰ ) 若 p 为真 q 为假, 则有 ? 分 (ⅱ ) 若 p 为假 q 为真, 则有 ? 分 综

??2 ? a ? 2 , 所以有 1 ? a ? 2 ; ?a ? 1

…………………9

? a ? ?2 或 a ? 2 , 所以有 a ? ?2 ; ?a ? 1
所 求 实 数 a 的 取

…………………11

? ??, ?2? ?1, 2? 。

















…………………12 分

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? = sin ? x + 3 cos ? x ? cos ?
2

且函数 y ? f ? x ? 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求 ? 的值及 f ? x ? 的单调递增区间; 求角 C。 【 解 析 】 ( 1 ) 首 先 , 函

? 。 2

?? ? ? ? x ? ( ? ? 0 ), ?2 ?

(2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a ? 1 , b ?

2 , f ? A? ? 1 ,
式 可 化 为







f ? x? ?

1 ? cos 2? x 3 ?? 1 ? ? sin 2? x ? sin ? 2? x ? ? ? ;……… 2 分 2 2 6? 2 ?

然后,由题设函数 y ? f ? x ? 的图象相邻两条对称轴之间的距离为

T ?? ,
而 由 函 数 解 析 式 可 得

? 可知函数的周期 2
, 所 以

T?

? ? 1;
因此, f ? x ? ? sin ? 2 x ?

2? ? ? 2? ?

…………………4 分

?? ; 6? 2 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ( k ? Z )解得 k? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ), 2 6 2 6 3 ? ?? ? 于 是 函 数 y ? f ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ? k? ? , k? ? ? 6 3? ? ( k ? Z )。 …………………6 分 ?? 1 ? (2)由(1)的结果及题设 f ? A? ? 1 ,可得 sin ? 2 A ? ? ? ; 6? 2 ? ? ? ? ? ? 11? ? 而 由 A 是 △ ABC 的 内 角 , 可 知 2 A ? ? ? ? , ? , 因 此 2A ? 6 ? 6 或 6 ? 6 6 ?

? ?

?? 1

2A ?

?
6

?

5? ; 6

…………8 分

6 b sin A 2 ; sin B ? ? a 2 ? 3? 所以 B= 或 B= ; 4 4
当 B=

1° 若 2 A ?

?
6

?

?

, 即 A?

?
6

, 则 由 正 弦 定 理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

? 4





C ? ? ? ? A ? B? ?

C ? ? ? ? A ? B? ?

?

5? 12





B=

3? 4





12 ? 5? ? b sin A ? 2; 2° 若 2A ? ? ,即 A ? ,则由正弦定理得 sin B ? 6 6 2 a sin B? 1 这 显 然 与 不 符 ,
………………………………11 分 上 所 述 , 所 求 角 C 的 大 小 为



…………10 分

舍 或

去; 综

? 。 12

5? 12

………………………………12 分

18、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥ 底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥ AD,AB∥ CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点。 (1)求证:平面 EAC⊥ 平面 PBC; (2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 角的正弦值。 【解析】(1)取 AB 中点 F,连结 CF. 则由题设可知 CF⊥ CD,又 PC⊥ 底面 ABCD, 所以,可以以 C 点为坐标原点,CF、CD、CP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示。 依题设,C(0,0,0), A(1,1,0),B(1,-1,0),
D

P

E

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成 3

A

B C

z P

?1 1 h? 若设 CP=h,则 P(0,0,h),E ? , ? , ? ; ?2 2 2? 于是 CA ? ?1,1, 0 ? , CB ? ?1, ?1,0 ? , CP ? ? 0,0, h ? ,

E F x B

由于 CA ? CB ? 0 , CA ? CP ? 0 , A 所以 CA ? CB , CA ? CP ; 又 CB CP ? C ,所以 CA ⊥ 平面 PBC; D C y 而 CA ? 平面 EAC, 故平面 EAC⊥ 平面 PBC。 …………………5 分 (2)由(1) CA ⊥ 平面 PBC,得 CA ? CP , CA ? CE ,所以 ?PCE 就是二面角 P-AC-E 的平面角;

在 Rt△PCB 中, CE ? PE ? 所 以

h ? 2;

1 h2 ? 2 , PB ? 2 2 CP h cos ?PCE ? cos ?CPE ? ? 2 PB h ?2
…………………8 分

?

