学考复习7 函数与方程 (2)函数模型及其应用

株洲市二中 2014 年文科数学学考复习学案

学考复习 7

函数模型及其应用

一、知识梳理
1.几类函数模型 (1)一次函数模型: f ( x) ? kx ? b ( k , b 为常数, k ? 0 ) ; (2)反比例函数模型: f ( x) ?

k ; ? b ( k , b 为常数, k ? 0 ) x
2

(3)二次函数模型: f ( x) ? ax ? bx ? c ( a, b, c 为常数, a ? 0 ) ; (4)指数函数模型: f ( x) ? ab ? c ( a, b, c 为常数, a ? 0, b ? 0, b ? 1) ;
x

y ? N (1 ? P) x 一般用于解决增长率和利息等问题;
(5)对数函数模型: f ( x) ? m log a x ? n ( a, m, n 为常数, m ? 0, a ? 0, a ? 1 ) ; (6)幂函数模型: f ( x) ? ax ? b ( a, b, n 为常数, a ? 0 ) ;
n

(7)双“勾”函数模型: f ( x) ? x ?

k ( k 为常数, k ? 0 ) ; x

(8)分段函数模型:以上两种或多种模型的综合. 2.比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、 对数增长等不同函数类型增长的含义.

3.解答函数应用题的步骤:审题、建模、求模、还原

二、例题 例 1、 (1)函数与 y ? 2 x 与 y ? x 2 在 (4,??) 上增速较快的是 (2)函数与 y ? log 2 x 与 y ? x 2 在 (1,??) 上增速较慢的是

例 2、某人 2009 年 1 月 1 日到银行存入一年定期存款 a 元,若按年利率为 x ,并按复利计算, 到 2014 年 1 月 1 日可取回款 元

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例 3、光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来 的强度是 a ,通过 x 块玻璃后强度为 y ,则 y 关于 x 的函数关系式是 例 4、 (1)下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模 型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 Y 15 17 19 21 23 25 27 A 一次函数模型 B 二次函数模型 C 指数函数模型 D 对数函数模型 (2)2008 年 5 月 12 日,四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震.在随后的几天中,地震 专家对汶川地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 1.6 ? 1019 3.2 ? 1019 4.5 ? 1019 5.3 6.4 ? 1019 5.4

震级(里 5.0 5.2 氏) 注:地震强度是指地震时释放的能量 地震强度( x )和震级( y )的模拟函数关 系可以选用 y ? a lg x ? b (其中 a, b 为常数) .利 用 于 散 点 图 可 知

a







. (取 l g 2 ? 0) .3

例 5、在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每 年平均比上年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图 象大致为( )

例 6、 某城市客运公司确定客票价格的方法是: 如果行程不超过 100 km, 票价是 0.5 元/km, 如果超过 100 km, 超过 100 km 部分按 0.4 元/km 定价, 则客运票价 y(元)与行驶千米数 x(km) 之间的函数关系式是______________.

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三、练习 1、在 (0,??) 上增长速度最快的是( A. f ( x) ? x 3 B. f ( x) ? 3 x ) C. f ( x) ? 3x D. f ( x) ? log 3 x

2、下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( ) x A.y=1,x∈Z B.y=x C.y=2 D.y=ex 3、下列函数中,随 x 增大而增大速度最快的是( 1 x A. y ? e B. y ? 100 ln x C. y ? x100 100 )
D. y ? 100 ? 2 x

4、某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千 米(b<a),再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

5、 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x , 2005 年底世界人口为 y 亿,那么 y 与 x 的函数关系式为 6、三个变量 y1、y2、y3 随变量 x 的变化情况如下表: x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中 x 呈对数函数型变化的变量是______,呈指数函数型变化的变量是______,呈幂 函数型变化的变量是______. 7、今有一组实验数据如下: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律, 其中最接近的一个是 ( t2 - 1 C.V= 2

)

A. V ? log 2 t

B. V ? log 1 t
2

D.V=2t-2

8、 建造一个容积为 8 立方米, 深为 2 米的无盖长方体蓄水池, 池壁的造价为每平方米 100 元, 池底的造价为每平方米 300 元,把总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数为

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9、燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度 Q 可以表示为函数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. 10 (1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少?

10、 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成 有序数对(t, P), 点(t, P)落在图中的两条线段上. 该股票在 30 天内(包 括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示: 4 10 16 22 第t天 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第 几天日交易额最大,最大值为多少?

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