6 3







于是, AP ? ? ?1, ?1, 2 ? , CE ? ? , ? ,1? ,

?1 ?2

1 ? 2 ?

?n ? CA ? x ? y ? 0 ? 设平面 EAC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则有 ? , 1 1 ?n ? CE ? x ? y ? z ? 0 ? 2 2 不 妨 取 x ? 1 , 则 得 y ? z ? ?1 , 从 而 得 到 平 面 EAC 的 一 个 法 向 量 为

n ? ?1, ?1, ?1? ;…………10 分
因此,若设直线 PA 与平面 EAC 所成角的大小为 ? , 则 sin ? ? cos ? AP, n ? ?

AP ? n AP ? n

?

2 。 3
2 。 3
…………………12 分

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

注:学生如用几何法或其他方法求解,可根据求解情况酌情给分。 19、(本小题满分 13 分)设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式。 (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和。 【解析】 (1)因为 S n ? 2an ? 3n 对于任意的正整数都成立,所以 Sn?1 ? 2an?1 ? 3? n ? 1? , 两式相减,得 S n ?1 ? S n ? ? ? 2an ?1 ? 3 ? n ? 1? ? ? ? ? 2an ? 3n ? , 即

S n ? 2an ? 3n 。

an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3

, …………………3 分





an?1 ? 2an ? 3 ;
于是

从而数列 ?bn ? 是等比数 列。

bn?1 an?1 ? 3 ? 2an ? 3? ? 3 ? ? ? 2 (常数), bn an ? 3 an ? 3 且由 S n ? 2an ? 3n 令 n ? 1 可求得 a1 ? 3 ,所以 b1 ? a1 ? 3 ? 6( ? 0 ),
……………5 分

又由 b1 ? 6 , q ? 2 可知 bn ? 6 ? 2

n ?1

,所以 ? 3 ? 2
n

an ? bn ? 3 ? 3? 2 ? 。 3
n

……………7 分
n

(2)由(1)知 nan ? 3n ? 2 ? 3n ,
2 3 所以 S n ? 3 ? 2 ? 6 ? 2 ? 9 ? 2 ? 2 3 2Sn ? ? ?3 ? 2 ? 6 ? 2 ?

?

? 3n ? 2 n ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ?

? n? , ? n? ,

? 3 ? n ? 1? ? 2n ? 3n ? 2n ?1 ? ? ? 6 ?1 ? 2 ? 3 ?

2 3 两式相减,得 ? S n ? 3 2 ? 2 ? 2 ?

?

? 2n ? ? 3n ? 2n ?1 ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ?

? n?

? 3?
因此

n 2 ? 1? 2 ?

1? 2

? 6n ? 2n ?

3n ? n ? 1? 3n ? n ? 1? ? ? 6 ? 6n ? ? 2 n ? 6 ? ;……………12 分 2 2
……………………

S n ? ? 6n ? 6 ? ? 2 n ? 6 ?
……13 分

3n ? n ? 1? 。 2

20、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 (a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4 x ? ?1 a 2 b2

的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45 的直线 l 过点 F。。 (Ⅰ )求该椭圆的方程; (Ⅱ )设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y 2 ? 4 x 上是否存在一点 M ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由。 【 解 析 】 ( 1 ) 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 为 F ?1,0 ? , 准 线 方 程 为

x ? ?1 ,

…………………2 分
2 2

∴ 由题设可知:对椭圆而言,有 a ? b ? 1;…………………① 又椭圆截抛物线的准线 x ? ?1 所得弦长为 2 ,∴ 由对称性可得上交点为 ? ?1, ∴ 有

? ? ?

2? ?, 2 ? ?

1 1 ? 2 ? 1;…………………② 2 a 2b

4 2 2 将① 代入② 得 2b ? b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? ?
2

…………………4

1 (舍去), 2
…………………6

从而

a ? b2 ? 1 ? 2 ;
2

分 ∴ 该椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 2
(2)∵ 倾斜角为 45°的直线 l 过点 F,∴ 直线 l 的方程为 y ? x ?1, …………………8 分

…………………7 分

由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 ? ?1,0 ? ,设 M ? x0 , y0 ? 与 F 1 关于直线 l 对 称,…………………9 分

? y0 ? 0 ? x ? 1 ?1 ? ?1 ?x ? 1 ? 则得 ? 0 ,解之得 ? ,即 ? y ? ?2 ? y0 ? 0 ? x0 ? ? ?1? ? 1 ? ? 2 2 …………………11 分 M ?1, ?2? 。
又 M ?1, ?2? 满足 y 2 ? 4 x ,故点 M 在抛物线 上。 所 以 抛 物 线 y ? 4 x 上 存 在 一 点 M ?1, ?2? , 使 得 M 与 F1 关 于 直 线 l 对
2

…………………12 分

称。

…………………13 分

21、(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

(Ⅰ)若 b ? 2 ,且 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在定义域上不单调,求 a 的取值范围;

1 2 ax ? bx ( a ? 0 )。 2

(Ⅱ)若 a ? 1 , b ? ?2 ,设 f ? x ? 的图象 C1 与 g ? x ? 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1, C2 于点 M、 N, M、 N 的横坐标是 m, 求证:f ' ? m? ? g ' ? m? 。 略解:(Ⅰ)依题设, h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? 则 h ' ? x? =

1 2 ax ? 2 x , x ? ? 0, ??? ; 2

要使 h ? x ? 在其定义域上不单调, 必须且只需使 h ' ? x ? 在 ? 0, ??? 上有变号零点, 即 h ' ? x ? =0 在

1 1 ? 2 x ? ax 2 ? ax ? 2 ? , x x
上 有

?0, ???
2















根。 ……3 分

……………………………

而 h ' ? x ? =0 ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 ,
2 所以,① 当 a ? 0 时, ax ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ?

?1 ? 1 ? a , a ? ?1 ? 1 ? a ? ? ?1 ? 1 ? a ? , ?? 此时, h ? x ? 在 ? 0, 上单调递减,在 ? ? ? ? ? ? ? 上单调递增; a a ? ? ? ? 所以 a ? 0 满足条件; 2 ② 当 a ? 0 时,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有在 ? 0, ??? 上有实根,且不为重根,当且仅当

? ? ? ? 2 ? 4a ? 0 ? ? 2 , ?? ? 0 ? a ? ?1 ?0 ? ?a 解得 ?1 ? a ? 0 ;


? ?1,0? ?0, ??? 。























a













…………………………7 分

1 , g ' ? x ? ? x ? 2 ,设 P(x1,y1) Q(x2,y2),且 x1<x2, x x ? x2 y1 ? y2 x ?x 2 , PQ 中点为( 1 ),只要证明 < 1 2 -2; 2 2 x1 ? x2 2 2( x2 -x1 ) ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) 又只要证明: < ? 2( x2 ? x1 ) x2 ? x1 2
(Ⅱ) f ' ? x ? ? 只要证明:

2 ? x2 ? x1 ? ? ln x2 ? ln x1 , x2 ? x1 2 ? t ? 1? x ? ln t , t ? ?1, ??? 。 若令 2 ? t ? ?1, ?? ? ,则只要证明: t ?1 x1 2 ? t ? 1? 令:F(t)= ln t ? ,可证得:F'(t)>0,所以 F(t)在 ?1, ?? ? 内为增函数, t ?1 又F (1) =0 , 所以 F (t) >0 在 ?1, ?? ? 范围内恒成立。 命题得证。 …………………………13



相关文档

湖南省新化一中2014-2015学年高二第四次阶段性测试数学(理)试题(教师版)Word版含答案
湖南省新化一中2014-2015学年高二第四次阶段性测试试题·理科数学·教师版
湖南省新化一中2014-2015学年高二第四次阶段性测试试题·理科数学·学生版
湖南省浏阳一中2014-2015学年高二下学期第一次阶段性测试 数学理(培优)
湖南省新化一中2014-2015学年高二上学期第三次月考数学理试题Word版无答案
湖南省新化一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
湖南省新化一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
湖南省娄底一中、新化一中联考·2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
电脑版